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在[[複分析]]中，'''橢圓函數'''是[[複平面]]上的[[双周期函数|雙週期]][[亞純函數]]。歷史上，橢圓函數起初被視作[[橢圓積分]]之逆。

更明確地說，固定<math>\mathbb{C}</math>中的格<math>\Lambda := \mathbb{Z}a \oplus \mathbb{Z}b \subset \mathbb{C}</math>（<math>a,b \in \mathbb{C}</math>），亞純函數<math>f</math>是<math>\Lambda</math>的橢圓函數，若且唯若對每個<math>z \in \mathbb{C}, \ell \in \Lambda</math>皆有<math>f(z+\ell)=f(z)</math>（此即「雙週期」的含義）。

[[全純函數|全純]]橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根據複分析中的[[刘维尔定理_(复分析)|刘维尔定理]]，有界的全纯函数只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶[[极点_(复分析)|極點]]，或者说，椭圆函数是有理型复函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将[[常函数]]视为椭圆函数。

一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。

椭圆函数在单位平行四边形内的[[留数]]之和为零，因此可以进一步得知椭圆函数的[[极点 (复分析)|阶]]数至少为二，否则，该函数在单位胞腔内将只有一个一阶极点，在该点上的[[洛朗级数|函数展开式]]的无限部分将不为零，导致矛盾。標準的橢圓函數有兩種，分別是只有留数之和为零的两个一阶极点的[[雅可比橢圓函數]]及只有一个留数为零的二阶极点的[[魏爾斯特拉斯橢圓函數]]。雖然雅可比橢圓函數較為古老，且與實際應用的關係更為直接，大多數現代作者在介紹基本理論時多採用魏爾斯特拉斯橢圓函數，因其函數形式更為簡單。是[[准周期函数]]的[[Θ函數]]雖非雙週期函數，但也能用來構造橢圓函數。

出于周期性，椭圆函数还具有一系列好的性质。比如，单位胞腔内椭圆函数零点的数目等同于极点的数目，而取得任何有限或无限值的次数相同。进一步地，对于两个拥有相同周期的椭圆函数，存在代数关系：如果它们具有相同的的零点和极点及其阶数，那么它们之比是非零的常数；如果它们具有相同的极点和极点的无限部分，那么它们之差为一常数。所以，任意椭圆函数都可以用[[魏爾斯特拉斯橢圓函數]]和[[雅可比橢圓函數]]来描述。

==雅可比椭圆函数==
{{Main|雅可比椭圆函数}}
{{Main|Θ函數}}
共有十二个雅可比椭圆函数，分别對映到某個矩形的[[頂點 (幾何)|頂點]]連線。此諸頂點記作 <math>s\,</math> <math>c\,</math> <math>d\,</math> <math>n\,</math>。在十二个椭圆函数中，椭圆正弦函数<math>\operatorname {sn}</math>，椭圆余弦函数<math>\operatorname {cn}</math>和椭圆德尔塔函数<math>\operatorname {dn}</math>是最基本的，作为第一类不完全椭圆积分的逆出现。如果有

:<math>u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}. </math>

那么三个椭圆函数就可以定义为
:<math>\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,</math>
:<math>\operatorname {cn}\; u = \cos \phi</math>
:<math>\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,</math>

这里的<math>m \in \mathbb{R}</math>是椭圆模长<math>k</math>的平方，一般取<math>0 \leq m \leq 1</math>。另外九种椭圆函数可以表示为基本椭圆函数的[[除法|商]]和[[倒数]]。

==文獻==
* Abramowitz, Milton en Stegun, Irene A., eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4.（Chapter 16, 18）

[[Category:複分析|T]]
[[Category:模形式]]
[[Category:橢圓函數]]