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{{Refimprove|time=2021-02-09T15:02:09+00:00}}
'''機械利益'''（mechanical advantage）又称'''机械效益'''，指工具、{{le|機械設備|mechanical device}}或機械系統將[[力]]放大的比例。設備需在輸入的力及以位移之間取捨，最後得到輸出力的理想放大比例。此模型稱為「[[杠杆]]定律」。有些機械零件是為了轉換力以及位移，這種零件稱為[[机构 (工程学)|机构]]<ref name="Uicker">{{cite book | last1=Uicker | first1=John J.| first2=G. R.|last2=Pennock|first3=J. E.|last3=Shigley|title=Theory of machines and mechanisms | publisher=Oxford University Press | publication-place=New York | year=2011 | isbn=978-0-19-537123-9 }}</ref> 。假設''F<sub>in</sub>''是輸入的力，''F<sub>out</sub>''是輸出的力，則機械利益MA為：

:<math display="block">\mathit{MA} = \frac{F_{out}}{F_{in}}.</math>


機械利益為正數，若大於一，表示輸出的力比輸入的力大，若小於一，表示輸出的力比輸入的力小，但輸出位移比輸入位移要大。

== 槓桿 ==
[[Image:Lever mechanical advantage.png|thumb|right|300px]]
[[槓桿]]以支點為中心而轉動，離支點越近的地方移動的越慢，離支點越遠的地方移動的越快。輸入槓桿及輸出槓桿的[[功率]]相等，而功率是力和速度的乘積，因此離支點越遠的地方，施的力就越小，離支點越近的地方，施的力就越大<ref name="Uicker"/>。

若''a''和 and ''b''是點''A''和''B''距支點的距離，而''F<sub>A</sub>''是在''A''點的輸入力，''F<sub>B</sub>''是在''B''點的輸出力，''A''點和''B''點速度的比值為''a''/''b''，因此輸出力和輸入力的比值（機械利益）如下：

:<math display="block">\mathit{MA} = \frac{F_b}{F_a} = \frac{a}{b}.</math>

這就是[[槓桿原理]]，是[[阿基米德]]利用對幾何的理解所證明的<ref name="Usher1954">{{cite book|author=Usher, A. P.|author-link=Abbott Payson Usher|title=A History of Mechanical Inventions|url=https://books.google.com/books?id=Zt4Aw9wKjm8C&pg=PA94|page=94|access-date=7 April 2013|year=1929|publisher=Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988)|isbn=978-0-486-14359-0|oclc=514178|archive-date=2020-07-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20200726002155/https://books.google.com/books?id=Zt4Aw9wKjm8C&pg=PA94|dead-url=no}}</ref> 。

靜力學分析中，利用速度來分析槓桿的力，也是[[虛功]]定理的應用。
<!-- 技術註解：要分析槓桿時，常見的基本分析方式是由輸入力和輸出力所作的功，也就是速度及位移的乘積，不過此理論只考慮微分位移或是虛位移（virtual displacement）。最簡單定義虛位移的方式是視為速度和極小時間的乘積，因此不考慮功，只考慮功率，實務上的好處是在機構及機器的應用上。針對槓桿靜力分析的方式，可以直接應用在車輛傳動系統，以及機器手臂中-->

== 速比 ==
理想機構輸入功率等於輸出功率，因此可以用系統輸入—輸出的速比（speed ratio）來計算機械利益。

若針對齒輪組，以''ω<sub>A</sub>''的角速度給''T<sub>A</sub>''的轉矩，其輸入功率為''P=T<sub>A</sub>ω<sub>A</sub>''。

因為輸入功率和輸出功率相等，輸出轉矩''T<sub>B</sub>''和輸出角速度''ω<sub>B</sub>''乘積會滿足以下關係
:<math>P = T_A \omega_A = T_B \omega_B, \!</math>
因此
:<math> \mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{\omega_A}{\omega_B}.</math>
速比的定義就是輸出角速度和輸入角速度的比值，因此針對理想機構的速比會等於機械利益，這應用在從[[机器人]]一直到[[连杆机构]]的所有[[机器]]。

== 齒輪系 ==
{{main|轮系}}
由於齒輪的設計方式，齒輪的齒數會和其節圓的半徑成正比，因此二個相互嚙合的齒輪，可以由一個齒輪帶動另一個旋轉，不會滑動。一組齒輪的速比可以用其其節圓的半徑比來計算，也可以用二個齒輪齒數的比例（齒比）來計算。
[[File:Gears animation.gif|frame|right|alt=動畫：左側的小齒輪以及右側的大齒輪|兩個嚙合的齒輪，可以傳遞轉動運動]]

二個齒輪在節圓上接觸點的速度''v''相等，因此可得
:<math> v = r_A \omega_A = r_B \omega_B,\!</math>

其中輸入齒輪''A''的半徑是''r<sub>A</sub>''，和半徑為''r<sub>B</sub>''的輸出齒輪嚙合
因此
:<math> \frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.</math>

其中''N<sub>A</sub>''是輸入齒輪的齒數，''N<sub>B</sub>''是輸出齒輪的齒數。

由輸入齒輪齒數''N<sub>A</sub>''，輸出齒輪齒數''N<sub>B</sub>''組成的嚙合齒輪，其機械利益為
:<math> \mathit{MA} = \frac{r_B}{r_A}  = \frac{N_B}{N_A}.</math>

因此若輸出齒輪''G''<sub>B</sub>比輸入齒輪''G''<sub>A</sub>要大，此齒輪系可以放大力矩，但會讓轉速變慢，若輸出齒輪''G''<sub>B</sub>比輸入齒輪''G''<sub>A</sub>要小，此齒輪系可以縮小力矩，會讓轉速變快。

== 鏈輪或皮帶輪 ==
不論是由[[鏈條]]連接兩個鏈輪的機構，或是由[[带_(机械)|皮帶]]連接兩個[[带轮|皮帶輪]]的機構，其目的都是為了在傳動系統中改變其機械利益。

兩個鏈輪和鏈條接觸點的速度''v''會相等，兩個皮帶輪和皮帶接觸點的速度亦同：
:<math> v = r_A \omega_A = r_B \omega_B,\!</math>
其中鏈輪或皮帶輪''A''是輸入端，其半徑是''r<sub>A</sub>''，輸出鏈輪或皮帶輪''B''的半徑是''r<sub>B</sub>''。

因此
:<math> \frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.</math>
其中''N<sub>A</sub>''是輸入鏈輪的齒數，''N<sub>B</sub>''是輸出鏈輪的齒數。若是[[同步带|齒形帶]]的皮帶輪機構，也可以使用其齒數。若是只用摩擦力的皮帶輪，一定要使用輸入輪和輸出輪半徑的資訊。

若鏈輪機構（或[[同步带|齒形帶]]皮帶輪機構），輸入輪齒數為''N<sub>A</sub>''，輸出輪齒數為''N<sub>B</sub>''，其機械利益是：
:<math> \mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A}  = \frac{N_B}{N_A}.</math>

針對只使用摩擦力的皮帶輪，其機械利益是：
:<math> \mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{r_B}{r_A}.</math>

鏈條和皮帶在傳輸功率時會有摩擦力、伸長及磨損的情形，因此輸出功率會小於輸入功率，實際系統的機械利益會小於理論值。鏈輪機構或皮帶輪機構大約損失5%的功率，是因為摩擦生熱、形變或磨損所產生的熱，此時的效率約為95%。

== 滑輪組 ==
{{le|滑輪組|block and tackle}}是繩子和許多[[滑輪]]組合，移動物品的機構。一般來說會有固定不移動的定滑輪，以及隨物品移動的動滑輪，繩子會繞在動滑輪和定滑輪上，以提供機械利益，在滑輪組的輸入端施力，再透過滑輪組將力放大，來移動物品<ref>Ned Pelger, [http://www.constructionknowledge.net/general_technical_knowledge/general_tech_basic_six_simple_machines.php ConstructionKnowledge.net ] {{Wayback|url=http://www.constructionknowledge.net/general_technical_knowledge/general_tech_basic_six_simple_machines.php |date=20200112100543 }}</ref>。

為了計算滑輪組的機械利益，考慮最簡單的起重滑車，由一個定滑輪和一個動滑輪組成。繩子繞在定滑輪上，垂下的一端可以施力往下拉，垂下的另一端繞在乘載重物的動滑輪上，繞過動滑輪後固定在定滑輪的支架上。
[[Image:Tackles.png|thumb|360px|right|滑輪組的機械利益等於支持移動重物的繩子數量，從左到右分別是2, 3, 4, 5和6]]

令''S''是從定滑輪軸心到繩子末端的長度，這是''A''，是施力的位置。令''R''是定滑輪軸心到動滑輪軸心的位置，這是''B''，是放重物的位置。

繩子的總長''L''可以寫成
:<math> L = 2R + S + K, \!</math>
其中''K''是繩子繞過定滑輪及動滑輪需要的長度，此長度不隨滑輪位置而變化。

''A''點和''B''點的速度''V''<sub>A</sub>和''V''<sub>B</sub>的關係和繩子的總長有關，繩子的總長為固定值，因此
:<math>\dot{L}=2\dot{R} + \dot{S}=0,</math>
或者

:<math>  \dot{S} = -2\dot{R}.</math>
其中的負號表示重物速度的方向和施力的方向相反，施力往下，重物會向上移動。

令''V''<sub>A</sub>向下為正，''V''<sub>B</sub>向上為正，因此其關係可以表示為速比
:<math> \frac{V_A}{V_B} = \frac{\dot{S}}{-\dot{R}} = 2,</math>
其中的2是支持動滑輪及重物重量的繩索數量。

令''F''<sub>A</sub>是在''A''點的施力，令''F''<sub>B</sub>是動滑輪在''B''點的受力。其正負號也是''F''<sub>A</sub>往下為正，''F''<sub>B</sub>往上為正。

若是理想的滑輪組，滑輪沒有摩擦力，繩子也不會形變或磨損，因此輸入功率''F''<sub>A</sub>''V''<sub>A</sub>會等於輸出功率''F''<sub>B</sub>''V''<sub>B</sub>，也就是
:<math>F_A V_A = F_B V_B.\!</math>

輸出力和輸入力的比值即為理想起重滑車系統的機械利益
:<math>\mathit{MA} = \frac{F_B}{F_A} =  \frac{V_A}{V_B}  = 2.\!</math>

此分析可以擴展到理想的滑車組，其動滑輪及重物的重量是由''n''段繩子所支持
:<math>\mathit{MA} = \frac{F_B}{F_A} =  \frac{V_A}{V_B}  = n.\!</math>

可以證明理想的滑車組對重物的輸出力是輸入力的''n''倍，其中''n''是支持動滑輪及重物重量的繩子數量。

== 效率 ==
在計算機械利益時，會假設能量不會因為形變、摩擦力或是磨損所損失，機械可以以其最佳性能輸出，此情形下計算的機械利益會稱為是理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）。實際上，形變、摩擦力或是磨損都會降低機械利益。實際機械利益（actual mechanical advantage、AMA）和理想機械利益之間的比值是[[效率]]，可以透過實驗求得。

例如有六段繩子支持動滑車的滑車組，有{{val|300|u=kg}}的重物，若是在理想的滑車組，工人需要的施力會是{{val|50|ul=kg}}，若要讓重物上移1公尺，工人需要拉6公尺。''F<sub>out</sub>'' / ''F<sub>in</sub>''和''V<sub>in</sub>'' / ''V<sub>out</sub>''都可以說明理想機械利益是6。第一個比值是輸出力{{val|300|u=kg}}和輸入力{{val|50|u=kg}}所得的比值。但在真實系統中，輸入力{{val|50|u=kg}}，因此摩擦力、繩子形變等因素的損失，輸出力會小於{{val|300|u=kg}}，因此其實際機械利益會小於6。
=== 理想機械利益 ===
理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）或理論機械利益（theoretical mechanical advantage）是假設沒有能量損失的情形下所得的機械利益。是用設備的實際尺寸計算的，也是實際機械利益的上限。

理想機械的假設也就表示機械本身不會儲存能量，也不會耗散能量。輸入的功率等於輸出的功率。因此，機械的功率是定值，等於力乘以速度，可以得到下式
:<math> P = F_{in}v_{in}= F_{out}v_{out}. </math>

理想機械利益是輸出力和輸入力的比值
:<math>\mathit{IMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}}. </math>
若考慮功率守恆的關係式，可得機械利益和速比之間的關係：
:<math>\mathit{IMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}} = \frac {v_{in}} {v_{out}}.</math>

機械的速比可以用其幾何尺寸來計算，因此可以用速比求得理想機械利益，也就是實際機械利益的上限。
=== 實際機械利益 ===
實際機械利益 (actual mechanical advantage、AMA）是在直接量測輸入力及輸出力所得的機械利益，其中有考慮因為形變、摩擦及磨損產生的能量損失。

機器的AMA可以用量測到的輸入力及輸出力來計算
:<math>\mathit{AMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}},</math>

實際機械利益和機械利益之間的比例即為[[机械效率]]η
:<math> \eta =\frac\mathit{AMA}\mathit{IMA}.</math>

== 相關條目 ==
<!--*  [[Outline of machines]] -->
* {{le|複式槓桿|Compound lever}}
* [[简单机械]]
* {{le|機械利益設備|Mechanical advantage device}}
* [[輪系]]
* {{le|鏈條傳動|Chain drive}}
* [[带 (机械)]]
* [[滚子链]]
* {{le|腳踏車鏈條|Bicycle chain}}
* {{le|腳踏車鏈條齒輪|Bicycle gearing}}
* {{le|傳動|Transmission (mechanics)}}
<!--*  [[On the Equilibrium of Planes]]-->
* [[机械效率]]
* [[楔子]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}
*{{Citation | last = Fisher | first = Len | title = How to Dunk a Doughnut: The Science of Everyday Life | publisher = Arcade Publishing | year = 2003 | url = https://books.google.com/books?id=VuK7m3LU8rgC | isbn = 978-1-55970-680-3}}.
*{{Citation | last = United States Bureau of Naval Personnel | title = Basic machines and how they work | publisher = Courier Dover Publications | year = 1971 | edition = Revised 1994 | url = https://books.google.com/books?id=yDKzy4rKEg0C | isbn = 978-0-486-21709-3}}.

== 外部連結 ==
* [http://www.technologystudent.com/gears1/geardex1.htm Gears and pulleys] {{Wayback|url=http://www.technologystudent.com/gears1/geardex1.htm |date=20100113203833 }}
* [http://mechanicaldesign101.com/2013/05/14/mechanical-advantage/ Nice demonstration of mechanical advantage] {{Wayback|url=http://mechanicaldesign101.com/2013/05/14/mechanical-advantage/ |date=20210117115326 }}
* [https://www.youtube.com/watch?v=yfAdmRJDKIc Mechanical advantage &mdash; video] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=yfAdmRJDKIc |date=20210212110204 }}

[[Category:力學]]
[[Category:機構學]]