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{{NoteTA|G1=物理学}}
[[File:OhmsLaw.svg|thumb|150px|歐姆定律的參數是<math>V</math>、<math>I</math>、<math>R</math>。]]
 
在[[電路學]]裡，'''欧姆定律'''（{{lang-en|Ohm's law}}）表明：定溫下，[[电导体]]两端的[[电壓]] <math>V</math>与通过电导体的[[电流]] <math>I</math> 成正比<ref name=Halliday>{{citation|last=Halliday|first=David|coauthors=Robert Resnick, Jearl Walker|title = Fundamental of Physics|publisher = John Wiley and Sons, Inc.|location = USA|edition = 7th|isbn=0-471-23231-9|year=2005|pages= pp. 691-692}}</ref>。[[数学表达式]]为：
:<math>V \propto I</math> 

因此，對於任意电导体（[[電路]]、[[電子元件|電路元件]]、甚至[[電阻器]]），電阻 <math>R</math> 可定義為此[[正比关系]]的比例常数<ref name=Halliday />：
:<math>R\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}</math> 
 
且可得到下列方程式：
:<math>V=IR</math>

不論電流、電壓為何，[[電阻]]定義均為電壓除以電流。此外，任何电导体都有电阻，即使[[超导体]]在一般温度下也具有微小的电阻。

然而並不是每一種元件都遵守歐姆定律，此定律是經過多次實驗而推斷的法則，只有在理想狀況下，才會成立。凡是遵守歐姆定律的元件或電路都稱為「歐姆元件」或「歐姆電路」或「歐姆式導體」，其[[電阻]]與電流、電壓的變動無關；不遵守歐姆定律的元件或電路稱為「非歐姆元件」或「非歐姆電路」或「非歐姆式導體」，其電阻可能會與電流、[[電壓]]的變動有關。
 
歐姆定律是因德國物理學家[[格奧爾格·歐姆]]命名。於1827年，在他發表的一本通論《[[直流電路的數學研究]]》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏<ref>{{Citation  | last = 歐姆  | first = 格奧爾格  | author-link = 格奧爾格·歐姆  | title = The Galvanic Circuit Investigated Mathematically  | place = New York  | publisher = D. Van Nostrand Company  | year = 1891  | url =http://www.archive.org/details/galvaniccircuit00lockgoog }}
</ref>，他詳細的論述簡單電路兩端的電壓與流動於電路的電流之間的關係。他所論述的關係比較複雜，稍後會有更詳細說明。上述方程式乃是歐姆定律的現代版本。
 
對於電阻物質或導電物質，歐姆定律可以推廣為：
:<math>\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}</math> 
:<math>\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}</math>
 
其中，<math>\mathbf{E}</math>是[[電場]]，<math>\mathbf{J}</math>是物質的[[電流密度]]，<math>\rho</math>是物質的[[電阻率]]，<math>\sigma=1/\rho</math>是物質的[[電導率]]。
 
遵守歐姆定律的物質，稱為「歐姆物質」，其電阻率<math>\rho</math>和電導率<math>\sigma</math>與電流密度、電場無關<ref name=Halliday />。

==歷史==
[[File:Ohm3.gif|thumb|200px|格奧爾格·歐姆。]]
早於1753年，意大利物理學家{{le|喬凡尼·貝卡立亞|Giovanni Battista Beccaria}}就在研究物質的導電性質。他在電路裏加裝了盛滿了水的玻璃管。當開啟電路後，發現玻璃管的截面面積越大，電流的放電強度越大<ref name="Whittaker">{{citation| author=Whittaker, E. T.|title=A history of the theories of aether and electricity. Vol 1| pages= pp. 53|publisher=Nelson, London |year=1951|url =http://www.archive.org/details/historyoftheorie00whitrich}}</ref>。
 
英國物理學家[[亨利·卡文迪什]]也曾做過很多實驗，研究電動勢、電流、電阻之間的關係。他使用[[萊頓瓶]]為電流源，將電流通過在各種尺寸的玻璃試管裏盛裝的鹽溶液，靠著調整鹽溶液的高度，他可以控制放電強度。卡文迪什把自己身體當作一台生理[[檢流計]]，從親身體驗被電擊後的感覺，來估計電流的放電強度。他又選擇出一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準，然後比較標準放電與試樣放電，按照放電強度的大小來估計它們的電阻。這樣，他可以定量地描述每一種試樣。於1781年1月，他記錄在筆記裏，電流與電動勢成正比。但是，他並沒有將這些珍貴的實驗結果告訴任何科學家。一直到馬克士威於1879年替他編輯注釋為著作《[[卡文迪什的電學研究]]》（{{lang|en|The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish}}）後，才見諸世面<ref name=eb>{{citation|url=http://www.1911encyclopedia.org/Electricity|title=Electricity|publisher=Encyclopedia Britannica|date=1911|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20080915025114/http://www.1911encyclopedia.org/Electricity|archivedate=2008-09-15}}</ref><ref>Sanford P. Bordeau (1982)  ''Volts to Hertz...the Rise of Electricity.''  Burgess Publishing Company, Minneapolis, MN.  pp.86–107, ISBN 978-0-8087-4908-0</ref>。注意到卡文迪什使用的儀器相當原始粗陋，靠身體感覺很難做出精準的測量，萊頓瓶並不是穩定電流源。所以，學術界認為這耽擱了近百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。
 
從1825年到1826年之間，歐姆做了很多關於電阻的實驗。於1827年，他將得到的結果一同發表在著作《[[直流電路的數學研究]]》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏<ref>
{{citation | author = G. S. Ohm | title = The galvanic Circuit investigated mathematically | year = 1891 | publisher = D. Van Nostrand Company | url = http://www.archive.org/details/galvaniccircuit00lockgoog}}
</ref>。他從傅立葉對於熱傳導的研究得到了相當多的靈感，借用了很多傅立葉的點子來論述自己的結果。
 
歐姆是一位優秀的實驗者，很會設計與製造實驗設備，又具有精湛的數學修養與嚴謹的敬業態度。剛開始，他使用[[伏打電堆]]為電源，用安裝於[[扭秤]]（torsion balance）的磁針來測量電流的磁場力。載流導線的電流所產生的磁場與電流成正比，只要測量在載流導線附近的磁針所感受到的磁場力，就可以知道電流。他將電流通過不同長度的檢驗電線；由於長度不同，電阻也不同。歐姆仔細分析實驗結果，得到經驗方程式<ref name=hammond>{{Citation| last = Hammond| first = P.| title = Georg Simon Ohm and his law| journal = Jounal of the Institution of Electrical Engineers| volume = 4| issue = 42| pages = pp. 294-296| url = http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/hammond_jiee_4_294_58.pdf| date = June 1958}}{{dead link|date=2018年3月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
</ref>
<ref name=Gupta>{{Citation  | last = Gupta  | first = Madhu Sudan  | title = Georg Simon Ohm and Ohm's Law  | journal = IEEE Transactions on Education  | volume = 23  | issue = 3  | pages = pp. 156-162  | url = http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=4321401|date=Aug  1980}}
</ref>
:<math>\Delta I=m \ln\left(1+\frac{x}{a}\right)</math>
 
其中，<math>\Delta I</math>是檢驗電線造成的電流差值，<math>m</math>是跟實驗參數有關的係數，<math>x</math>是檢驗電線的長度，<math>a</math>是跟固定長度的載流導線有關的常數。
 
[[File:PSM V83 D611 Ohm torsion balance and thermocouple.png|thumb|250px|歐姆的實驗設備。由於溫差，熱電偶會產生電動勢，促成電流流動於電阻電路。這電流又會產生磁場，使得固定於扭秤的磁針偏轉。從讀取磁針偏轉的角度，就可以知道電流。]]
歐姆很快地就覺得這方程式不太對勁。大約三年前，[[湯瑪斯·澤貝克]]發明使用[[熱電偶]]為電源。這種電源比伏打電源穩定。採納《[[物理年鑑|物理與化學年鑑]]》的總編輯[[約翰·波根多夫]]（{{lang|en|Johann poggendorff}}）的建議，歐姆改用熱電偶為電源<ref>{{Citation  | last = Shedd  | first = John C. | last2 = Hershey  | first2 = Mayo D.  | title = The History of Ohm's Law  | newspaper = Popular Science Monthly | publisher =Bonnier Corporation  | pages = pp. 599ff  | year = 1913}}
</ref><ref name=Keithley>{{Citation
  | last = Keithley
  | first = Joseph F.
  | title = The story of electrical and magnetic measurements: from 500 B.C. to the 1940s
  | publisher = John Wiley and Sons
  | year = 1999
  | page = pp.93ff, 102
  | isbn = 9780780311930}}</ref>，將實驗重做一遍，得到經驗方程式：
:<math>X= \frac{a}{b + x}</math>
 
其中，<math>X</math>是扭秤讀值，<math>a</math>是跟電動勢有關的常數，<math>b</math>是跟內部電阻有關的常數，<math>x</math>是檢驗電線的長度。
 
仔細詮釋這些變量，將<math>X</math>、<math>a</math>、<math>b</math>、<math>x</math>分別詮釋為電流<math>I</math>、電壓<math>V</math>、內部電阻<math>r</math>、檢驗電阻<math>R_x</math>，那麼，假定總電阻<math>R</math>為<math>r + R_x</math>則經驗方程式變為歐姆定律的現代方程式版本：
:<math>I= \frac{V}{R}</math> 
 
歐姆定律可能是早期電學史最重要的定量理論。但是，當歐姆最初發表他的結果時，很多學術界同仁都激烈地批評反對他的理論。德國教育部長指責：「鼓吹這種異端邪說的教授不配教導科學<ref>{{Citation  | last = Pickover  | first = Clifford  | title = Archimedes to Hawking: laws of science and the great minds behind them  | place = U.S.A.  | publisher = Oxford University Press  | year = 2008  | pages =pp. 8  | isbn =9780195336115 }}
</ref>。」物理教授[[格奧爾格·魄爾]]（{{lang|en|Georg Pohl}}）這樣批評歐姆的著作：「以崇高眼光仰看這世界的人士，必須遠離這本無可救藥、妄生穿鑿的謬書，其唯一目的乃是徹底詆毀大自然的尊嚴<ref name=hammond />。」。那時候，德國正盛行的[[黑格爾|黑格爾哲學]]認為，因為大自然井井有序，而且只要經過合理推論就可獲得科學真理，所以，並不需要靠做實驗來了解大自然。歐姆的實驗方法可能引起了黑格爾門徒的強烈反感。
 
1839年，法國物理學家，[[克勞德·普雷特]]（{{lang|en|Claude Pouillet}}）確定歐姆的實驗結果。同時，歐姆成為[[柏林科學院]]的院士。在英國，[[查爾斯·惠斯通]]又重新核對了歐姆的實驗結果。1841年，歐姆被選為[[皇家學會]]的外籍會員。1852年，歐姆榮膺為[[慕尼黑大學]]的物理學系主任。
 
於1920年，物理學家發現，通過理想電阻器的電流會出現統計[[漲落]]，雖然當電壓和電阻為常數時，統計漲落會跟溫度有關。這種漲落稱為[[詹森-奈奎斯特噪音]]（{{lang|en|Johnson–Nyquist noise}}），是因為電荷的[[離散]]秉性而產生的現像。這熱效應意味著，假若取樣的時間間隔足夠短暫，電流或電壓的測值，其比例跟時間平均比例或[[系綜平均]]（{{lang|en|ensemble average}}）比例相比較，會出現漲落；也就是說，每一個電阻<math>R</math>的取樣值，跟<math>R</math>的時間平均或系綜平均相比較，會出現漲落。對於普通電阻物質案例，經過平均程序後，歐姆定律仍舊正確無誤。
 
歐姆對於電阻的研究在[[馬克士威方程組]]出現之前很久，那時科學家對於交流電路的頻率相關效應也不了解。但是，在適當範圍內，現代電磁理論與現代電路理論並沒有發現任何與歐姆定律相悖之處。

==水力學類比==
歐姆定律可以用[[水力學類比]]（{{lang|en|hydraulic analogy}}）來描述。測量單位為[[帕斯卡]]的水壓，可以類比為電壓。在一根水管裏，由於任意兩點之間的水壓差會造成水流，水的流速（單位是[[公升]]每秒），可以類比為電流（單位是[[庫侖]]每秒）。「流量限制器」是安裝於水管與水管之間控制流量的閥門，可以類比為[[電阻器]]。通過流量限制器的水流流量，跟流量限制器兩端的水壓成正比，類似地，通過電阻器的電荷流量（電流），跟電阻器兩端的電壓成正比。這正是歐姆定律的論述。
 
流體流動網路的流量和流壓可以用水力學類比方法來計算<ref>{{cite book | author = A. Akers, M. Gassman, & R. Smith | title = Hydraulic Power System Analysis | url = https://archive.org/details/hydraulicpowersy0000aker | publisher = New York: Taylor & Francis | year = 2006 | pages = Chapter 13 | isbn = 0-8247-9956-9  }}</ref><ref>A. Esposito, "A Simplified Method for Analyzing Circuits by Analogy", ''Machine Design'', October 1969, pp. 173–177.</ref>。這方法可以應用於[[穩定流]]和[[暫態流]]（{{lang|en|transient flow}}）。對於線性[[層流]]，[[泊肅葉定律]]（{{lang|en|Poiseuille's law}}）描述水管的水阻，但是對於[[湍流]]，流壓-流量關係變為非線性。

==熱力學類比==
{{See also|熱傳導}}
設定電導體的[[電導率]]與兩端的電壓，歐姆定律可以預測出通過這電導體的[[電流密度]]。類似地，設定熱導體的[[熱導率]]與兩端的溫差，[[約瑟夫·傅立葉]]的[[熱傳導|熱傳導定律]]可以預測通過這熱導體的熱流<ref>{{Citation
  | last =傅立葉| first =約瑟夫| author-link = 約瑟夫·傅立葉  | title = The Analytical Theory of Heat  | publisher = Cambridge University Press  | origyear =1878  | year = 2009
  | url = http://www.archive.org/details/analyticaltheor00fourgoog
  | isbn = 978-1-108-00178-6}}</ref>。同樣的方程式形式可以描述這兩種現象。對於每一種案例，方程式的變量有不同的意義。具體而言，歐姆定律的方程式為：
:<math>\mathbf{J}= - \sigma \nabla V</math>
 
而熱傳導定律的方程式為：
:<math>\boldsymbol{\Gamma}= - k \nabla T</math> 
 
其中，<math>\boldsymbol{\Gamma}</math>是[[熱通量]]（{{lang|en|heat flux}}），<math>k</math>是導熱體的熱導率，<math>T</math>是溫度。
 
思考參數為溫度、熱導率與熱通量的熱傳導問體，和參數為電壓、電導率與電流密度的電傳導問體。這兩個問題相互等價。假若能夠解析一個熱傳導問體，則也能夠解析電傳導問題；反之亦然。
 
==電路分析==
在[[電路學]]裏，[[電阻器]]（歐姆電阻器）是一種電路元件，其電阻與電壓、電流無關。電阻器可以按照歐姆定律阻抗電荷的通過。每一個電阻器都有其設計製成的電阻<math>R</math>。更嚴格地說，電阻器是在某操作域內遵守歐姆定律的電路元件；歐姆定律和唯一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。
 
===串聯電阻電路===
[[File:Resistors in series.svg|200px|thumb|<math>n</math>個電阻器[[串聯]]形成的電路。]]
[[串联]]电阻的总电阻等於各個电阻之和，以方程式表示，
:<math>R_\mathrm{total} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n</math> 
 
其中，<math>R_n</math>是第<math>n</math>個電阻，<math>R_\mathrm{total}</math>是總電阻。
 
假設在電路兩端的電壓為<math>V</math>，則通過的电流為<math>I = {V}/{R_{total}}</math>。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為<math>R_\mathrm{total}</math>的歐姆電路。

===並聯電阻電路===
[[File:Resistors in parallel.svg|200px|thumb|<math>n</math>個電阻器[[並聯]]形成的電路。]]
相互[[并联]]的电阻，其总电阻的[[倒数]]等於其每个电阻的[[倒数]]和，以方程式表示：
:<math>{1 \over R_\mathrm{total}} = {1 \over R_{1}} + {1 \over R_{2}} + \cdots + {1 \over R_{n}}</math> 
 
假設在電路兩端的電壓為<math>V</math>，則通過的电流為<math>I = {V}/{R_{total}}</math>。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律，則這電路是電阻為<math>R_\mathrm{total}</math>的歐姆電路。
 
===週期性激發===
[[電容器]]、[[電感器]]、[[傳輸線]]等等，都是電路的[[電抗|電抗元件]]。假設施加[[周期函數|週期性]]電壓或週期性電流於含有電抗元件的電路，則電壓與電流之間的關係式變成[[微分方程式]]。因為歐姆定律的方程式只涉及實值的電阻，不涉及可能含有[[電容]]或[[電感]]的複值[[阻抗]]，所以，前面闡述的歐姆定律不能直接應用於這狀況。             
 
最基本的週期性激發，像[[正弦]]激發或[[餘弦]]激發，都可以用[[指數函數]]來表達：
:<math>\sin{\omega t} =\frac{1}{2j}(e^{j\omega t} - e^{ - j\omega t})</math>
:<math>\cos{\omega t} =\frac{1}{2}(e^{j\omega t} + e^{ - j\omega t})</math>
 
其中，<math>j</math>是[[虛數單位]]，<math>\omega</math>是實值[[角頻率]]，<math>t</math>是[[時間]]。
 
假設週期性激發為單頻率[[正弦]]激發，其角頻率為<math>\omega</math>。電阻為<math>R</math>的電阻器，其[[阻抗]]<math>{Z}</math>為：
:<math>{Z} =R</math> 
 
電感為<math>L</math>的電感器，其阻抗為：
:<math>{Z} = j\omega L</math> 
 
電容為<math>C</math>的電容器，其阻抗為：
:<math>{Z} =1/ j\omega C</math> 
 
電壓<math>{V}</math>與電流<math>{I}</math>的關係式為：
:<math>{V} = {I}  {Z}</math> 
 
注意到將阻抗<math>{Z}</math>替代電阻<math>R</math>，就可以得到這歐姆定律方程式的推廣。只有<math>{Z}</math>的實值部分會造成熱能的耗散。
 
對於這系統，電流和電壓的複值波形式分別為：
:<math>{I} ={I}_0 e^{j\omega t}</math> 
:<math>{V} ={V}_0 e^{j\omega t}</math> 
 
電流和電壓的實值部分<math>real({I})</math>、<math>real({V})</math>分別描述這電路的真實正弦電流和正弦電壓。由於<math>{I}_0</math>、<math>{V}_0</math>都是不同的複值純量，電流和電壓的[[相位]]可能會不一樣。
 
週期性激發可以[[傅立葉級數|傅立葉分解]]為不同角頻率的正弦函數激發。對於每一個角頻率的正弦函數激發，可以使用上述方法來計算響應。然後，將所有響應總和起來，就可以得到解答。
 
===線性近似===
[[File:Ohmic device and non-ohmic device.png|thumb|200px|電流對電壓線圖。理想電阻器和[[二極體|PN接面二極體]]的V-I線分別以紅色和黑色顯示。]]
歐姆定律是[[電路分析]]（{{lang|en|circuit analysis}}）使用的幾個基本方程式之一。它可以應用於金屬導電體或特別為這行為所製備的電阻器。在[[電機工程學]]裏，這些東西無所不在。遵守歐姆定律的物質或元件稱為「歐姆物質」或「歐姆元件」。理論上，不論施加的電壓或電流、不論是直流或交流、不論是正極或負極，它們的電阻都不變<ref>Hughes, E, ''Electrical Technology'', pp10, Longmans, 1969.</ref>。
 
但是，有些電路元件不遵守歐姆定律，它們的電壓與電流之間的關係（V-I線）乃非線性關係。[[二極體|PN接面二極體]]是一個顯明範例。如右圖所示，隨著二極體兩端電壓的遞增，電流並沒有線性遞增。給定外電壓，可以用V-I線來估計電流，而不能用歐姆定律來計算電流，因為電阻會因為電壓的不同而改變。另外，只有當外電壓為正值時，電流才會顯著地遞增；當施加的電壓為負值時，電流等於零。對於這類元件，V-I線的[[斜率]]<math>\mathfrak{r}</math>，稱為「小信號電阻」（{{lang|en|small-signal resistance}}）、「增量電阻」（{{lang|en|incremental resistance}}）或「動態電阻」（{{lang|en|dynamic resistance}}），定義為
:<math>\mathfrak{r}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}I}</math> 
 
單位也是[[歐姆]]，是很重要的電阻量，適用於計算非歐姆元件的電性<ref name=horowitz-hill>{{cite book |last=Horowitz |first=Paul|coauthors=Winfield Hill| title=The Art of Electronics |url=https://archive.org/details/artelectronics00horo |edition=2nd |year=1989 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-37095-7 |page = [https://archive.org/details/artelectronics00horo/page/n31 13] }}</ref>。

==溫度效應==
[[詹姆斯·馬克士威]]詮釋歐姆定律為，處於某狀態的導電體，其[[電動勢]]與產生的電流成正比。因此，電動勢與電流的比例，即電阻，不會隨著電流而改變。在這裡，電動勢就是導電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文，修飾語「處於某狀態」，詮釋為處於常溫狀態，這是因為物質的電阻率通常跟溫度有關。根據[[焦耳定律]]，導電體的[[焦耳加熱]]（{{lang|en|Joule heating}}）與電流有關，當傳導電流於導電體時，導電體的溫度會改變。電阻對於溫度的相關性，使得在典型實驗裏，電阻跟電流有關，從而很不容易直接核對這形式的歐姆定律。於1876年，馬克士威與同事，共同設計出幾種測試歐姆定律的實驗方法，能夠特別凸顯出導電體對於加熱效應的響應<ref>{{cite journal | journal = Nature | volume = 14 | title = Reports | url = https://archive.org/details/sim_nature-uk_1876-09-21_14_360/page/452 | editor = Normal Lockyer | publisher = Macmillan Journals Ltd | date = September 21, 1876 | page = 452 }}</ref>。
 
==其它版本的歐姆定律==
在[[電機工程學]]和[[電子工程學]]裏，歐姆定律妙用無窮，因為它能夠在宏觀層次表達電壓與電流之間的關係，即電路元件兩端的電壓與通過的電流之間的關係。在物理學裏，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為：
:<math>\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}</math> 
:<math>\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}</math>
 
[[File:Ohms law vectors.svg|thumb|200px|處於均勻外電場的均勻截面導電體（例如，電線）。]]
在導體內任意兩點g、h，定義[[電壓]]為將單位電荷從點g移動到點h，[[電場力]]所需做的[[機械功]]：<ref>{{Citation  | last = Alexander  | first = Charles  | last2 = Sadiku  | first2 = Matthew  | title = fundamentals of Electric Circuits  | publisher = McGraw-Hill  | year = 2006  | edition = 3, revised  | pages =pp. 9-10  | isbn = 9780073301150}}</ref>
:<math>V_{gh}\stackrel{def}{=}\  \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}=\int_g^h {\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}=\rho\int_g^h {\mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}} </math> 
 
其中，<math>V_{gh}</math>是電壓，<math>w</math>是機械功，<math>q</math>是電荷量，<math>\mathrm{d} \mathbf{l}</math>是微小線元素。
 
假設，沿著積分路徑，電流密度<math>\mathbf{J}=J\hat{\mathbf{l}}</math>為均勻電流密度，並且平行於微小線元素：
:<math>\mathrm{d} \mathbf{l}=\mathrm{d} l\hat{\mathbf{l}}</math>
 
其中，<math>\hat{\mathbf{l}}</math>是積分路徑的單位向量。
 
那麼，可以得到電壓：
:<math>V_{gh}=J\rho l</math>
 
其中，<math>l</math>是積分路徑的徑長。
 
假設導體具有均勻的電阻率，則通過導體的電流密度也是均勻的：
:<math> J = I/a</math>
 
其中，<math>a</math>是導體的截面面積。
 
電壓<math>V_{gh}</math>簡寫為<math>V</math>。電壓與電流成正比：
:<math>V=V_{gh}= I \rho l/a</math> 
 
總結，電阻與電阻率的關係為：
:<math>R = \rho l/a </math>
 
假設<math>J>0</math>，則<math>V>0</math>；將單位電荷從點g移動到點h，電場力需要作的機械功<math>w>0</math>。所以，點g的電勢比點h的電勢高，從點g到點h的電勢差為<math> - V</math>。從點g到點h，電壓降是<math>V</math>；從點h到點g，電壓升是<math>V</math>。
 
給予一個具有完美[[晶格]]的[[晶體]]，移動於這晶體的[[電子]]，其運動等價於移動於[[自由空間]]的具有[[有效質量]]（{{lang|en|effective mass}}）的電子的運動。所以，假設[[熱運動]]足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現[[晶體缺陷]]（{{lang|en|crystallographic defect}}），有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會發生[[散射]]。另外，假設溫度大於[[絕對溫度]]，則處於晶格點的原子會發生熱震動，會有熱震動的粒子，即[[聲子]]，移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為[[晶格散射]]（{{lang|en|lattice scattering}}）。主要由於上述兩種散射，[[自由電子]]的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻<ref>Seymour J, ''Physical Electronics'', pp 48–49, Pitman, 1972</ref>。
 
[[凝聚態物理學]]研究物質的性質，特別是其電子結構。在凝聚態物理學裏，歐姆定律更複雜、更廣義的方程式非常重要，屬於[[本構方程式]]（{{lang|en|constitutive equation}}）與[[運輸係數理論]]（{{lang|en|theory of transport coefficients}}）的範圍。

==經典微觀表述==
[[File:Electrona in crystallo fluentia.svg|thumb|200px|在德鲁德模型裏，電子（以藍色表示）不停地在固定不動的導電體離子（以紅色表示）之間移動與碰撞。假若施加電場於導電體，則電子的平均移動速度（稱為[[漂移速度]]）不等於零。電子的漂移速度方向與電場方向相反。]]
{{Main|德鲁德模型}}
當施加外電場於導電體時，電流密度的響應，基本上是屬於[[量子力學]]性質。詳盡細節，請參閱[[經典與量子電導率]]（{{lang|en|classical and quantum conductivity}}）。[[保羅·德鲁德]]於1900年研究出的德鲁德模型，可以用[[經典物理]]解釋歐姆定律，描述[[自由電子]]移動於金屬導電體的物理行為<ref>
{{cite journal|last= Drude|first= Paul|title= Zur Elektronentheorie der metalle|journal= Annalen der Physik|volume= 306|pages= 566|issue= 3|url= http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/fulltext/112485959/PDFSTART|year= 1900|doi= 10.1002/andp.19003060312}}{{Dead link|date=2019年4月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
</ref>
<ref>
{{cite journal|last= Drude|first= Paul|title= Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte|journal= Annalen der Physik|volume= 308|issue= 11|pages= 369|url= http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/fulltext/112485893/PDFSTART|year= 1900|doi= 10.1002/andp.19003081102}}{{Dead link|date=2019年4月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
</ref>。
 
在德鲁德模型裏，自由電子會不停地移動碰撞於固定不動、組成整個金屬導電體[[晶格]]的正價[[離子]]之間。金屬裏的每一個自由電子，感受到[[電場力]]的作用，會呈[[加速運動]]。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放給離子，所以，電子的平均移動速度是[[漂移速度]]，其漂移速度的方向與電場方向相反。
 
電子感受到的平均電場力<math>\mathbf{F}_{ave}</math>為：
:<math>\mathbf{F}_{ave} = - e \mathbf{E}_{ave}</math>
 
其中，<math>\mathbf{E}_{ave}</math>是平均電場，<math>e</math>是單位電荷量。
 
德鲁德計算出漂移速度<math>\mathbf{v}_{d}</math>為：
:<math>\mathbf{v}_{d} = - e \mathbf{E}_{ave}\tau/m</math> 
 
其中，<math>\tau</math>是[[平均自由時間]]（{{lang|en|mean free time}}），是碰撞之間的平均時間間隔，<math>m</math>是電子的[[質量]]。
 
在金屬裏，電荷載子為電子，所以電流密度與漂移速度的關係為：
:<math>\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d}=ne^2 \tau\mathbf{E}_{ave}/m</math> 
 
其中，<math>n</math>是電子密度。
 
假設電場是均勻電場，<math>\mathbf{E} =\mathbf{E}_{ave}</math>，設定電阻率為：
:<math>\rho=\frac{m}{ne^2 \tau}</math>
 
則電場與電流密度的關係為：
:<math>\mathbf{E} =\rho\mathbf{J}</math> 
 
注意到漂移速率<math>v_{d}</math>超小於熱速率<math>v_{t}</math>，
:<math>\frac{1}{2}m v^2_{t} =\frac{3}{2}k_B T</math>
 
其中，<math>k_B</math>是[[波茲曼常數]]，<math>T</math>是[[溫度]]。
 
因此，平均自由時間與熱速率有關，與漂移速率無關，所以平均自由時間也與電流密度、電場無關。質量、電子密度、單位電荷，都與電流密度、電場無關。總結，電阻率與電流密度、電場無關。
 
===磁效應 ===
前面得到的答案只成立於導電體的[[參考系]]。在[[經典電磁學]]裏，假設處於[[磁場]]<math>\mathbf{B}</math>的導電體，以相對速度<math>\mathbf{v}_0</math>移動於磁場的參考系<math>\mathcal{S}</math>，則電子感受到的平均[[勞侖茲力]]<math>\mathbf{F}_{ave}</math>為：
:<math>\mathbf{F}_{ave} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})</math> 
 
漂移速度<math>\mathbf{v}_{d}</math>為：
:<math>\mathbf{v}_{d} = - e(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})\tau/m</math> 
 
電場與電流密度的關係為：
:<math>\mathbf{J} = - ne\mathbf{v}_{d}
=ne^2\tau(\mathbf{E}_{ave}+\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}_{ave})/m</math> 
 
所以，歐姆定律的形式推廣為：
:<math>\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B} =\rho \mathbf{J}</math> 

==常見錯誤==
不少人會認為歐姆定律是在說明
:<math>V=iR</math>
實際上，上式只是電阻的定義，而歐姆定律所主張的是任何物件都會滿足
:<math>V \propto i</math>
是一個錯誤的主張。（僅對部分歐姆式導體正確）<ref>Principles of Physics 11th Edition, by David Halliday, Robert Resnic, Jearl Walker, page 26-13</ref>

==參閱==
{{Portal|電子學}}
* [[薄膜電阻]]
* [[菲克擴散定律]]
* [[霍普金森定律]]（{{lang|en|Hopkinson's law}}，靜磁學的歐姆定律）
 
== 參考文獻 ==
{{Reflist|30em}}

{{-}} 
{{电磁学}}

{{Authority control}}

[[Category:电路定理|O]]
[[Category:电磁学|O]]
[[Category:物理定律|O]]
[[Category:经验定律]]
[[Category:電壓]]
[[Category:電阻與電導]]