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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{not|欧拉数}}
在[[代数拓扑]]中，'''欧拉示性数'''（{{lang-en|Euler characteristic}}）是一个[[拓扑不变量]]{{notetag|事实上，是[[同伦|同伦不变量]]}}，对于一大类[[拓扑空间]]有定义。它通常记作<math>\chi</math>。

二维拓扑[[多面体]]的欧拉示性数可以用以下公式计算：
:<math>\chi=F-E+V</math>
其中{{math|V}}、{{math|E}}和{{math|F}}分别是点、边和面的个数。特别的，对于所有和一个[[球面]][[同胚]]的多面体，我们有
:<math>\chi(S^2)=F-E+V=2 </math>。
例如，对于[[立方体]]，我们有6 &minus; 12 + 8 = 2，而对于[[四面体]]我们有4 &minus; 6 + 4 = 2。
刚才的公式也叫做'''欧拉公式'''。该公式最早由[[法国]]数学家[[笛卡儿]]于1635年左右证明，但不为人知。后[[瑞士]]数学家[[莱昂哈德·欧拉]]于1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。

==定义及性质==

对于有限[[CW-复形]]（CW-Complex）包括有限[[单纯复形]]（simplicial complex），欧拉示性数可以定义为交错和

:<math>\chi=k_0-k_1+k_2-\cdots,</math>

其中<math>k_i</math>表示<math>i</math>维胞腔的个数。

然后，可以把流形的欧拉示性数定义为一个和它同胚的单纯复形的欧拉示性数。例如，[[圆圈]]和[[环面]]其欧拉示性数为0而实心球欧拉示性数为1。

闭可定向[[曲面]]的欧拉示性数可以通过它们的[[亏格]]<math>g</math>来计算

:<math>\chi = 2 - 2g</math>.

闭[[可定向性|不可定向]][[曲面]]的欧拉示性数可以用下式通过它们的（不可定向）[[亏格]]<math>k</math>来计算

:<math>\chi = 2 - k</math>.

欧拉示性数和[[三角化]]的选择无关。公式也可用于到任意多边形的分解。

对于圆盘，我们有<math>\chi = 1</math>，对于平面我们有<math>\chi = 2</math>，数的时候把外面作为一个面。

对于[[流形|闭流形]]，欧拉示性数和'''欧拉数'''，也就是其[[切丛]]的在流形的[[基本类]]上计算的[[欧拉类]]。

对于闭[[黎曼曲面]]，欧拉示性数也可以通过曲率的积分得到—参看对于二维情况的[[高斯-博内定理]]（Gauss-Bonnet）和对于一般情况的[[广义高斯-博内定理]]。[[高斯-博内定理]]的离散情况的对应是[[笛卡儿]]定理，它表明[[多面体]]用完整圆圈测量的“总亏量”，是多面体的欧拉示性数；参看[[亏量]]。

更一般的，对于所有[[拓扑空间]]，我们可以定义第<math>n</math>个[[贝蒂数]]<math>b_n</math>作为第''<math>n</math>''个[[同调]]群的[[交换群的阶|阶]]。欧拉示性数可以定义为如下交换和

:<math>\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, \cdots.</math>

这个定义在贝蒂数全都有限并且在一个特定指标<math>n_0</math>以外为0时有意义。

两个[[同伦]]的拓扑空间有[[群同构|同构]]的同调群，所以有相同的欧拉示性数。

从这个定义和[[庞加莱对偶性]]，可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。

如果<math>M</math>和<math>N</math>是拓扑空间，则它们的[[积空间]]<math>M \times N</math>的欧拉示性数为

:<math>\chi(M \times N) = \chi (M) \cdot \chi (N)</math>.

==偏序集==
有界[[偏序集]]的欧拉示性数的概念是另一种推广，在[[组合论]]中很重要。一个偏序集“有界”，如果它有最小和最大元素，我们把它们叫作0和1。这样一个偏序集的欧拉示性数是<math>\mu (0,1)</math>，其中<math>\mu</math>是在偏序集的{{le|相交代数|incidence algebra}}中的[[默比乌斯函数]]。

==证明==
[[File:V-E+F=2 Proof Illustration.svg|right]]
第一个欧拉公式的严格证明，由[[柯西]]在20岁时给出，大致如下：

从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样{{notetag|移去的面对应网络的外部。}}

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）<math>F-E+V</math>的额外变换。

#若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。
#除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。
#（逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形<math>F=2</math>（把外部数在内），<math>E=3</math>，<math>V=3</math>。所以<math>F-E+V=2</math>。证毕。

==注释==
{{notefoot}}

{{几何术语}}
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:拓扑图论]]
[[Category:多面体组合学]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:莱昂哈德·欧拉]]