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'''欧拉四平方和恒等式'''说明，如果两个数都能表示为四个[[平方数]]的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为：

:<math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\,</math>

::<math>(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,</math>

[[欧拉]]在1748年5月4日寄给[[哥德巴赫]]的一封信中提到了这个恒等式。<ref>''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193</ref><ref>''Mathematical Evolutions'', A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174</ref>它可以用基本的代数来证明，在任何[[交换环]]中都成立。如果''a''<sub>s</sub>和''b''<sub>s</sub>是[[实数]]，有一个更加简洁的证明：这个等式表达了两个[[四元数]]的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实，就像[[婆罗摩笈多-斐波那契恒等式]]与[[复数 (数学)|复数]]的关系一样。

[[拉格朗日]]用这个恒等式来证明[[四平方和定理]]。

==参见==
* [[四元数]]
* [[婆罗摩笈多-斐波那契恒等式]]
* [[八平方和恒等式]]

==参考文献==
<references/>
{{莱昂哈德·欧拉}}

[[Category:初等代数]]
[[Category:初等数论]]
[[Category:数学恒等式]]
[[Category:莱昂哈德·欧拉]]