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数学中，[[赋环空间]]<math>(X,\ O)</math>上'''''O''-模的层'''或'''''O''-模'''是[[层 (数学)|层]]''F''，使得对开的<math>U\subseteq X</math>，<math>F(U)</math>是<math>O(U)</math>-模，<math>F(U)\to F(V)</math>的限制映射与<math>O(U)\to O(V)</math>的限制映射相容：<math>\forall f\in O(U),\ s\in F(U)</math>，''fs''的限制是''f''的限制乘以''s''的限制。

标准情况是当''X''是[[概形]]，''O''是其结构层。若''O''是[[常层]]<math>\underline{\mathbf{Z}}</math>，则''O''-模的层等同于[[阿贝尔群层]]（即阿贝尔层）。

若''X''是环''R''的[[环的谱|主谱]]，则''R''-模会自然地确定一个<math>O_X</math>-模，称作相关层。相似地，若''R''是[[分次环]]，''X''是''R''的[[射影构造]]，则分次模会自然地确定一个<math>O_X</math>-模。这样产生的<math>O_X</math>-模是[[准凝聚层]]的例子，事实上在仿射与射影概形上，所有准凝聚层都可这样生成。

赋环空间上的模层形成[[阿贝尔范畴]]。<ref>Vakil, [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf Math 216: Foundations of algebraic geometry] {{Wayback|url=http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf |date=20131005005950 }}, 2.5.</ref>而且这范畴有足内射（enough injective），<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. III, Proposition 2.2.}}</ref>因此定义了[[层上同调]]<math>\operatorname{H}^i(X, -)</math>，为全局截面函子<math>\Gamma(X, -)</math>的第''i''右[[导出函子]]。<ref>此上同调函子与与阿贝尔层范畴中的全局截面函子的右导出函子重合，参{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. III, Proposition 2.6.}}</ref>

== 例子 ==
*给定赋环空间<math>(X,\ O)</math>，若''F''是''O''的''O''-子模，则称之为''O''的[[理想层]]，因为对开的<math>U\subseteq X</math>，<math>F(U)</math>是环<math>O(U)</math>的[[理想 (环论)|理想]]。
*设''X''为''n''维[[光滑概形|光滑簇]]，则''X''的[[余切层|切层]]是[[余切层]]<math>\Omega_X</math>的对偶，[[规范丛|规范层]]<math>\omega_X</math>是<math>\Omega_X</math>的''n''次外幂。
*[[代数层]]是模层，也是环层。

== 运算 ==
设<math>(X,\ O)</math>为赋环空间。若''F''和''G''都是''O''-模，则它们的张量积
:<math>F \otimes_O G</math> or <math>F \otimes G</math>,
也是''O''-模，与预层<math>U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)</math>相关联（计算<math>O(1) \otimes O(-1) = O</math>的全局截面，其中<math>O(1)</math>是射影空间上的塞尔扭曲层，如此可知层化是不可避免的）。

同样，若''F''、''G''都是''O''-模，则
:<math>\mathcal{H}om_O(F, G)</math>
表示作为层<math>U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)</math>的''O''-模。<ref>有规范同态：
:<math>\mathcal{H}om_O(F, O)_x \to \operatorname{Hom}_{O_x} (F_x, O_x),</math>
若''F''是有限表示，则其是同构(EGA, Ch. 0, 5.2.6.)</ref>特别地，''O''-模
:<math>\mathcal{H}om_O(F, O)</math>
称作''F''的'''对偶模'''，记作<math>\check F</math>。注意：对任意''O''-模''E''、''F''，都有规范同态
:<math>\check{E} \otimes F \to \mathcal{H}om_O(E, F)</math>,
若''E''是秩有限的[[局部自由层]]，则就是同构。特别地，若''L''局部自由且秩为1（称这样的''L''是[[可逆层]]或[[线丛 ]]），<ref>对于凝聚层，有张量逆等同于局部自由且秩为1。实际上有事实：若<math>F \otimes G \simeq O</math>、且''F''凝聚，则''F''、''G''局部自由且秩为1。(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)</ref>则有
:<math>\check{L} \otimes L \simeq O,</math>
这意味着可逆层的同构类构成群，称作''X''的[[皮卡第群]]，规范等同于第一上同调群<math>\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^*)</math>（由标准的[[切赫上同调]]论证）。

若''E''是秩有限的局部自由层，则有配对给出的''O''-线性映射<math>\check{E} \otimes E \simeq \operatorname{End}_O(E) \to O</math>，称作''E''的迹映射。

对任意''O''-模''F''，其[[张量代数]]、[[外代数]]和[[对称代数]]的定义方式类似。例如，''k''次外幂
:<math>\bigwedge^k F</math>
是与预层<math display="inline">U \mapsto \bigwedge^k_{O(U)} F(U)</math>相关联的层。若''F''是秩为''n''的局部自由层，则<math display="inline">\bigwedge^n F</math>称作''F''的行列式（determinant）线丛（严格说是[[可逆层]]），记作<math>{\rm det}(F)</math>。有自然的完美配对：
:<math>\bigwedge^r F \otimes \bigwedge^{n-r} F \to \det(F).</math>

设<math>f(X,\ O)\to(X',\ O')</math>是赋环空间之间的态射。若''F''是''O''-模，则[[直像函子|直像层]]<math>f_* F</math>通过自然映射<math>O'\to f_* O</math>是''O{{'}}''-模（这样的自然映射是赋环空间态射数据的一部分）。

若''G''是''O{{'}}''-模，则''G''的模逆像<math>f^* G</math>是作为模的张量积的''O''-模：
:<math>f^{-1} G \otimes_{f^{-1} O'} O</math>
其中<math>f^{-1} G</math>是''G''的逆像层，<math>f^{-1} O' \to O</math>由[[伴随函子|伴随]]从<math>O' \to f_* O</math>得到。

<math>f_*</math>和<math>f^*</math>之间有伴随关系：对任意''O''-模''F''、''O{{'}}''-模''G''，
:<math>\operatorname{Hom}_{O}(f^* G, F) \simeq \operatorname{Hom}_{O'}(G, f_*F)</math>
是阿贝尔群。还有射影公式：对''O''-模''F''、秩有限的局部自由''O{{'}}''-模''E''，
:<math>f_*(F \otimes f^*E) \simeq f_* F \otimes E.</math>

== 性质 ==
令<math>(X,\ O)</math>是赋环空间。''O''-模''F''，若有''O''-模的满射：
:<math>\bigoplus_{i \in I} O \to F \to 0.</math>
则称''F''是由全局截面生成的。明确地说，这意味着存在''F''的全局截面<math>s_i</math>使得<math>s_i</math>在每个茎<math>F_x</math>中的像生成了作为<math>O_X</math>-模的<math>F_x</math>。

[[代数几何]]中，''R''-模''M''（''R''是任意[[交换环]]）与[[环的谱]]<math>{\rm Spec}(R)</math>相关联，就是这种层的一个例子。

另一个例子：据[[嘉当定理A]]，[[施坦流形]]上的[[凝聚层]]都是由全局截面张成的（参下列塞尔定理A）。在[[概形]]论中，一个相关概念是[[充足线丛]]（ample line buldle，例如若''L''是充足线丛，那么它的某个幂是由全局截面生成的）。

内射''O''-模是弛的（flasque，即所有限制映射<math>F(U)\to F(V)</math>都是满射）。<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch III, Lemma 2.4.}}</ref>由于弛层在阿贝尔层范畴中是非周期性的，所以''O''-模范畴中的全局截面函子<math>\Gamma(X, -)</math>的第''i''右导出函子与通常的阿贝尔层范畴中的第''i''层上同调相重合。<ref>see also: https://math.stackexchange.com/q/447234</ref>

== 与模相关联的层 ==
令''M''是环''A''上的模。置<math>X=\operatorname{Spec}(A)</math> and write <math>D(f) = \{ f \ne 0 \} = \operatorname{Spec}(A[f^{-1}])</math>。对每对<math>D(f) \subseteq D(g)</math>，根据局部化的泛性质，有自然映射
:<math>\rho_{g, f}: M[g^{-1}] \to M[f^{-1}]</math>
有性质<math>\rho_{g, f} = \rho_{g, h} \circ \rho_{h, f}</math>。则
:<math>D(f) \mapsto M[f^{-1}]</math>
是对象为集合<math>D(f)</math>、态射为集合包含的范畴，到[[阿贝尔群范畴]]的反变函子。可以证明<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. II, Proposition 5.1.}}</ref>它实际上是[[B-层]]（即其满足胶合公理），于是定义了''X''上的层<math>\widetilde{M}</math>，称作与''M''相关联的层。

最基本的例子是''X''上的结构层，即<math>\mathcal{O}_X = \widetilde{A}</math>。此外，<math>\widetilde{M}</math>具有<math>\mathcal{O}_X = \widetilde{A}</math>-模的结构，因此可得到''A''上[[模范畴]]<math>{\rm Mod}A</math>到<math>\mathcal{O}_X</math>上模范畴的[[正合函子]]<math>M \mapsto \widetilde{M}</math>。其定义了<math>{\rm Mod}A</math>到''X''上[[准凝聚层]]范畴的等价，其逆<math>\Gamma(X, -)</math>是[[全局截面函子]]。''X''是[[诺特概形]]时，函子是从有限生成''A''-模到''X''上凝聚层范畴的等价。

此构造有以下性质：对任意''A''-模''M''、''N''与任意态射<math>\varphi:M\to N</math>，
*<math>M[f^{-1}]^{\sim} = \widetilde{M}|_{D(f)}</math>.<ref>{{harvnb|EGA I|loc=Ch. I, Proposition 1.3.6.}}</ref>
*对''A''的任意素理想，<math>\widetilde{M}_p \simeq M_p</math>作为<math>O_p=A_p</math>-模。
*<math>(M \otimes_A N)^{\sim} \simeq \widetilde{M} \otimes_{\widetilde{A}} \widetilde{N}</math>.<ref name="Corollary 1.3.12.">{{harvnb|EGA I|loc=Ch. I, Corollaire 1.3.12.}}</ref>
*若''M''是[[有限表示模]]，<math>\operatorname{Hom}_A(M, N)^{\sim} \simeq \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N})</math>.<ref name="Corollary 1.3.12." />
*由于<math>{\rm Mod}_A</math>与''X''上准凝聚层范畴间的等价关系，<math>\operatorname{Hom}_A(M, N) \simeq \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N}))</math>。
*<math>(\varinjlim M_i)^{\sim} \simeq \varinjlim \widetilde{M_i}</math>;<ref>{{harvnb|EGA I|loc=Ch. I, Corollaire 1.3.9.}}</ref>特别是，取直和与~交换。
*当且仅当<math>\sim</math>的诱导序列正合，称''A''-模序列正合。特别地，<math>(\ker(\varphi))^{\sim}=\ker(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{coker}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{coker}(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{im}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{im}(\widetilde{\varphi})</math>.

== 与分次模相关联的层 ==
上一节中的构造与等价有一个分次类似物。令''R''是由<math>R_0</math>-代数（<math>R_0</math>表示度为0的元素）的度为1的元素生成的分次环，''M''是分次''R''-模。令''X''是''R''的[[射影构造]]（于是若''R''不是诺特环，则''X''是[[射影概形]]），则有''O''-模<math>\widetilde{M}</math>，使得对''R''的度数为正的任意齐次元''f''，有自然同构
:<math>\widetilde{M}|_{\{f \ne 0\}} \simeq (M[f^{-1}]_0)^{\sim}</math>
作为仿射概形<math>\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}(R[f^{-1}]_0)</math>上的模层；<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. II, Proposition 5.11.}}</ref>实际上，这通过胶合定义了<math>\widetilde{M}</math>。

'''例子'''：令<math>R(1)</math>为分次''R''-模：<math>R(1)_n=R_{n+1}</math>，则<math>O(1) = \widetilde{R(1)}</math>称作[[塞尔扭曲层]]，若''R''次数为1、是有限生成的，则塞尔扭曲层是重言线丛的对偶。

若''F''是''X''上的''O''-模，则<math>F(n) = F \otimes O(n)</math>就有规范同态：
:<math>\left(\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, F(n))\right)^{\sim} \to F,</math>
当且仅当''F''是准凝聚层时，它是同构。

== 计算层上同调 ==
{{main|层上同调}}
层上同调以难以计算而闻名。正因如此，下面的一般事实对任何实际计算都是重要的：
{{math_theorem|令''X''是拓扑空间，''F''是其上的阿贝尔层，<math>\mathfrak{U}</math>是''X''的开覆盖，使得<math>\forall i,\ p,\ U_{i_j}\in \mathfrak{U},\ \operatorname{H}^i(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}, F) = 0</math>。则对任意''i''，
:<math>\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{H}^{i}(C^{\bullet}(\mathfrak{U}, F))</math>
其中右式是第''i''[[切赫上同调]]。}}

塞尔消失定理<ref>{{Cite web |title=Section 30.2 (01X8): Čech cohomology of quasi-coherent sheaves—The Stacks project |url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 |access-date=2023-12-07 |website=stacks.math.columbia.edu |archive-date=2024-08-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240804102605/https://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 |dead-url=no }}</ref>指出，若''X''是射影簇、''F''是其上的凝聚层，则对足够大的''n''，塞尔扭曲<math>F(n)</math>由有限多全局截面生成。此外，
*<math>\forall i,\ H^i(X,\ F)</math>是在<math>R_0</math>上有限生成的；
*有取决于''F''的整数<math>n_0</math>使得
<math display="block">\operatorname{H}^i(X, F(n)) = 0, \, i \ge 1, n \ge n_0.</math><ref>{{harvnb|Costa|Miró-Roig|Pons-Llopis|2021|loc=Theorem 1.3.1}}</ref><ref>{{cite book |doi=10.1017/CBO9781139044059.023 |chapter=Links with sheaf cohomology |title=Local Cohomology |year=2012 |pages=438–479 |isbn=9780521513630 }}</ref><ref>{{harvnb|Serre|1955|loc=§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.}}</ref>

== 层扩张 ==
令<math>(X,\ O)</math>是赋环空间，''F''、''H''是''X''上''O''-模的层。''H''对''F''的'''扩张'''是''O''-模的[[短正合列]]
:<math>0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0.</math>

与群扩张一样，若固定''F''、''H''，则''H''对''F''扩张的所有等价类构成[[阿贝尔群]]（参[[Ext函子#Ext函子與擴張|Baer和]]），其与[[Ext函子|Ext群]]<math>\operatorname{Ext}_O^1(H,F)</math>同构，当中<math>\operatorname{Ext}_O^1(H,F)</math>中的幺元对应平凡扩张。

''H''是''O''的情形下，有：<math>\forall i\ge 0,</math>
:<math>\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{Ext}_O^i(O,F),</math>
因为两侧是同一个函子<math>\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)</math>的右导出函子。

'''注''': Hartshorne等学者不写下标''O''。

设''X''是诺特环上的射影概形。令''F''、''G''是''X''上的凝聚层，''i''是整数，则存在<math>n_0</math>使得
:<math>\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0</math>.<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. III, Proposition 6.9.}}</ref>

=== 局部自由消解 ===
<math>\mathcal{Ext}(\mathcal{F},\mathcal{G})</math>对任何凝聚层<math>\mathcal{F}</math>都可用局部自由消解轻松计算：<ref>{{cite book|last1=Hartshorne|first1=Robin|title=Algebraic Geometry|pages=233–235}}</ref>给定复形
:<math>
\cdots \to \mathcal{L}_2 \to \mathcal{L}_1 \to \mathcal{L}_0 \to \mathcal{F} \to 0
</math>
则
:<math>
\mathcal{RHom}(\mathcal{F},\mathcal{G}) = \mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G})
</math>
于是
:<math>\mathcal{Ext}^k(\mathcal{F},\mathcal{G}) = h^k(\mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}))</math>

=== 例子 ===
====超曲面====
考虑度数为''d''的光滑超曲面''X''，则可计算消解
:<math>\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}</math>
并发现
:<math>\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F}) = h^i(\mathcal{Hom}(\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}, \mathcal{F}))</math>

====光滑完全交的并====
考虑概形
:<math>X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]}{(f)(g_1,g_2,g_3)} \right) \subseteq \mathbb{P}^n</math>
其中<math>(f,g_1,g_2,g_3)</math>是光滑完全交，<math>\deg(f) = d,\ \deg(g_i) = e_i</math>。则有复形
:<math>
\mathcal{O}(-d-e_1-e_2-e_3) \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_3 \\ -g_2 \\ -g_1 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_1-e_3) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_2 & g_3 & 0 \\ -g_1 & 0 & -g_3 \\ 0 & -g_1 & g_2 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_3)  \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} fg_1 & fg_2 & fg_3 \end{bmatrix}} \mathcal{O}
</math>
消解了<math>\mathcal{O}_X</math>，可用于计算<math>\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})</math>。

== 另见 ==
*[[D-模]]
*[[分式理想]]
*[[全纯向量丛]]

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite journal
       | last = Grothendieck
       | first = Alexandre
       | author-link = Alexander Grothendieck
       | last2 = Dieudonné
       | first2 = Jean
       | author2-link = Jean Dieudonné
       | year = 1960
       | title = Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas
       | journal = [[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]
       | volume = 4
       | mr = 0217083
       | url = http://www.numdam.org/item/PMIHES_1960__4__5_0
       | doi = 10.1007/bf02684778
       | access-date = 2024-04-13
       | archive-date = 2021-07-19
       | archive-url = https://web.archive.org/web/20210719150456/http://www.numdam.org/item/PMIHES_1960__4__5_0/
       | dead-url = no
       }}
*{{Citation
| last=Hartshorne
| first=Robin
| author-link=Robin Hartshorne
| title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]]
| publisher=Springer-Verlag
| location=New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=52
| isbn=978-0-387-90244-9
| year=1977
| mr= 0463157
}}
*{{cite book |doi=10.1515/9783110647686 |url=https://books.google.com/books?id=v9IuEAAAQBAJ&pg=PT22 |title=Ulrich Bundles |year=2021 |last1=Costa |first1=Laura |last2=Miró-Roig |first2=Rosa María |last3=Pons-Llopis |first3=Joan |isbn=9783110647686 |access-date=2024-09-17 |archive-date=2023-10-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231001152324/https://books.google.com/books?id=v9IuEAAAQBAJ&pg=PT22 |dead-url=no }}
*{{cite book |doi=10.1017/CBO9781139044059.023 |chapter=Links with sheaf cohomology |title=Local Cohomology |year=2012 |pages=438–479 |isbn=9780521513630 }}
*{{Citation|author1-first=Jean-Pierre|author1-last=Serre|author1-link=Jean-Pierre Serre|title=Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)|journal=Annals of Mathematics|volume=61|pages=197–278|year=1955|issue=2|doi=10.2307/1969915|jstor=1969915|mr=0068874|url=https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL5435398796951750634_Serre_FAC.pdf|accessdate=2024-04-13|archive-date=2024-06-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20240604000648/https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL5435398796951750634_Serre_FAC.pdf|dead-url=no}}
[[Category:层论]]