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'''模糊数学'''，亦称'''弗晰数学'''或'''模糊性数学'''。1965年以后，在[[模糊集合]]、[[模糊逻辑]]的基础上发展起来的[[模糊拓扑]]、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在[[模式识别]]、[[人工智能]]等方面有广泛的应用。

== 模糊集 ==
=== 定义和表示 ===
给定一个论域 ''U'' ，那么从 ''U'' 到单位区间 [0,1] 的一个映射
<math> \mu_{A}: U \mapsto [0,1] </math>
称为 ''U'' 上的一个'''模糊集''' 或 ''U'' 的一个'''模糊子集'''
{{efn|要注意：严格地说，模糊集或子集是映射所确定的'''序对集'''，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。}}，
记为 ''A'' 。
映射（函数） ''μ<sub>A</sub>''(·) 或简记为 ''A''(·) 叫做模糊集 ''A'' 的'''隶属函数'''。
对于每个 ''x'' ∈ ''U'' ， ''μ<sub>A</sub>''(''x'') 叫做元素 ''x'' 对模糊集 ''A'' 的'''隶属度'''。

模糊集的常用表示法有下述几种：
# 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
# Zadeh 记法，例如<math> A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}</math>。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。 
# 序偶法，例如<math> A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}</math>，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
# 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 ''A'' = (1,0.5,0.72,0) 。

=== 一些相关概念 ===
* 模糊集 ''A'' 的'''承集'''或'''支集'''记为 <math> \text{supp}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}</math>。
* 模糊集 ''A'' 的'''核'''记为 <math> \text{ker}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}</math>。
* 模糊集 ''A'' 的'''高度'''记为 <math> \text{hgt}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}</math>。
* 模糊集 ''A'' 的'''深度'''记为 <math> \text{dpn}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}</math>。

=== 模糊度 ===
一个模糊集 ''A'' 的模糊度衡量、反映了 ''A'' 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 ''D'' : '''F'''(''U'') &rarr; [0,1] 满足下述5条性质：
# 清晰性：''D''(''A'') = 0 当且仅当 ''A'' ∈ '''P'''(''U'')。（经典集的模糊度恒为0。）
# 模糊性：''D''(''A'') = 1 当且仅当 &forall; ''u'' ∈ ''U'' 有 ''A''(''u'') = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
# 单调性：&forall; ''u'' ∈ ''U''，若 ''A''(''u'') ≤ ''B''(''u'') ≤ 0.5，或者 ''A''(''u'') ≥ ''B''(''u'') ≥ 0.5，则 ''D''(''A'') ≤ ''D''(''B'')。
# 对称性：&forall; ''A'' ∈ '''F'''(''U'')，有 ''D''(''A<sup>c</sup>'') = ''D''(''A'')。（补集的模糊度相等。）
# 可加性：''D''(''A''∪''B'') + ''D''(''A''∩''B'')=''D''(''A'') + ''D''(''B'')。
则称 ''D'' 是定义在 '''F'''(''U'') 上的'''模糊度函数'''，而 ''D''(''A'') 为模糊集 ''A'' 的'''模糊度'''。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的<ref>陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。</ref>，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是<br />
<math>
\begin{align}
D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\
D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u
\end{align}
</math><br />
其中 ''p'' > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 ''p'' = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 ''p'' = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

== 模糊集的运算 ==
=== 各种算子 ===
* Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交
<math>\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\
a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}</math>

* 代数算子（概率和、代数积）
<math> \begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\
a\cdot b &= ab\end{align}</math>

* 有界算子
<math> \begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\
a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}</math>

* Einstein 算子
<math> \begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\
a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}</math>

* Hamacher 算子，其中''&nu;'' &isin; [0,+&infin;) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子
<math> \begin{align}
a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\
a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)}
\end{align}
</math>

* Yager 算子，其中 ''p'' 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子
<math> \begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\
a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}</math>

* ''λ''-''γ'' 算子，其中 ''λ'',''γ'' ∈ [0,1] 是参数
<math> \begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\
a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}</math>

* Dobois-Prade 算子，其中 ''λ'' ∈ [0,1] 是参数
<math> 
\begin{align}
a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\
a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}}
\end{align}
</math>

=== 算子的性质 ===

参见[[集合代数]]和[[布尔代数]]。

主要算子的性质对比表如下（<code>.</code>表示不满足，<code>-</code>表示未验证）：

{| class="wikitable" 
|-
!算子!!结合律!!交换律!!分配律!!互补律!!同一律!!幂等律!!支配律!!吸收律!!双重否定律!!德·摩根律
|-
!Zedah
|√  ||√  ||√       ||.    ||√    ||√    ||√     ||√    ||√      ||√
|-
! 代数
|√  ||√   ||.       ||.     ||√   ||.    ||√     ||.     ||-     ||√   
|-
! 有界
|√   ||√   ||.      ||√     ||√   ||.    ||√     ||√     ||-     ||√ 
|}

线性补偿是指：
<math>
(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))
</math><ref>Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。</ref>

{| class="wikitable"
|-
!算子的并运算!!幂等律!!排中律!!分配律!!结合律!!线性补偿
|-
!Zadeh
|                  √||.     ||√    ||√    ||.     
|-
!代数
|.                   ||.     ||.     ||√    ||.     
|-
!有界
|.                   ||√    ||.     ||.     ||√
|-
!Hamacher ''r'' = 0
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|-
!Yager
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|-
!Hamacher
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|-
!Dobois-Prade
|                   .||.     ||.     ||√    ||.
|}

== 模糊集与经典集的关系 ==
=== 截集与截积 ===
设 <math>A\in \mathcal{F}(U)</math>，任取 <math>\lambda \in [0,1]</math>，则<br />
: <math>A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}</math>，<br>
称 ''A<sub>λ</sub>'' 为 ''A'' 的 ''λ'' '''截集'''，而 ''λ'' 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >，记为 ''A<sub>Sλ</sub>''，称为'''强截集'''。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然 ''A''<sub>1</sub> 为 ''A'' 的'''核'''，即 ker''A''；如果 ker''A'' ≠ &oslash;，则称 ''A'' 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：<br>
设 ''λ'' ∈ [0,1]，''A'' ∈ '''F'''(''U'')，则 &forall; ''u''∈''U''，''λ'' 与 ''A'' 的'''截积'''（或称为 ''λ'' 截集的'''数乘'''，记为 ''λA''）定义为：<br>
: <math>(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)=
\begin{cases}
    A(u), &\lambda \geq A(u),\\
    \lambda, &\lambda < A(u).
\end{cases}</math><br>
根据定义，截积仍是 ''U'' 上的模糊集合。

=== 分解定理与表现定理 ===

'''分解定理'''：<br>
设 ''A''∈'''F'''(''U'')，则<br>
: <math>A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda</math><br>
即任一模糊集 ''A'' 都可以表达为一族简单模糊集 {''λA<sub>λ</sub>''} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

'''表现定理'''：<br>
设 ''H'' 为 ''U'' 上的任何一个集合套，则<br>
: <math>A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)</math><br>
是 ''U'' 上的一个模糊集，且 &forall; ''λ'' ∈ [0,1]，有<br>
（1） ''A<sub>Sλ</sub>'' = ∪<sub>''α''>''λ''</sub> ''H''(''α'')<br>
（2） ''A<sub>λ</sub>'' = ∩<sub>''α''<''λ''</sub> ''H''(''α'')<br>
即任一集合套都能拼成一个模糊集。

== 模糊集之间的距离 ==
=== 使用度量理论 ===
可以使用一般的[[度量]]理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 '''F'''(''U'') 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：<br>
: <math>
\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}
</math>

=== 贴近度 ===
{{main|贴近度}}
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - ''距离''（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

*; 最大最小贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}</math>

*; 算术平均最小贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}</math>

*; 几何平均最小贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}</math>

*; 指数贴近度
: <math>\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}</math>

== 模糊关系 ==
{{main|模糊聚类分析}}
模糊关系是建立在模糊集上的[[关系 (数学)|关系]]，此外，它也有一些特别的性质和应用。

=== 定义 ===
设 ''U'' 和 ''V'' 是论域，''U'' &times; ''V'' = {(''x'' , ''y'') | ''x'' &isin; ''U'', ''y'' &isin; ''V'' } 是 ''U'' 和 ''V'' 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 ''R'' &isin; ''U'' &times; ''V'' 都称为从 ''U'' 到 ''V'' 的一个'''模糊关系'''。若 ''U'' = ''V''，则称 ''R'' 是 ''U'' 中的模糊关系。如果 ''R''(''x'',''y'') = &alpha;，则称 ''x'' 与 ''y'' '''具有关系 ''R'' 的程度'''为 &alpha;。特别地：<br />
* 若 &forall; (''x'',''y'') &isin; ''U'' &times; ''U''，当 ''x'' = ''y'' 时 ''R'' = 1，当 ''x'' &ne; ''y'' 时 ''R'' = 0，则称 ''R'' 为 ''U'' 上的恒等关系，记为 ''I''
* 若 &forall; (''x'',''y'') &isin; ''U'' &times; ''V''，有 ''R''(''x'',''y'') = 0，则称 ''R'' 为从 ''U'' 到 ''V'' 的零关系，记为 0
* 若 &forall; (''x'',''y'') &isin; ''U'' &times; ''V''，有 ''R''(''x'',''y'') = 1，则称 ''R'' 为从 ''U'' 到 ''V'' 的全称关系，记为 ''E''


模糊关系的并、交、补、包含、相等、&lambda; 截和截积运算，实质上就是模糊集的相应运算（采用 Zadeh 算子）。但模糊关系还有一个特殊的运算'''转置'''，定义为<br />
: ''R''<sup>''T''</sup>(''x'',''y'') = ''R''(''y'',''x'')<br />
易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。<ref>陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第62页。</ref>

=== 关系以及关系的合成的矩阵表达 ===
'''关系的合成'''：<br>
对于从 ''U <sup>x-m</sup>'' 到 ''V <sup>y-p</sup>'' 的关系 ''R''，以及从 ''V <sup>y-p</sup>'' 到 ''W <sup>z-n</sup>'' 的关系 ''S''，那么从 ''U'' 到 ''W'' 的'''模糊复合关系''' ''R'' &middot; ''S'' 为<br>
: <math>\displaystyle (R\circ S)(x_i,z_j)=\bigvee_{k\leq p}[R(x_i,y_k)\wedge S(y_k,z_j)]</math><br>
其中 &and; 是取小 &or; 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 &and;，而加法改为 &or; 即可。

'''例子'''：设 ''U'' = {1,2,3,4}, ''V'' = {a,b,c}, ''W'' = {&alpha;,&beta;}：
{|
|-
|从 ''U'' 到 ''V'' 的模糊关系 ''R'' 
<pre>
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
</pre>
|从 ''V'' 到 ''W'' 的模糊关系 ''S'' 
<pre>
(a,&alpha;)=0,6 (a,&beta;)=0.8
(b,&alpha;)=0   (b,&beta;)=1
(c,&alpha;)=0   (c,&beta;)=0.9
</pre>
|}

那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：
{|
|-
|
{| class="wikitable"
|-
!''R''!!a!!b!!c
|-
!1
|0.7||0.5||0
|-
!2
|1||0||0
|-
!3
|0||1||0
|-
!4
|0||0.4||0.3
|}
|
{| class="wikitable"
|-
!''S''!!&alpha;!!&beta;
|-
!a
|0.6||0.8
|-
!b
|0||1
|-
!c
|0||0.9
|}
|
{| class="wikitable"
|-
!''R'' &middot; ''S''!!&alpha;!!&beta;
|-
!1
|0.6||0.7
|-
!2
|0.6||0.8
|-
!3
|0||1
|-
!4
|0||0.4
|}
|}

=== 模糊关系与分类 ===

'''模糊等价关系'''定义：<br>
设 ''U'' 中的模糊关系 ''R'' 满足<br>
; 1. 自反性 : &forall; ''x'' &isin; ''U'', ''R''(''x'' , ''x'') = 1
; 2. 对称性 : &forall; ''x'', ''y'' &isin; ''U'', ''R''(''x'' , ''y'') = ''R''(''y'' , ''x'')
; 3. 传递性 : &forall; ''x'', ''y'', ''z'' &isin; ''U'', &forall; ''&lambda;'' &isin; [0,1], 当 ''R''(''x'' , ''y'') &ge; ''&lambda;'' 且 ''R''(''y'' , ''z'') &ge; ''&lambda;'' 时，''R''(''x'' , ''z'') &ge; ''&lambda;''
则称 ''R'' 为 ''U'' 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 ''&lambda;'' &isin; [0,1] 来说，传递性条件刻画了模糊关系 ''R'' 具有 ''&lambda;'' 水平上的传递性。

下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：''U'' 中的模糊关系 ''R'' 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 ''&lambda;'' &isin; [0,1]，''R'' 的 ''&lambda;'' 截关系 ''R''<sub>''&lambda;''</sub> 是 ''U'' 中的普通等价关系。

只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为'''模糊相似关系'''。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：''U'' 中的模糊关系 ''R'' 是模糊传递关系的充要条件是 ''R''<sup>2</sup> &sube; ''R''。

'''分类'''：
# 如果模糊关系是等价关系，取某一水平的 ''&lambda;'' 截集，即可得到这个水平上的分类。
# 如果模糊关系是相似关系，计算 ''R''<sup>*</sup> &equiv; ''R''<sup>2^''k''</sup> = ''R''<sup>2^(''k''+1)</sup>，则 ''R''<sup>*</sup> 可被证明是等价关系。

== 模糊推理 ==

== 注释 ==
{{notelist|iger=}}

== 參考文獻 ==
{{Reflist|2}}

[[Category:模糊逻辑|M]]
[[Category:数学分支]]