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{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-hans:欧拉; zh-hant:歐拉; zh-tw:尤拉;
}}
{{About|[[複分析]]中的歐拉公式|[[代数拓扑]]或者多面體的歐拉公式|歐拉示性数}}{{Distinguish|歐拉定理}}
{{E (数学常数)}}
'''欧拉公式'''（{{lang-en|Euler's formula}}，又稱'''-{zh-hans:尤拉; zh-hant:尤拉; zh-tw:歐拉;}-公式'''）是[[複分析]]领域的公式，它将[[三角函数]]與[[指数函数#在複平面上|复指数函数]]关联起来，因其提出者[[莱昂哈德·歐拉]]而得名。歐拉公式提出，對任意[[实数]] <math>x</math>，都存在

: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>

其中 <math>e</math> 是[[E (数学常数)|自然对数的底数]]，<math>i</math> 是[[虚数單位]]，而 <math>\cos</math> 和 <math>\sin</math> 則是[[餘弦]]、[[正弦]]對應的[[三角函数]]，参数 <math>x</math> 則以[[弧度]]为单位<ref>{{Cite web|url=https://web.mst.edu/~kosbar/ee3430/ff/review/math/eulerformula.html|title=Eulers Formula|accessdate=2021-06-13|publisher=[[密蘇里科技大學]]|archive-date=2020-02-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20200221135556/http://web.mst.edu/~kosbar/ee3430/ff/review/math/eulerformula.html|dead-url=no}}</ref>。這一複數指數函數有時還寫作 {{math|[[Cis函數|cis]] ''x''}} （{{lang-en|'''c'''osine plus '''i''' '''s'''ine}}，余弦加''i'' 乘以正弦）。由於該公式在 <math>x</math> 為[[复数 (数学)|複數]]時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式<ref name="autogenerated7">{{cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7}}</ref>。

歐拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家[[理查德·费曼]]将歐拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics, vol. I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|page=22-10}}</ref>。

当 <math>x = \pi</math> 时，歐拉公式变为{{計算結果|e^(i⋅pi)+1}}，即[[歐拉恒等式]]。

== 在複分析的應用 ==
這公式可以說明當 <math>x</math> 為[[實數]]時，函數 <math>e^{ix}</math> 可在[[复数 (数学)|複數]]平面描述一[[單位圓]]。且 <math>x</math> 為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用[[笛卡尔坐标系]]描述，歐拉公式在此提供複點至[[極坐標]]的變換

任何複數 <math>z=x+yi</math> 皆可記為

:<math> z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,</math>

在此
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math>為實部
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math>為虛部
:<math>|z| = \sqrt{x^2+y^2}</math>為 <math>z</math> 的[[模]]
:<math>\phi = \mathrm{atan2}{(y,x)}</math>，其中 <math>\mathrm{atan2}{(y,x)}= \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
-\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y < 0 , x < 0 \\
\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}</math>

== 历史 ==
[[約翰·伯努利]]注意到有<ref>{{cite journal|first=Johann |last=Bernoulli |title=Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul |trans-title=Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation |journal=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris |pages=197–289 |volume=1702 |date=1702}}</ref>

: <math>\frac{1}{1 + x^2} = \frac12 \left( \frac{1}{1 - ix} + \frac{1}{1 + ix}\right).</math>

并且由于

: <math>\int \frac{dx}{1 + ax} = \frac{1}{a} \ln(1 + ax) + C,</math>

上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于[[複對數]]的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，{{tsl|en|Roger Cotes|罗杰·柯特斯}}于 1714 年发现<ref name="Stillwell">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315|access-date=2018-07-17|archive-date=2019-06-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20190604220618/https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315|dead-url=no}}</ref>

: <math>ix = \ln(\cos x + i\sin x).</math>

由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 {{math|2''i''π}} 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见[[欧拉公式#验证方法|验证方法]]，但结论正确。），于1748年发表<ref>[[Leonard Euler]] (1748) [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/introductiontoanalysisvolone/ch8vol1.pdf Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle] {{Wayback|url=http://www.17centurymaths.com/contents/euler/introductiontoanalysisvolone/ch8vol1.pdf|date=20171115083159}} of [[Introduction to the Analysis of the Infinite]], page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).</ref><ref name="Stillwell"/>。

大约50年之后，[[卡斯帕尔·韦塞尔]]提出可以把复数視做[[复平面]]中的点。

== 形式 ==
{{see also|欧拉恒等式}}
[[File:Euler's formula.svg|thumb|200px]]
对于任意实数<math>x\,</math>，以下等式恆成立：
:<math>e^{ix} = \cos x+i\sin x</math>

由此也可以推导出
:<math> \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>及<math> \cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} </math>。

当<math>x=\pi\,</math>时，欧拉公式的特殊形式为
:{{計算結果|e^(i⋅pi)+1}}。

== 证明 ==

首先，在复数域上对<math> e^x \,</math>进行定义：

对于<math>a,b\in\mathbb{R},c=a+ib\in \mathbb{C}</math>，规定<math>e^c = \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{c}{n})^n</math>。

对[[复数 (数学)#极坐标形式|复数的极坐标表示]]<math>w=u+iv=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math>，有：

<math>r=\sqrt{u^2+v^2}\in\mathbb{R},\theta=\arctan(\frac{v}{u})\in\mathbb{R}</math>

且根据[[棣莫弗公式]]，<math>w^n=(u+iv)^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)</math>

从而有：

<math>(1+\frac{a+bi}{n})^n=[(1+\frac{a}{n})+i\frac{b}{n}]^n=r_n(\cos\theta_n+i\sin\theta_n)</math>

假设<math>n>|a|</math>，则：

<math>r_n=[(1+\frac{a}{n})^2+(\frac{b}{n})^2]^\frac{n}{2},\theta_n=n\arctan\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}}</math>

（由於包含n在冪，所以要ln）从而有：

<math>\begin{align}
\lim_{n\rightarrow\infty}\ln r_n
&=\lim_{n\rightarrow\infty}[\frac{n}{2}\ln(1+\frac{2a}{n}+\frac{a^2+b^2}{n^2})]\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}[\frac{n}{2}(\frac{2a}{n}+\frac{a^2+b^2}{n^2})]\\
&=a\\
\end{align}
</math>

這一步驟用到 <math>\ln (1+x) \approx x</math>（[[墨卡托級數]]）


即：

<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln r_n}=e^a</math>

又有(arctan x 約等於x 於0附近）：

<math>\begin{align}
\lim_{n\rightarrow\infty}\theta_n
&=\lim_{n\rightarrow\infty}(n\arctan\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}})\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}(n\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}})\\
&=b\\
\end{align}</math>

从而可以证明：

<math>\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{a+bi}{n})^n=e^a(\cos b+i\sin b)</math>

即：

<math>e^{a+ib} = e^a(\cos b+i\sin b)</math>

令<math>a=0</math>，可得欧拉公式。

证毕。<ref>{{Cite book|title=数学分析新讲（第一册）第七章  4.实变复值函数|author=张筑生|authorlink=张筑生|publisher=北京大学出版社|year=1990|isbn=|location=|pages=}}</ref>

== 验证方法 ==
{{請注意|虽然下列方法（尤其是方法一）被广泛介绍，但由于在复数域中的泰勒级数展开、求导等运算均需要用到欧拉公式，造成[[循环论证]]，且有些方法在函数的定义域和性质上语焉不详，故而下列方法均应为检验方法，而非严谨的证明方法。对于类似方法也应注意甄别。}}
;方法一：[[泰勒级数]]
:把函数<math> e^x \,</math>、<math> \cos x\, </math>和<math> \sin x\,</math>写成泰勒级数形式：
::<math>e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots</math>
::<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots</math>
::<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots</math>
:将<math>x=iz\,</math>代入<math> e^x \,</math>可得：
::<math>
\begin{align}
e^{iz} & = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
 & = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
& = \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
& = \cos z + i\sin z
\end{align}
</math>

;方法二：[[求導法]]
:对于所有<math>x \in I</math>，定義函數<math>f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}</math>

:由於<math>e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1</math>

:可知<math>e^{ix}\,</math>不可能為0，因此以上定義成立。

:<math>f(x)\,</math>之导数為：
:<math>
\begin{align}
 f'(x)& = \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = 0
\end{align}
</math>
:设<math>[a,b] \in I</math>和<math>c \in (a,b)</math>
:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math>（[[拉格朗日中值定理]]）
:<math>\because f'(x)=0</math>
:<math>\therefore f'(c)=0</math>
:<math>f(a)=f(b)</math>
:因此<math>f(x)\,</math>必是[[常數函數]]。
:<math>f(x)=f(0)</math>
:<math></math>
:<math>\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}} =\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0} =1</math>
:重新整理，即可得到：
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>

;方法三：[[微積分]]
:找出一个原函數<math>y(x)</math>，使得<math>\frac{dy}{dx}=iy</math>及<math>y(0)=1</math>。
:假设 <math>y(x)=e^{ix}</math>，有：
:<math>\frac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}=iy</math>
:假设 <math>y(x)=i \sin x +  \cos x</math>，有：
:<math>\begin{align}\frac{d}{dx}(\cos x+i \sin x) &= -\sin x + i \cos x \\ & =i (i \sin x +  \cos x) \\ &=iy\end{align}</math>

:使用積分法，可得<math>iy</math>的原函數是以上兩個函數分别与任意实数的和，分别记为：
:<math>y_1(x)= e^{ix}+C_1</math>
:<math>y_2(x)=\cos x+i \sin x+C_2</math>
:其中，<math>\C_1</math>和:<math>\C_2</math>是任意实数。

:又<math>x=0</math>時，<math>y(0)=1</math>，观察到：
:<math>y_1(0)=e^{i0}+C_1=e^{0}+C_1=1+C_1</math>
:<math>y_2(0)=\cos0 +i\sin 0+C_2=1+i(0)+C_2=1+C_2</math>
:所以<math>C_1=C_2=0</math>，可以得出：
:<math>\begin{align}y(x) &= e^{ix} = \cos x + i\sin x\end{align}</math>

== cis函數 ==
{{main|cis函數}}
在複分析領域，[[歐拉公式]]亦可以以[[函數]]的形式表示
:<math>\operatorname{cis} \theta = \cos \theta+i\sin \theta</math>
:<math>\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}</math>
並且一般[[定義域]]為<math>\theta \in \mathbb{R}\,</math>，值域為<math>\theta \in \mathbb{C}\,</math>（复平面上的所有单位向量）。

當一複數的模為1，其反函數就是[[輻角]]（[[arg函數]]）。

當<math>\theta</math>值為複數時，cis函數仍然是有效的，所以有些人可利用cis函數將[[歐拉公式]]推廣到更複雜的版本。<ref name="autogenerated7"/>

==檢定和角公式==
{{請注意|由于欧拉公式的证明过程中使用了[[棣莫弗公式]]，而棣莫弗公式的证明过程中使用了[[和角公式]]，故使用欧拉公式证明和角公式会造成[[循环论证]]，故而下列方法僅为檢定方法，而非严谨的证明方法。对于类似方法也应注意甄别。}}
由於<math>e^{i \alpha}=\cos \alpha+i \sin \alpha</math>且<math>e^{i \beta}=\cos \beta+i \sin \beta</math>，則有
:<math>
\begin{align}
e^{i (\alpha+\beta)}&=\cos (\alpha+ \beta)+i\sin (\alpha+ \beta) =e^{i \alpha+i \beta}\\
                               &=e^{i \alpha} \times e^{i \beta}\\
                               & =(\cos  \alpha + i\sin \alpha) \times (\cos  \beta + i\sin \beta)\\
                               & =(\cos \alpha \times \cos \beta+i\sin \alpha \times i\sin \beta)+(i\sin \alpha \times \cos \beta+\cos \alpha \times i\sin \beta)\\
                               & =(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)+i(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta)\\   
\end{align}
</math>

實部等於實部，虛部等於虛部，因此
:<math>\cos (\alpha+ \beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta</math>
:<math>\sin (\alpha+ \beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta</math>

== 參見 ==
* [[cis函數]]
* [[歐拉恆等式]]

==参考资料==
{{Reflist}}
{{莱昂哈德·欧拉}}


[[Category:复分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:分析]]
[[Category:E (数学常数)]]
[[Category:三角学]]
[[Category:莱昂哈德·欧拉]]