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|G1=Math
|2=zh-cn:采样;zh-tw:抽樣
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在[[概率論]]中，'''機率積分轉換又稱萬流齊一''' (Probability integral transform；Universality of the Uniform)<ref>Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9</ref> 說明若'''任意'''一個[[隨機變量|連續的隨機变量 (c.r.v)]]，當已知其[[累積分布函數|累積分布函數 (cdf)]]為'''''F'''''<sub>x</sub>(''x'')，可透過隨機变量轉換令'''''Y=F'''''<sub>x</sub>(''X'')，則可轉換為一 '''''Y'''''～'''''U(0,1)''''' 的[[連續型均勻分布|均勻分佈]]。換句話說，若設 '''''Y''''' 是 '''''X''''' 的一個隨機变量轉換，而恰好在給定 '''''Y''''' 是其[[累積分布函數|累積分布函數 (cdf)]] '''''F'''''<sub>x</sub>(''X'') 本身時，可以將此隨機变量轉化為一均勻 (0,1) 分佈。

==應用==
*在統計[[數據分析]]中，機率積分轉換可用於確認一組觀察結果是否能給定特定的分佈合理地模型化。具體地來說，此定理能構成一個等值的集合，並進行測試是否成均勻分佈以構建數據集。這方面的例子有P-P plot和[[柯爾莫諾夫-斯米爾諾夫檢驗|K-S檢定]]。
<br />
*第二個用途是[[耦合 (機率) |耦合(關聯結構)]]，耦合是处理统计中的[[随机变量]][[相关性]]问题的一种方法，由一组随机变量的[[边缘分布|邊際分佈]]来确定它们的[[联合分布]]。通过关联结构来确定一个联合分布的方法是基于如下的思想，透過此定理可以分别将每个边缘分布都转换为[[均勻分布]]的转换组成。这样，一个关联结构（dependence structure）就可以表达为一个基于上述所得平均分布之上的联合分布，而关联结构（copula）即是边缘均匀随机变數之上的一个联合分布。在实际应用中，上述的转换可能被设置为每个边缘变量的初始化步骤，或者上述转换的参数可能根据具体'''关联结构'''的对应参数设置。
<br />
*第三種用途是透過此定理從[[均勻分佈]]轉換為特定分佈：這被稱為[[逆轉換抽樣]](inverse transform sampling)。

==範例==

當有一個'''任意'''的[[隨機變量|連續隨機變數(c.r.v)]]，其[[累積分布函數|累積分布函數(cdf)]]為'''''F'''''<sub>x</sub>(''x'')，設'''''Y'''''定義為

:<math>Y=F_X(X) \,</math>
具有均勻(0,1)分佈

當已知'''''Y'''''～'''''U(0,1)'''''，設'''''Y'''''是'''''X'''''隨機變數轉換，我們令''''' X = g<sup>-1</sup>(Y)'''''，其中'''''g(.)'''''為一增函數，則'''''g(x)'''''恰為'''''X'''''
之累積分配函數(cdf)即

:<math>F_X(x)=g(x) \,</math>

若更精確的定義，令'''''X'''''是具有標準常態分佈'''''N(0,1)'''''的隨機變數時，其累積分配函數(cdf)為:

:<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt 
            = \frac12\Big[\, 1 + \operatorname{erf}\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)\,\Big],\quad x\in\mathbb{R},
\,</math>
其中 <math>\operatorname{erf}(),</math>是誤差函數。若將新的隨機變數'''''Y'''''定義為'''''Y'''''=Φ(''X''）時，則呈均勻分佈。

如果'''''X'''''呈指數分布'''''X～Exp（<math>\lambda</math>）'''''其累積分配函數(cdf)為<math>F_X(x)=1-e^{-\lambda x}</math>，當<math>\lambda</math>為1時，則可得

　<math>F_X(x)=1-e^{- x} \,</math>透過此定理可轉換為

　<math>Y=1-e^{- x}</math>服從均勻分佈。

另外透過對稱性，可得

　<math>Y'=e^{- x} \,</math>

依然服從均勻分布。

== 相關條目 ==
{{Portal|数学}}
*[[逆轉換抽樣]]
*[[耦合 (機率)]]
*[[指數分布]]

== 來源 ==
<references/>
== 参考文献 ==
# Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9
# Sklar, A. Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. 1959, 8
#張翔 提綱挈領學統計

[[Category:概率论]]