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{{About|[[刚体力学]]|其它意义的欧拉方程|欧拉方程}}

在[[物理学]]上，'''欧拉方程'''统治[[刚体]]的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们现在可以将[[角动量]]的变化分成分别描述<math>\mathbf{L}</math>的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

这些方程是:

:<math>
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}
</math>

其中<math>\mathbf{L}</math>是[[角动量]]在体坐标系中的表达，<math>
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}</math>是物体[[角动量]]相对于体坐标系的变化， <math>\mathbf{\omega}</math>是在体坐标系中的角速度，而<math>\mathbf{N}</math>是外力矩。

== 证明 ==

:<math>
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}
=\left(I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}\right)+\mathbf(\omega)\times I\mathbf{\omega}
=I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}+\frac{dI}{dt}\mathbf{\omega}
=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}
</math>

==分量形式==
采用主轴坐标，''I''对角化，则<math>\mathbf{L}</math>分量形式为<math>I_1\omega_1\mathbf{e}_1 + I_2\omega_2\mathbf{e}_2 + I_3\omega_3\mathbf{e}_3</math>。从而，欧拉方程变为如下分量形式
:<math>
\begin{matrix}
N_1 &=& I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3\\
N_2 &=& I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1\\
N_3 &=& I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2\\
\end{matrix}
</math>

==应用==
方程左边为0时，还是有非平凡解：无力矩[[进动]]。

该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合，<math>
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}</math>不再连接到物体本身。<math>\mathbf{\omega}</math>是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。但是，所选的轴必须还是主轴，因为它是对角化的必要条件。这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用，因为有些主轴的选取是自由的。

==參閱==
*[[Poinsot构造]]
*[[歐拉運動定律]]

{{DEFAULTSORT:O}}
[[Category:剛體]]
[[Category:刚体力学]]
[[Category:三维旋转]]
[[Category:方程]]