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在[[微積分]]中，次切距（subtangent）是切線與切點垂線在橫坐標軸上的距離。
[[File:Subtangent.png|thumb|365px|[[戈特弗里德·莱布尼茨|萊布尼茲]]的六個函數（幾何線段）與次切距（subtangent）。]]
[[File:InfinitesimalTriangle.png|thumb|365px|[[布莱兹·帕斯卡|巴斯卡]]的極小三角形方法。]]
[[File:LeibnizInfinitesimalTriangle.png|thumb|365px|[[戈特弗里德·莱布尼茨|萊布尼茲]]的的極小三角形方法。]]
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== 歷史 ==
=== 反切線問題 ===
分別於1636年與1637年，法國數學家[[皮埃爾·德·費馬|費馬]]與[[勒内·笛卡儿|笛卡兒]]提出了座標幾何，這鼓舞了當時的數學家投入於研究[[代數曲線]]。
然而，有些曲線無法以代數式表示，它們被稱為超越曲線。1638 年，另一位法國數學家'''佛洛里博得·德博納'''（Florimond de Beaune）寫了一封信問笛卡兒一個數學問題，這個問題是數學歷史上的第一個'''反切線問題'''（inverse tangent problem），亦即，從切線來求曲線：
:令 <math>\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}}</math> 與 <math>(y - x)</math> 之間有一個[[比例論|等比關係]]，亦即 <math>\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}} = \frac{\alpha}{(y-x)}</math>（<math>\alpha</math> 為任意數），求該曲線。
其中，<math>\overline{OP}</math> 為切點垂線長，<math>\overline{OT}</math> 為次切距（見附圖）。
笛卡兒給了詳盡的回覆，包括曲線繪製方法與計算座標的數值方法。但是，他無法找到這條曲線的代數式，他了解到，這是一條超越曲線。
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大約於1672年到1676年，[[戈特弗里德·莱布尼茨|萊布尼茲]]到巴黎旅居，一位建築師'''克洛德·佩羅'''（Claude Perrault）向他提出一個類似的問題：
:令切線長度保持不變，求該曲線。
切線長即 <math>\overline{PT}</math>（tangent）。這被稱為[[曳物線]]問題（tractrix）。這也是一個反切線問題。萊布尼茲一直到 1693 年才發表了他的解答。

=== 連續曲線的函數（幾何線段）與極小三角形 ===
萊布尼茲將一個連續曲線以六個幾何線段來表示，他稱呼這六個線段為'''函數'''（function），這些函數決定了這個曲線。這是＂函數＂這個術語的來源。

然後，他使用了[[布莱兹·帕斯卡|巴斯卡]]的極小三角形（infinitesimal triangle）技巧，給出了微分方程式：
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}}</math>
因此，'''德博納反切線問題'''的微分方程式為：
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\alpha}{(y-x)}</math>
解出這個微分方程式就可以得到曲線方程式。

== 參考 ==
* [http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk5/js/linkage/m7.pdf Leibniz's Original Notion of Functions and Its Meaning] {{Wayback|url=http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk5/js/linkage/m7.pdf |date=20160304100946 }}
* [https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Infinitesimal_Calculus/History 1911 Encyclopædia Britannica/Infinitesimal Calculus/History] {{Wayback|url=https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Infinitesimal_Calculus/History |date=20190812041322 }}
* ''The History of Mathematics: A Brief Course'', Roger L. Cooke

[[Category:曲線]]