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數學上，'''歐幾里得-歐拉定理'''（{{lang-en|'''Euclid–Euler theorem'''}}）是一條聯繫偶[[完全數]]與[[梅森質數]]的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成<math>2^{p-1}(2^p-1)</math>，其中<math>2^p-1</math>是質數。形如<math>2^p-1</math>的質數稱為[[梅森質數]]，因此其中的<math>p</math>必須是質數。

==定理敘述==
一個偶數是[[完全數]]（即等於它的所有[[真因數和|真因數的和]]），當且僅當它有形式<math>2^{p-1}M_p</math>，其中<math>M_p</math>是梅森質數，即形為<math>M_p=2^p-1</math> 的質數。<ref name="stillwell">{{citation|title=Mathematics and Its History|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=John|last=Stillwell|authorlink=John Stillwell|publisher=Springer|year=2010|isbn=9781441960528|page=40|url=http://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40|accessdate=2016-01-21|archive-date=2021-03-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20210322070540/https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40|dead-url=no}}.</ref>

==歷史==
[[歐幾里得]]證明當<math>2^p-1</math>是質數時，<math>2^{p-1}(2^p-1)</math>是完全數（Prop. IX.36）。這是他的《[[幾何原本]]》中[[數論]]的最後一條結果。<ref>{{citation|author=[[Euclid]]|title=The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX)|edition=2nd|publisher=Dover|year=1956|pages=421–426}}.</ref>

過了超過一千年後，約在公元1000年，[[海什木]]猜想所有偶完全數都有形式<math>2^{p-1}(2^p-1)</math>，但他未能證明。<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref>

直至18世紀，數學家[[歐拉]]始證明所有偶完全數都有形式<math>2^{p-1}(2^p-1)</math>。<ref name="stillwell"/><ref>{{citation|first=Leonhard|last=Euler|authorlink=Leonhard Euler|chapter=De numeris amicibilibus|trans-chapter=On amicable numbers|language=la|contribution-url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E798.html|title=Commentationes arithmeticae|volume=2|year=1849|pages=627–636|accessdate=2016-01-21|archive-date=2020-01-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20200117033429/http://eulerarchive.maa.org/pages/E798.html|dead-url=no}}. 最初在1747年2月23日向柏林科學院宣讀，在身後發表。特別參看section 8, p. 88.</ref>因此確定偶完全數和梅森質數之間存在[[一一對應]]：每個偶完全數給出一個梅森質數，反之亦然。

==證明==
歐拉的證明簡短<ref name="stillwell"/>，用到[[除數函數|因數總和函數]]<math>\sigma</math>是[[積性函數]]的性質：對任何兩個[[互質]]正整數<math>a</math>和<math>b</math>，都有<math>\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)</math>。要使這個公式成立，一個數的因數總和須包括該數本身，不只是真因數。一個數是完全數，當且僅當該數的因數總和是該數的兩倍。

定理中一個方向（歐幾里得所證明的）較為容易：如果<math>2^p-1</math>是質數，那麼
:<math>\sigma(2^{p-1}(2^p-1))</math>
:<math>=\sigma(2^{p-1})\sigma(2^p-1)</math>
:<math>=(2^p-1)2^p</math>
:<math>=2(2^{p-1}(2^p-1))</math>

至於另一個方向，設有偶完全數2<sup>''k''</sup>''x''，其中''x''是奇數。它是完全數，故此
:2<sup>''k'' + 1</sup>''x'' = σ(2<sup>''k''</sup>''x'') = (2<sup>''k'' + 1</sup> − 1)σ(''x'').

上式右邊的奇因數2<sup>''k'' + 1</sup> − 1 至少等於3，且必定整除或等於左邊唯一的奇因數''x''，因此''y'' = ''x''/(2<sup>''k'' + 1</sup> − 1) 是''x''的真因數。將上式兩邊除以公因數2<sup>''k'' + 1</sup> − 1，並考慮''x''已知有因數''x''和''y''，得出
:2<sup>''k'' + 1</sup>''y'' = σ(''x'') = ''x'' + ''y'' + 其他各因數 = 2<sup>''k'' + 1</sup>''y'' + 其他各因數.
要使等式成立，必需無其他因數，因此''y''必定等於1，''x''必定是形為2<sup>''k'' + 1</sup> − 1的質數。定理得證。

==參考文獻==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:E歐幾里得－歐拉定理}}
[[Category:数论定理]]
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[[Category:莱昂哈德·欧拉]]
[[Category:梅森素数]]
[[Category:完全数]]
[[Category:欧几里得]]