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'''模糊函数'''是一套用于信号分析与信号仿真设计的数学方法，为菲利普·伍德沃德（Philip Woodward）在1953年所提出<ref>Philip Woodward. Probability and Information Theory, with Applications to Radar. Pergamon Press. 1953 [2013/01/16].</ref>。其初始目的是用来分析[[雷达]]回波信号受时间延迟和[[多普勒效应]]的影响，但在随后的发展中，也广泛被应用于[[时频分析]]、[[信号处理]]等领域。

==定义==
函数<math>s(t)</math>的模糊函数<math>A(\tau ,\eta)</math>定义为：<br>
:<math> A(\tau ,\eta) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)s^*(t- \tau)e^{j2 \pi \eta t}dt</math><br>
其中，<math>\tau</math>代表和初始信号的时间差分值，而<math>\eta</math>则代表和初始信号的频率差分值，而这样的二维空间称为模糊域（Ambiguity Domain）。以雷达应用来讲，<math>\tau</math>反映了发射信号和回波信号的时间延迟（Time Delay），<math>\eta</math>则反映了两信号间的多普勒频移（Dopple Frequency Shift）。星号<math>*</math>代表对函数取其[[共轭复数]]。上式为自时域定义之模糊函数。我们也可以通过函数<math>s(t)</math>的傅里叶变换对<math>S(f)</math>从频域定义之：<br>
:<math>A(\tau ,\eta) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f)S^*(f- \eta)e^{j2 \pi \tau f}df</math><br>
经修改后，模糊函数也可以用对称的形式定义，成为对称模糊函数（Symmetric Ambiguity Function）：

:<math>A_s(\tau ,\eta)= \int_{-\infty}^{\infty} s(t+ \frac{\tau}{2})s^*(t- \frac{\tau}{2})e^{j2 \pi \eta t}dt = \int_{-\infty}^{\infty} S(f + \frac{\eta}{2})S^*(f- \frac{\eta}{2})e^{j2 \pi \tau f}df </math>
<math></math>

==基本性质<ref>Victor C. Chen, Hao Ling. Time-Frequency Transforms For Radar Imaging And Signal Analysis. Norwood, MA: Artech House, INC.. 2002 [2012/01/16]. ISBN 1-58053-288-8.</ref>==

模糊函数有下列几种基本性质：
===最大值===
模糊函数最大值永远发生在模糊域的原点<math>(0,0)</math>：<br>
:<math>\left| A(\tau, \eta) \right| \le \left| A(0,0) \right|</math>

===对称性===
模糊函数为一对称函数：<br>
:<math>A(\tau, \eta) = A^*(-\tau, -\eta)</math>

===时间比例调整===
:<math>s^\prime (t) = s(\alpha t) \Rightarrow A^\prime (\tau ,\eta ) = \frac{1}{\left| \alpha \right|}A(\alpha \tau , \frac{\eta}{\alpha})</math>

===时间位移===
:<math>s^\prime (t) = s(t - \Delta t) \Rightarrow A^\prime (\tau , \eta) = A(\tau , \eta)e^{-j2 \pi f \Delta t}</math>

===[[调制]]===
:<math>s^\prime (t) = s(t)e^{j 2 \pi f t} \Rightarrow A^\prime (\tau , \eta) = A(\tau , \eta)e^{-j2 \pi f \tau}</math>

===和[[自相关函数]]的关系===
当我们设定频率差值<math>\eta</math>为0时，模糊函数将退化为信号<math>s(t)</math>的自相关函数：<br>
:<math>A(\tau , \eta) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)s^*(t-\tau)dt</math>

==常见信号之模糊函数==
===[[方波]]===
若方波定义为：:<math> 
rect(t,T) = \begin{cases} 
1, & \mbox{if} \left| t \right| \le \frac{T}{2} \\
0, & \mbox{if} \left| t \right| > \frac{T}{2}
\end{cases}
</math>,則其模糊函数<math>A_{rect}(\tau , \eta)</math>计算如下：<br>
<math>A_{rect}(\tau ,\eta)= \int_{-\infty}^{\infty} rect(t+ \frac{\tau}{2})rect^*(t- \frac{\tau}{2})e^{j2 \pi \eta t}dt</math><br>
<math> = \int_{-(T-\tau)/2}^{(T-\tau)/2} e^{j2\pi \eta t} dt 
= \begin{cases}
(T-\left| \tau \right| sinc[\eta (T-\left| \tau \right|)]) & \mbox{for} \left| \tau \right| \le T \\ 0 \mbox{for} \left| \tau \right| > T \end{cases} </math>

===[[高斯函数]]===
对一个高斯信号<math> g(t) = e^{-\alpha t^2}</math>而言，其模糊函数为：<br>
<math>A_G(\tau, \eta) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-\alpha (\tau ^2 + \eta ^2)}{2}}</math>

==和[[维格纳分布]]的关系==
模糊函数是伍德沃德依据维格纳分布改良而来。二者之间详细的关系请参阅[[模糊函数与韦格纳分布的关系]]。

==应用==
模糊函数一开始是由雷达领域研究学者菲利浦·伍德沃德由维格纳分布发展而來，因此其最初的应用领域多与雷达相关，是该领域相当重要的基础理论。随着时间的推进和时频分析方法的兴起，越来越多的时频分析方法使用了模糊函数的概念。例如，西摩·斯坦于1981年<ref>Stein, Seymour. Algorithms for Ambiguity Function Processing. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. June 1981. 29(3):588-599 </ref>提到，模糊函数可以用来估算具有相同成分的两个信号，因受外加[[噪声]]干扰而造成的频率、时间位移；而时频分析工具[[科恩系列分布]]则是运用一函数之模糊函数并搭配适当的遮罩函数，做为分析该函数时频特性的基础。

==参考资料==
{{reflist}}

[[Category:函数]]
[[Category:信号处理]]