查看“︁欧几里得空间”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
[[Image:Coord system CA 0.svg|thumb|right|250px|三维欧几里得空间中的每个点由三个坐标确定。]]

'''欧几里得空间'''是在约公元前300年，由[[古希腊]][[数学家]][[欧几里得]]建立的[[角]]和[[空間 (數學)|空间]]中[[距离]]之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上[[二维]]物体的“平面几何”，他接着分析[[三維空間|三维]]物体的“立体几何”，所有欧几里得的[[公理]]在[[幾何原本]]中都有所體現。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 '''n维欧几里得空间'''（甚至简称 '''<math>n</math> 维空间'''）或'''有限维实内积空间'''。

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为'''实[[内积空间]]'''（不一定[[完備性|完备]]），
[[希尔伯特空间]]在[[抽象代數|高等代数]]教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。
尽管结果的数学非常抽象，它却呈现了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。
另外也存在其他種類的空间，例如球面[[非欧几里得空间]]，[[相对论]]所描述的[[四维]][[时空]]在[[重力]]出现的时候也不是欧几里得空间。

== 直觉概述 ==
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的[[点]]所成的集合。其一是[[平移]]，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的[[旋转]]，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是[[子集]]）应被认为是等价的（[[全等]]）。（参见[[歐幾里得群|欧几里得群]]）。

为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了[[内积]]的二维[[实数]]的[[向量空间]]。有着:
* 在这个向量空间中的[[向量]]对应于在欧几里得平面中的点，
* 在向量空间中的[[加法]]运算对应于平移，
* 内积蕴涵了角和距离的概念，它可被用来定义旋转。
一旦欧几里得平面用这种语言描述了，扩展它的概念到任意维度就是简单的事情了。对于大多数部分，词汇、公式、和计算对更高维的出现不造成任何困难。（但是，旋转在高维中是非常微妙，而高维空间的可视化仍很困难，即使对有经验的[[数学家]]也一样）。

欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间[[群作用|作用]]于其上[[仿射空间]]。直觉上，区别在于对于[[原点]]应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。

== 實數坐標空間 ==
以<math>\mathbb R</math>表示[[實數#公理的方法|實數-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-]]。對任意一個正整數n，實數的[[多元组|n元組]]的全體構成了<math>\mathbb{R}</math>上的一個n[[維度]][[向量空間]]，用<math>\mathbb{R}^n</math>來表示。有時稱之為'''實數坐標空間'''。

<math>\mathbb{R}^n</math>中的元素寫作<math>X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>，这裡的<math>x_i</math>都是實數。<math>\mathbb{R}^n</math>作為向量空間，其運算是這樣定義的：

:<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)</math>
:<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>

通常引入實數坐標空間<math>\mathbb{R}^n</math>的[[標準正交基]]：
:<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)</math>

於是<math>\mathbb{R}^n</math>中任意的向量可以表示成下面的形式：

:<math>\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>

n維實數坐標空間是實n維向量空間的[[原型]]。事實上，每一个n維向量空間<math>V\ </math>都可以看作實數坐標空間——<math>V\ </math>與<math>\mathbb{R}^n</math>是[[同構]]的（isomorphic）。不過這個同構不是[[正則]]（Canonical）的，每個同構的選擇都相當於在<math>V\ </math>中選擇了一組[[基 (線性代數)|基]]（即<math>\mathbb{R}^n</math>的n個标准基在<math>V\ </math>中的同構[[像]]）。我們有時候只着眼於任意n維向量空間而不是具體的<math>\mathbb{R}^n</math>，這是因為不希望為坐標的概念所束縛（即，有時候不必選擇<math>V\ </math>中特定的一組基）。

== 歐幾里得結構 ==
至於歐幾里得空間，則是在<math>\mathbb{R}^n</math>上再添加一些內容：歐幾里得結構。<br />
為了做[[歐氏幾何]]，人们希望能討論兩點間的[[距離]]，直線或向量間的[[角度|夾角]]。一個自然的方法是在<math>\mathbb{R}^n</math>上，對任意兩個向量<math>\mathbf{x}</math>、<math>\mathbf{y}</math>，引入它們的「標準[[內積]]」<math>\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle</math>（一些文獻上稱為[[點積]]，記為<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}</math>）：

:<math>\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n</math>。
也就是說，<math>\mathbb{R}^n</math>中的任意兩個向量對應着一個實數值。
我們把<math>\mathbb{R}^n</math>及這樣定義的內積，稱為<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''歐幾里得結構'''；此時的<math>\mathbb{R}^n</math>也被稱為n維歐幾里得空間，內積"<,>"稱為'''歐氏內積'''。

利用這個內積，可以建立距離、長度、角度等概念：
* 向量<math>\mathbf{x}</math>的長度：

:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}</math>

這裡的長度函数滿足[[範數]]所需的性質，故又稱為<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''歐氏範數'''。

* <math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>所夾的'''內角'''以下列式子给出

:<math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>

這裡的<math>\cos^{-1}</math>為[[三角函数|反餘弦函數]]。<br />
* 最后，可以利用歐氏範數來定義<math>\mathbb{R}^n</math>上的'''距離函數'''，或稱'''[[度量]]'''：

:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>。

這個距離函數稱為[[歐幾里得度量]]，它可以看作[[勾股定理]]一種形式。

這裡的<math>\mathbb{R}^n</math>僅指實數向量空間，而加入了如上定義的歐幾里得結構後才稱為'''歐氏空間'''；有些作者會用符號<math>\mathbb{E}^n</math>來標記之。歐氏結構使<math>\mathbb{E}^n</math>具有這些空間結構：[[內積空間]]、[[希爾伯特空間]]、[[賦範向量空間]]以及[[度量空間]]。

== 欧氏拓扑 ==

因为欧氏空间是一个[[度量空间]]，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的[[拓扑空间]]。<math>\mathbb{E}^n</math>上的度量拓扑被称为是欧氏拓扑。欧氏拓扑中的集是[[开集|开]]的当且仅当它包含了该集的每一点周边的[[开球]]。可以证明，欧氏拓扑等价于<math>\mathbb{R}^n</math>上的[[积拓扑]]。

关于<math>\mathbb{R}^n</math>上拓扑的一个并不浅显易懂的重要结论是，[[鲁伊兹·布劳威尔]]的[[区域不变性]]。任意<math>\mathbb{R}^n</math>的子集（以及其[[子拓扑]]）与另外一个<math>\mathbb{R}^n</math>的子集[[同胚]]的话，那么这个子集自己是[[开集|开]]的。这个结果的一个直接的结论就是<math>\mathbb{R}^m</math>与<math>\mathbb{R}^n</math>不[[同胚]]，当<math>m\neq n</math>。

== 与流形的关系 ==

在现代数学中，欧几里得空间形成了其他更加复杂的几何对象的原型。特别是[[流形]]，它是逻辑上[[同胚]]于欧几里得空间的[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]拓扑空间。

<math>n</math>维欧氏空间是[[n维流形]]的典型例子，事实上也就是[[光滑流形]]。对于<math>n\neq 4</math>，任意与<math>\mathbb{R}^n</math>[[同胚]]的可微n维流形，也是[[微分同胚]]的。值得惊奇的结果是，1982年[[西蒙·唐纳森]]证明了对于<math>n= 4</math>的情况不成立；其反例被称为是[[怪R4|怪'''R'''<sup>4</sup>]]。

欧氏空间也被理解为'''线性流形'''。一个<math>\mathbb{R}^n</math>中的m维线性子流形是一个（作为[[仿射空间]]）嵌入其中的m维欧氏空间。例如，任意高维（<math>n>1</math>）欧氏空间中的任意直线是该空间中的一个1维线性子流形。

一般的说，流形的概念包含了欧几里得几何和[[非欧几里得几何]]二者。在这个观点上，欧几里得空间的根本性质为它是平坦的，也就是非[[曲率|弯曲]]的。[[现代物理学]]特别是[[相对论]]，展示我们的[[宇宙]]不是真正的欧几里得时空。尽管这在理论上甚至在某些实际问题如[[全球定位系统]]和[[航空]]中是重要的，欧几里得模型仍足够精确的用于大多数其他实际问题。

== 相关条目 ==
* [[欧几里得几何]]
* [[欧几里得距离]]
* [[閔可夫斯基時空]]
* [[黎曼几何]]

== 引用 ==
* {{cite book | author=Kelley, John L. | title=General Topology | publisher=Springer-Verlag | year=1975 | id= ISBN 978-0-387-90125-1 }}
* {{cite book | author=Munkres, James | title=Topology | publisher=Prentice-Hall | year=1999 | id= ISBN 978-0-13-181629-9 }}
{{泛函分析}}
{{維度}}
{{Authority control}}
[[Category:欧几里得几何|O]]
[[Category:線性代數|O]]
[[Category:拓扑空间|O]]
[[Category:度量几何|O]]