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[[File:Modular lambda function in range -3 to 3.png|thumb|350px|模λ函數的[[色相環複變函數圖形]]，其中黑色代表0、白色代表無窮、灰色代表[[未定義 (數學)|未定義]]點、其餘顏色的色相代表[[輻角|複數輻角]]且[[明度|明亮度]]代表[[范数|複數的模]]，繪製範圍在實部-3至3內、虛部-3至3內。從中可以看到模λ函數僅在[[複數 (數學)|複數]][[上半平面]]有定義，並具備高度對稱性，並且沿著實數軸每2個單位圖樣會重複一次]]
在[[數學]]中，'''模λ函數'''<math>\lambda(\tau)</math><ref name="book 1984数学百科辞典">{{Cite book
  |title=数学百科辞典
  |author=日本数学会
  |url=https://books.google.com.tw/books?id=Cu0ZAQAAMAAJ
  |year=1984
  |publisher=科学出版社
  |access-date=2021-07-15
  |archive-date=2021-10-23
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20211023085411/https://books.google.com.tw/books?id=Cu0ZAQAAMAAJ
  |dead-url=no
  }}</ref>，又稱'''橢圓λ函數'''，是定義於[[复数 (数学)|複]][[上半平面]]''H''的[[全純函數]]，具有高度對稱性。该函数在同餘子群&Gamma;(2)的对''H''的[[分式线性变换|分式線性]][[群作用|作用]]下不變，亦是[[群作用#軌道與穩定化子|商空间]]&Gamma;(2)\''H''上函數域的生成元；也就是說，這個函數是模曲線''X''(2)的{{link-en|主模曲线|Hauptmodul}}。特别地，该函数沿實軸平移兩個單位，函數值不改变，即<math>\lambda(\tau+2)=\lambda(\tau) </math><ref name="Mathworld EllipticLambdaFunction">{{Cite Mathworld|title=Elliptic Lambda Function|urlname=EllipticLambdaFunction}}</ref>。在任意點<math>\tau</math>上，其值可用於描述橢圓曲線<math>E=\mathbb{C}/\langle 1, \tau \rangle</math>对其投影線<math>E/[-1]</math>的分歧覆盖映射的四个{{le|分支點|Branch point}}之[[交比]]，式中[-1]为E对原点的反演变换生成的自同构群。

模λ函數具有如下的[[傅立叶级数|傅立叶展开式]]：
: <math> \lambda\left(\tau\right) = 16q - 128q^2 + 704 q^3 - 3072q^4 + 11488q^5 - 38400q^6 + \dots</math>，其中<math>q = e^{\pi i \tau}</math>。{{oeis|id=A115977 }}
[[File:Lambda function.svg|thumb|λ(ix)的函数图像]]

== 模性質 ==
模λ函數在由下式[[群的生成集合|生成]]的{{link-en|模群|Modular group}}的主同余子群Γ(2)的作用下保持不变：<ref name="Chandrasekharan">{{citation | last=Chandrasekharan | first=K. | title=Elliptic Functions | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=281 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1985 | isbn=3-540-15295-4 | zbl=0575.33001 | pages=108–121 }} </ref>{{rp|115}}
:<math> \tau \mapsto \tau+2 \ ;\ \tau \mapsto \frac{\tau}{1-2\tau} \ . </math>

模群自身的生成元则以如下方式[[群作用|作用]]于模λ函数之上：<ref name="Chandrasekharan"/>{{rp|109}}
:<math> \tau \mapsto \tau+1 \ :\  \lambda \mapsto \frac{\lambda}{\lambda-1} \, ;</math>
:<math> \tau \mapsto -\frac{1}{\tau} \ :\  \lambda \mapsto 1 - \lambda \ . </math>

== 與其他橢圓函數的關聯 ==
λ函數為[[亞可比模量]]（Jacobi modulus）的平方<ref name="Chandrasekharan"/>{{rp|108}}，即<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)</math>；亦可以[[戴德金η函數]]與[[Θ函數]]表达：
:<math> \lambda(\tau) = \Bigg(\frac{\sqrt{2}\,\eta(\tfrac{\tau}{2})\eta^2(2\tau)}{\eta^3(\tau)}\Bigg)^8 = \frac{16}{\left(\frac{\eta(\tau/2)}{\eta(2\tau)}\right)^8 + 16} =\frac{\theta_2^4(0,\tau)}{\theta_3^4(0,\tau)} </math>
:<math> \frac{1}{\big(\lambda(\tau)\big)^{1/4}}-\big(\lambda(\tau)\big)^{1/4} = \frac{1}{2}\left(\frac{\eta(\tfrac{\tau}{4})}{\eta(\tau)}\right)^4 = 2\,\frac{\theta_4^2(0,\tfrac{\tau}{2})}{\theta_2^2(0,\tfrac{\tau}{2})}</math>
其中：<ref name="Chandrasekharan"/>{{rp|63}}
:<math>\theta_2(0,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{\left({n+\frac12}\right)^2}</math>
:<math>\theta_3(0,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} </math>
:<math>\theta_4(0,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2} </math>
:<math>q = e^{\pi i \tau}</math>

λ函數亦可以[[魏爾斯特拉斯橢圓函數]]在定义其的[[格点|格子]]的棱边中点和面心处的函数值表达；若令<math>[\omega_1,\omega_2]</math>為满足<math>\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}</math>的基本週期二元組：
:<math> e_1 = \wp\left(\frac{\omega_1}{2}\right), e_2 = \wp\left(\frac{\omega_2}{2}\right), e_3 = \wp\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\right) </math>
則有：<ref name="Chandrasekharan"/>{{rp|108}}
:<math> \lambda = \frac{e_3-e_2}{e_1-e_2} \, . </math>
魏尔斯特拉斯函数在上述三点的值各不相同，這意味著λ函數取不到值0或1。<ref name="Chandrasekharan"/>{{rp|108}}

其與{{link-en|克萊因j函數|Klein J-invariant}}的關係為：<ref name="Chandrasekharan"/>{{rp|117}}<ref>{{citation | last=Rankin | first=Robert A. | title=Modular Forms and Functions | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1977 | isbn=0-521-21212-X | zbl=0376.10020 |pages=226–228 }}</ref>
:<math> j(\tau) = \frac{256(1-\lambda(1-\lambda))^3}{(\lambda(1-\lambda))^2} = \frac{256(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2 (1-\lambda)^2} \ . </math>

== 橢圓模量 ==
[[File:Lambda star function in range -3 to 3.png|thumb|λ*(x)函數的[[色相環複變函數圖形]]，繪製範圍在實部-3至3內、虛部-3至3內]]
[[File:Lambda star function in range -1 to 1.png|thumb|λ*(x)函數的[[色相環複變函數圖形]]，繪製範圍在實部-1至1內、虛部-1至1內]]
有一個與模λ函數相關的函數：λ*(x)函數，其給出了橢圓模量k的值。第一類完全橢圓積分K(k)與其互補對應的<math>K\left(\sqrt{1-k^2}\right)</math>關係如下： 
:<math>\frac{K\left[\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}\right]}{K[\lambda^*(x)]} = \sqrt{x}</math>
λ*(x)函數的函數值可透過下列式子計算：
:<math>\lambda^*(x) = \frac{\vartheta^2_2[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]}{\vartheta^2_3[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]} </math>
:<math>\lambda^*(x) = \left[\sum_{a=-\infty}^\infty\exp[-(a+1/2)^2\pi\sqrt{x}]\right]^2\left[\sum_{a=-\infty}^\infty\exp(-a^2\pi\sqrt{x})\right]^{-2} </math>
:<math>\lambda^*(x) = \left[\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}[(a+1/2)\pi\sqrt{x}]\right]\left[\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}(a\pi\sqrt{x})\right]^{-1} </math>
其中<math>\vartheta</math>為[[Θ函數]]。

此外λ函數與λ*(x)函數存在下列關聯：
:<math>\lambda^*(x) = \sqrt{\lambda(i\sqrt{x})}</math>

所有的[[有理數]]r，<math>K\left(\lambda^*(r)\right)</math>與<math>E\left(\lambda^*(r)\right)</math>都可以視為橢圓積分的奇異值，可透過有限的伽馬函數表示<ref name="Selberg, A. 1967">{{Cite journal |author1=Selberg, A.|author2=Chowla, S.|title="On Epstein's Zeta-Function."|journal=J. reine angew. Math.|volume=227|pages=86-110|date=1967}}</ref>。

== 參見 ==
*[[模形式]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

[[Category:模形式]]
[[Category:橢圓函數]]