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在[[抽象代數]]中，'''歐幾里得整環'''（{{lang|en|Euclidean domain|Euclidean domain}}）是一種能作[[輾轉相除法]]的[[整環]]。凡歐幾里得整環必為[[主理想環]]。

== 定義 ==
一個歐幾里得整环是一[[整環]] <math>D</math> 及函數 <math>v: D \setminus \{0\} \to \N \cup \{0\}</math>，使之滿足下述性質：
* 若 <math>a, b \in D</math> 而 <math>b \neq 0</math>，則存在 <math>q, r \in D</math> 使得 <math>a = bq+r</math>，而且 <math>r=0</math>，或者 <math>v(r) < v(b)</math>。
* 若 <math>a</math> 整除 <math>b</math>，則 <math>v(a) \leq v(b)</math>。

函數 <math>v</math> 可設想成元素大小的量度，當 <math>D=\Z</math> 時可取 <math>v(x) := |x|</math>。

== 例子 ==
歐幾理得整環的例子包括了：
* 整數環 <math>\Z</math>，<math>v(x)=|x|</math>。
* [[高斯整數]]環 <math>\Z[\sqrt{-1}]</math>。
* [[体 (数学)|域]]上的[[多項式環]]（<math>v(f) = \deg f</math>）與[[冪級數]]環（<math>v(f)</math> 定義為使 <math>X^n|f(X)</math> 的最大非負整數 <math>n</math>）。
* [[離散賦值環]]，<math>v(x)</math> 定義為使 <math>x \in \mathfrak{m}^n</math> 的最大非負整數 <math>n</math>，其中 <math>\mathfrak{m}</math> 表該離散賦值環的唯一[[極大理想]]。

利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為[[主理想环]]，此時理想由其中 <math>v</math>-值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為[[唯一分解環]]。

並非所有主理想環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了 <math>\mathbb{Q}[\sqrt{d}]</math> 的[[代數整數|整數]]環在 <math>d=-19,-43,-67,-163</math> 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。

== 文獻 ==
* Motzkin. ''The Euclidean algorithm'', Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
* Weinberger. ''On Euclidean rings of algebraic integers'' in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
* Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76

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