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在[[代數幾何]]及[[數論]]領域，'''模曲線'''是一類緊[[黎曼曲面]]，同時也是定義於某[[數域]]上的射影[[代數曲線]]。模曲線是當代數論、[[表示理論]]及代數幾何中重要的課題。

「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族[[橢圓曲線]]，因而是一種[[模空間]]。[[志村簇]]是模曲線在高維度的類比。

==定義==
考慮上半平面 <math>\mathcal{H} := \{z \in \mathbb{C} : \hbox{Im}(z) > 0 \}</math>。取 <math>\mathcal{H}</math> 對[[模群]] <math>\Gamma := \hbox{SL}(2,\Z)</math> 的有限指數子群之商，所得到的未必是緊緻空間。作完備化後便得到模曲線。可以證明模曲線必然是 <math>\mathbb{C}</math> 上的平滑代數曲線；從[[複分析]]角度來看，便是緊黎曼曲面。

==例子==
對正整數 <math>N</math>，定義'''同餘子群'''
: <math>\Gamma(N) := \hbox{Ker}(\hbox{SL}(2,\Z) \stackrel{\hbox{mod } N}{\longrightarrow} \hbox{SL}(2,\Z/N\Z))</math>。

相應的模曲線記為 <math>X(N)</math>，也稱為古典模曲線。除了完備化添加的尖點外，其複值點一一對應於下述資料的同構等價類：
: <math>(E,P)</math>，<math>E</math> 是複橢圓曲線、<math>P \in E(\mathbb{C})</math> 是 <math>N</math>-撓點。

當 <math>N \leq 2</math> 時，<math>X(N)</math> 的[[虧格]]等於零，否則其虧格則是
: <math>g(X(N)) = 1 + \frac{N^2(N-6)}{24} \prod_{p|N} (1-p^{-2}) </math>。

<math>\Gamma(N)</math> 的[[模形式]]可理解為 <math>X(N)</math> 上某族[[線叢]]的截面。此時可以用幾何方式研究[[赫克算子]]，因為它們由模曲線之間的[[對應 (數學)|對應]]給出。

==外部連結==
* {{springer|id=M/m064410|title=Modular curve|author=A.A. Panchishkin, A.N. Parshin}}

[[Category:代數曲線]]
[[Category:模形式]]