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{{noteTA|T=zh-cn:概率公理;zh-hans:概率公理;zh-tw:機率公設|1=zh-cn:公理;zh-hans:公理;zh-tw:公設|G1=Math}}
{{Probability fundamentals}}
'''機率公理'''（{{lang-en|Probability axioms}}）是[[概率論]]的公理，任何[[事件 (概率論)|事件]]發生的[[概率]]的定義均滿足概率公理。因其提出者为[[柯尔莫果洛夫|安德烈·柯尔莫果洛夫]]，也被稱为'''柯尔莫果洛夫公理'''（{{lang|en|Kolmogorov axioms}}）。

某个事件<math>E</math>的概率<math>P(E)</math>是定义在“全体”（universe）或者所有可能基础事件的[[样本空间]]<math>\Omega</math>时，概率<math>P</math>必须满足以下柯尔莫果洛夫公理。

也可以说，概率可以被解释为定义在样本空间的子集的[[σ代数]]上的一个[[测度]]，那些子集为事件，使得所有集的测度为<math>1</math>。这个性质很重要，因为这裡提出[[条件概率]]的自然概念。对于每一个非零概率A都可以在空间上定义另外一个概率：
:<math>P(B \vert A) = {P(B \cap A) \over P(A)}</math>
通常读作“给定A时B的概率”。如果给定A时B的条件概率与B的概率相同，<math>P(B \vert A) = P(B)</math>，则称A与B[[统计独立|互相独立]]。

当样本空间是[[有限]]或者[[可数无限]]时，概率函数也可以以基本事件<math>\{e_1\}, \{e_2\}, ...</math>定义它的值，这里<math>\Omega = \{e_1, e_2, ...\}</math>。

== 柯尔莫果洛夫公理 ==

假设有一个基础集<math>\Omega</math>，其子集的集合<math>\mathfrak{F}</math>为[[σ代数]]，和一个给<math>\mathfrak{F}</math>的元素指定一个实数的函数<math>P</math>。<math>\mathfrak{F}</math>的元素，称为“[[事件 (概率论)|事件]]”。

=== 第一公理（非负性） ===
:对于任意一个集合<math>A\in \mathfrak{F}</math>， 即对于任意的事件<math>P(A) \geq 0</math>。

即，任一事件的概率都可以用<math>0</math>到<math>1</math>区间上的一个实数来表示。

=== 第二公理（归一化） ===

:<math>P(\Omega) = 1</math>。

即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了。

这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义。

=== 第三公理（可加性） ===

:任意两两不相交事件<math>E_1, E_2, ...</math>的[[可数]]序列满足<math>P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots) = \sum P(E_i)</math>。

即，不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠，这一关系不成立。

如想通过[[代数]]了解柯尔莫果洛夫的方法，请参照[[随机变量代数]]。

又發展成Boole不等式，證明時常使用此公式：<math>{\displaystyle P(\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}P(A_{i})}</math>。

== 概率论引理 ==

从柯尔莫果洛夫公理可以推导出另外一些对计算概率有用的法则。

:<math>P(\Omega - E) = 1 - P(E)</math>，

:<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>，

== 相关条目 ==
* [[概率論]]
* [[频率概率]]
* [[人位概率]]（personal probability）
* [[主观概率]]（subjective probability）
* [[折衷概率]]（eclectic probability）
* [[统计恒性]]（statistical regularity）

==外部链接==

[[Category:概率论]]
[[Category:公理]]