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[[File:Elliptical coordinates grid.svg|thumb|right|350px|橢圓坐標系]]
'''橢圓坐標系'''（{{lang-en|Elliptic coordinate system}}）是一種二維[[正交坐標系]]。其[[坐標曲線]]是共焦的[[橢圓]]與[[雙曲線]]。橢圓坐標系的兩個[[焦點]] <math>F_{1}</math> 與 <math>F_{2}</math> 的[[直角坐標]] <math>(x,\ y)</math> ，通常分別設定為 <math>( - a,\ 0)</math> 與 <math>(a,\ 0)</math> ，都處於[[直角坐標系]]的 x-軸。

==基本定義==
橢圓坐標 <math>(\mu,\ \nu)</math> 最常見的定義是
:<math>x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu</math> 、
:<math>y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu</math> ；

其中， <math>\mu\ge 0</math> 為非負值實數， <math>\nu \in [0, 2\pi)</math> 。

在複值平面，等價關係式為
:<math>x + iy = a \ \cosh(\mu + i\nu)</math> 。

以下兩個[[三角恆等式]]
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1</math> 、
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1</math> 

表明， <math>\mu</math> 的等值曲線形成[[橢圓]]，而 <math>\nu</math> 的等值曲線則形成[[雙曲線]]：

==標度因子==
橢圓坐標 <math>\mu</math> 與 <math>\nu</math> 的標度因子相等：
:<math>h_{\mu}=h_{\nu}=a\sqrt{\sinh^{2}\mu+\sin^{2}\nu}</math> ，

為了簡化標度因子的計算，可以用[[二倍角公式]]來等價地表達為
:<math>h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\frac{1}{2} (\cosh2\mu - \cos2\nu})</math> 。

無窮小面積元素等於
:<math>dA = a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是 
:<math>\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} \right) </math> 。

其它微分算子，例如 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> 與 <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用橢圓坐標表達，只需要將標度因子代入[[正交坐標系|正交坐標]]條目內對應的一般公式。

==第二種定義==
另外有一種在直覺上比較賦有幾何性的橢圓坐標 <math>(\sigma,\ \tau)</math> ；其中， <math>\sigma = \cosh \mu</math> 、<math>\tau = \cos \nu</math> 。同樣地，<math>\sigma</math> 的等值曲線是橢圓，而 <math>\tau</math> 的等值曲線是雙曲線。在這裏， <math>\tau</math> 必須屬於區間 <math>[-1,\ 1]</math> ，而 <math>\sigma</math> 必須大於或等於 <math>1</math> 。

使用橢圓坐標，任何在 xy-平面上的點 <math>(\sigma,\ \tau)</math> ，其與兩個焦點的距離 <math>d_1</math> ，<math>d_2</math> 有一個很簡單的關係（回想兩個焦點 <math>F_1</math> 與 <math>F_2</math> 的坐標分別為 <math>( - a,\ 0)</math> 與 <math>(a,\ 0)</math> ）：
:<math>d_{1}+d_{2}=2a\sigma</math> 、
:<math>d_{1} - d_{2}=2a\tau</math> 。

或者，
:<math>d_{1}=a(\sigma+\tau)</math> 、
:<math>d_{2}=a(\sigma - \tau)</math> 。

第二種橢圓坐標有一個缺點，那就是它與直角坐標並不保持[[一一對應]]關係：
:<math>x = a\sigma\tau</math> 、
:<math>y^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)</math> 。

==第二種標度因子==
第二種橢圓坐標 <math>(\sigma,\ \tau)</math> 的標度因子是
:<math>h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}</math> 、
:<math>h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}</math> 。

所以，無窮小面積元素等於
:<math>dA = a^{2} \frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是 
:<math>\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) }
\left[
\sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial}{\partial \sigma} 
\left( \sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + 
\sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial}{\partial \tau} 
\left( \sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)
\right]</math> 。

其它微分算子，例如 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> 與 <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用第二種橢圓坐標表達，只需要將第二種標度因子代入[[正交坐標系|正交坐標]]條目內對應的一般公式。

==外推至更高維數==
橢圓坐標系是幾種三維[[正交坐標系]]的基礎。將橢圓坐標系往 z-軸方向投射，則可以得到[[橢圓柱坐標系]]。將橢圓坐標系繞著 x-軸旋轉，就可以得到[[長球面坐標系]]，而繞著 y-軸旋轉，又可以得到[[扁球面坐標系]]；在這裏，x-軸是連接兩個焦點的直軸，y-軸是在兩個焦點中間的直軸。

==應用==
橢圓坐標最經典的用法是在解析像[[拉普拉斯方程]]或[[亥姆霍茲方程]]這類的[[偏微分方程式]]。在這些方程式裏，橢圓坐標允許[[分離變數法]]的使用。擧一個典型的例題，有一塊寬度為 <math>2a</math> 的平板[[導體]]，請問其周圍的[[電場]]為什麼？應用橢圓坐標，我們可以精緻地解析這例題。

==參閱==
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#保守性與對稱性|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]

==參考文獻==
{{Portal|数学}}
* {{cite book | author = Morse PM, Feshbach H | date = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | id = ISBN 0-07-043316-X| pages = p. 657}}

* {{cite book | author = Margenau H, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = pp. 182–183 }}

* {{cite book | author = Korn GA. Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 179}}

{{正交坐標系}}
[[Category:坐标系|T]]