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{{Unreferenced|time=2016-09-05T01:55:03+00:00}} 
[[File:Artgate Fondazione Cariplo - Cifrondi Antonio, Euclide.jpg|thumb|200px|欧几里得]]
{{General geometry |branches}}

'''欧几里得几何'''（{{lang-en|Euclidean geometry}}）指按照[[欧几里得]]的《[[几何原本]]》构造的[[几何学]]。

欧几里得几何有时就指二维[[平面 (数学)|平面]]上的几何，即'''平面几何'''，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做[[立体几何]]，高维的情形请参看[[欧几里得空间]]。

[[数学]]上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于[[點線面公設]]。数学家也用这一术语表示具有相似性质的[[高维几何]]。

其中[[公設]]五又稱之為[[平行公設]]（{{lang|en|Parallel Axiom}}），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在[[高斯]]（{{lang|en|F. Gauss}}, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家[[尼古拉·罗巴切夫斯基|羅巴切夫斯基]]（{{lang|en|Nikolay Ivanovitch Lobachevski}}）、匈牙利數學家波約（{{lang|en|Bolyai}}）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即'''[[非欧几里得几何|非歐幾何]]'''（{{lang|en|non-Euclidean geometry}}）。

== 公理描述 ==
[[File:euclid-proof.jpg|thumb|448px|歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含<math>AB\Gamma</math>等邊三角形的構成，是由<math>A</math>和<math>B</math>兩點，畫出圓<math>\Delta</math>與圓<math>E</math>，並且交叉於第三點<math>\Gamma</math>上。]]
欧几里得几何的传统描述是一个[[公理系统]]，通过有限的[[公理]]来证明所有的'''[[恆真式|真]][[命题]]'''。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：

# 从一[[點]]向另一[[點]]可以引一条直线。
# 任意[[线段]]能无限延伸成一条直线。
# 给定任意线段，可以以其一个端点作为[[圆心]]，该线段作为[[半径]]作一个[[圆]]。
# 所有[[直角]]都[[相等]]。
# 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的[[内角]]之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为[[平行公理]]（[[平行公设]]），可以导出下述命题：

{{Cquote|通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。}}

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造[[非欧几里得几何]]，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即[[绝对几何]]）。

从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理（公设）并不完备。例如，该几何中的定理：在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。{{Citation needed|然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。|time=2019-12-27T21:50:53+00:00}}因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有[[希尔伯特公理]]。

欧几里得还提出了五个'''一般概念'''，也可以作为公理。当然，之后他还使用[[量]]的其他性质。
# 与同一事物相等的事物相等。
# 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
# 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
# 一个事物与另一事物重合，则它们相等。
# 整体大于局部。

== 现代方法 ==

如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过[[解析几何]]。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。

* 构造

首先，定义点的集合为[[实数]]对<math>(x, y)</math>的集合。给定两个点<math>P=(x, y)</math>和<math>Q=(z, t)</math>，定义距离：
:<math>|PQ|=\sqrt{(x-z)^2+(y-t)^2}</math>.
这就是'''[[欧几里得度量]]'''。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点<math>P</math>和<math>Q</math>的直线可以定义成点的集合<math>A</math>满足
:<math>|PQ| =|PA|+|AQ|</math>或<math> |PQ| =\pm(|PA|-|AQ|)</math>。

== 经典定理 ==
* [[塞瓦定理]]
* [[梅涅劳斯定理]]
* [[托勒密定理]]
* [[海伦公式]]
* [[九点圆]]
* [[勾股定理]]
* [[蝴蝶定理]]

== 参见 ==
{{portal|几何学}}
* [[非欧几里得几何]]
** [[双曲几何]]
** [[椭圆几何]] 

{{数学领域}}
{{Authority control}}

[[Category:欧几里得几何|*]]
[[Category:古典幾何學]]
[[Category:數學史]]
[[Category:初等几何]]