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{{For|對此機制較不數學性的描述及綜論|標準模型}}
[[File:Standard Model Of Particle Physics--Most Complete Diagram.png|thumb|right|600px|

粒子物理的標準模型。這張圖呈現了標準模型的基本粒子（希格斯玻色子、三代的[[夸克]]與[[輕子]]，以及[[規範玻色子]]等），其中包括了其名稱、質量、自旋、電荷、手徵性，以及其透過[[強交互作用]]、[[弱相互作用]]或[[電磁作用]]等與彼此交互作用。這張圖同時顯示了希格斯玻色子在[[希格斯機制|電弱對稱性破缺]]上扮演的關鍵角色，也顯示了多種粒子的性質在（高能）對稱相（圖上方）及（低能）對稱破缺相（圖下方）之間的不同。]]

這篇文章講的是粒子物理的'''標準模型'''的數學表述，而標準模型是一個包含{{math|[[特殊酉群|SU]](3) × SU(2) × [[圓群|U(1)]]}}這個由[[酉群]]的直積構成的群的內禀[[场 (物理)|對稱性]]的規範量子場論。學界常將這理論給視為對[[輕子]]、[[夸克]]、[[規範玻色子]]及[[希格斯玻色子]]等基本粒子的描述。

標準模型可[[重整化]]，且是數學自洽的<ref>事實上，量子場論依舊有在數學上依舊受到爭辯的問題（可見{{link-en|蘭道奇點|Landau pole}}等文的說明）；然而以現有方法用標準模型做出的預測全都是自洽的。對於更多的討論，可見R. Mann的書第25章的討論跟其他訊息。</ref>；然而，盡管有著巨大且持續的成功，但依舊[[超越标准模型的物理学|有些現象]]，無法以標準模型解釋。<ref name="NYT-20230911">{{cite news |last=Overbye |first=Dennis |author-link=丹尼斯·奥弗比 |title=Don’t Expect a ‘Theory of Everything’ to Explain It All - Not even the most advanced physics can reveal everything we want to know about the history and future of the cosmos, or about ourselves. |url=https://www.nytimes.com/2023/09/11/science/space/astronomy-universe-simulations.html |date=11 September 2023 |work=[[The New York Times]] |url-status=live |archiveurl=https://archive.today/20230911043212/https://www.nytimes.com/2023/09/11/science/space/astronomy-universe-simulations.html |archivedate=11 September 2023 |accessdate=11 September 2023 }}</ref>特別地，盡管這模型涉及了[[狹義相對論]]，但這模型不涉及[[廣義相對論]]；此外，一般認為標準模型會在[[重力子]]預期出現的能量或距離範疇上失效。因此在當代場論的語境中，一般將這理論視為[[有效場論]]。

==量子場論==
{{main|量子場論}}
[[File:Standard Model.svg|300px|right|thumb|所有已知的基本粒子的[[弱同位旋]]{{math|''T''<sub>3</sub>}}、[[弱超荷]]{{mvar|Y<sub>W</sub>}}及[[色荷]]。此圖以[[溫伯格角|弱混合角]]進行旋轉以顯示大略沿著垂直線的電荷{{mvar|Q}}。中性希格斯場（灰方塊）打破[[電弱交互作用|電弱對稱]]並與其他基本粒子互動，藉此賦予其他粒子質量。]]

標準模型是種[[量子場論]]，也就是說其基本對象是對定義於時空的每一點上的量子場。量子場論將粒子視為其基底[[量子場]]的[[激發態]]（也就所謂的「[[量子]]」），而這量子場比粒子更加基本。

以下是幾種標準模型牽涉到的量子場：
* [[費米子|費米]]場{{mvar|ψ}}，也就是物質粒子所屬的量子場；
* [[電弱交互作用|電弱玻色場]]<math>W_1, W_2, W_3</math>及{{mvar|B}}；
* [[膠子]]場{{mvar|G<sub>a</sub>}}；以及
* [[希格斯場]]{{mvar|φ}}
這些場是量子場而非古典場的事實，表示說這些場的「值」在數學上是以[[算符]]表示的；特別地，這些場的「值」不服從交換律。作為算符，這些數值是在量子態（以[[狄拉克符號|右矢]]表記）上作用的。

==場的另類表示==
量子論常見的一點是，觀察事物可有多個角度。第一眼看上去，以上給出的量子場可能不像上述的「基本粒子」表；然而對粒子，存在有多種不同的描述，而這些描述可能更適合某些給定的情境。

===費米場===
費米場{{mvar|ψ}}可以不只有一個，研究者也可對每種粒子都各別分出費米場不同的成分。這反映了量子場論的歷史演變，而這是因為費米場的電子成分{{math|''ψ''<sub>e</sub>}}（用以描述[[電子]]及其反粒子[[正子]]）是用於[[量子電動力學]]的原始{{mvar|ψ}}之故，而之後隨著物理學的發展，其中又加入了{{mvar|ψ<sub>μ</sub>}}跟{{mvar|ψ<sub>τ</sub>}}這兩個分別對應[[μ子]]跟[[τ子]]及其反粒子的場。之後的電弱理論又給費米場加入了與三個世代的[[中微子]]分別對應的<math>\psi_{\nu_{\mathrm e}}, \psi_{\nu_\mu}</math>及<math>\psi_{\nu_\tau}</math>等成分。

[[夸克]]的存在給給費米場加入了更多的成分，由於要跟電子跟其他[[輕子]]一樣，保持[[狄拉克旋量#4-旋量|4-旋量]]之故，因此對於夸克每個[[味 (粒子物理學)|風味]]跟[[色荷]]的組合，都必須有一個相對應的夸克場，而這表示費米場會有24種劃分（3個帶電輕子各一種、三個世代的中微子各一種，夸克則有<math>2\times3\times3=18</math>種，而這是因為夸克有三種風味、每種風味各兩種夸克，且每種夸克各有三個不同顏色的版本之故）；此外，由於每個上述的劃分都是有四個成分的{{link-en|雙旋量|bispinor}}之故，因此費米場總共有96個複數值成分。

一個重要的定義是{{link-en|狄拉克伴隨|Dirac adjoint|附標}}費米場<math>\bar{\psi}</math>，其定義是<math> \psi^\dagger \gamma^0 </math>，其中<math>\dagger</math>是{{mvar|ψ}}的[[埃爾米特伴隨]]，而{{math|''γ''<sup>0</sup>}}是第零個[[狄拉克矩陣|γ矩陣]]。若{{mvar|ψ}}是一個{{math|''n'' × 1}}矩陣，那麼<math>\bar{\psi}</math>就應該要是一個[[行向量|{{math|1 × ''n''}}矩陣]]。

====手徵性理論====
{{mvar|ψ}}的一種獨立分解，是按照[[手徵性]]將之分拆：
{{unbulleted list | style = padding-left: 1.5em
|「左」手性：<math>\psi^{\rm L} = \frac{1}{2}(1-\gamma_5)\psi</math>
|「右」手性：<math>\psi^{\rm R} = \frac{1}{2}(1+\gamma_5)\psi</math>
}}
其中<math>\gamma_5</math>是[[狄拉克矩陣|第五個γ矩陣]]。這點在標準模型中非常重要，而這是因為'''左手性跟右手性粒子在規範場作用下有不同的表現'''之故。特別地，在[[弱同位旋]]的[[特殊酉群|SU(2)]]變換下，左手性粒子呈現弱同位旋雙重態，而右手性粒子則呈現單重態，也就是說，{{math|''ψ''<sub>R</sub>}}的弱同位旋為零。舉個例子，弱交互作用可將左手性電子旋轉成左手性中微子（這過程會放出{{math|W<sup>−</sup>}}粒子），但不能對相對應的右手性粒子做同樣的變換。另外，本來標準模型中是不包含右手性中微子的；然而，[[中微子振盪]]的發現，顯示說中微子必然有質量，而由於手徵性在具有質量的粒子傳播的過程中可以改變之故，因此右手性中微子必然得存在；然而這不會改變弱交互作用經實驗證明的手徵性本質。

除此之外，{{math|U(1)}}對<math>\psi^{\rm L}_{\mathrm e}</math>及<math>\psi^{\rm R}_{\mathrm e}</math>作用方式不同，而這是因為它們有不同的[[弱超荷]]之故。

====質量與交互本徵態====
有鑑於此，因此可做出像是中微子的質量與交互[[量子態|本徵態]]之間的區別。前者是在自由空間中傳播的狀態；而後者則是參與互動的「不同」狀態。那麼哪個才是「基本」粒子？就中微子而言，一般都以其本徵態來定義其「風味」（{{SubatomicParticle|电中微子|link=yes}}、{{SubatomicParticle|μ中微子|link=yes}}或{{SubatomicParticle|τ中微子|link=yes}}）；而對夸克而言，一般都以質量態來定義其風味（上、下、奇、粲、底、頂等等）。我們可藉由對夸克的[[卡比博-小林-益川矩陣]]（CKM矩陣）以及對中微子的[[龐蒂科夫-牧-中川-坂田矩陣]]（PMNS矩陣）等來轉換這些狀態。另一方面，帶荷的輕子，其質量及風味皆為其本徵態。

另外，若這些矩陣存在複數項的話，就會導致直接的[[CP破壞]]，而這可解釋為何在我們現在的宇宙中，物質會多於反物質。這點已在卡比博-小林-益川矩陣上得證，且預計會在龐蒂科夫-牧-中川-坂田矩陣上出現。

====正負能量====
最後，量子場可分解成「正能量」與「負能量」兩個成分：{{math|''ψ'' {{=}} ''ψ''<sup>+</sup> + ''ψ''<sup>−</sup>}}。這種作法在已經建立的量子場論上不常見，但在建立量子場論的過程中，這常常是顯著的特性。

===玻色子===
[[File:Weinberg angle (relation between coupling constants).svg|300px|thumb|溫伯格角{{math|''θ''<sub>W</sub>}}及其與耦合常數<math>g, g'</math>及<math>e</math>之間的關係。此圖取自T D Lee於1981年出版的《粒子物理學及場論介紹》（Particle Physics and Introduction to Field Theory）一書。]]

由於[[希格斯機制]]之故，電弱玻色場<math>W_1, W_2, W_3</math>及<math>B</math>發生混合，進而產生物理上可觀察的狀態。若要保持規範場不變性，這些量子場必須是無質量的；然而可觀測的狀態在這過程中可以「得到質量」。這些狀態如下：

* 帶質量中性[[W及Z玻色子|Z玻色子]]：
*:<math display="block"> Z= \cos \theta_{\rm W} W_3 - \sin \theta_{\rm W} B</math>

* 無質量中性玻色子：
*:<math display="block"> A = \sin \theta_{\rm W} W_3 + \cos \theta_{\rm W} B</math>

* 帶質量中性[[W及Z玻色子|W玻色子]]：
*:<math display="block">W^{\pm} = \frac1{\sqrt2}\left(W_1 \mp i W_2\right)</math>

其中{{math|''θ''<sub>W</sub>}}是[[溫伯格角]]。

量子場{{mvar|A}}是[[光子]]的量子場，其對應至眾所皆知的[[電磁四維勢]]，也就是電場與磁場。量子場{{mvar|Z}}（Z玻色子的量子場）實際上參與所有光子參與的過程，但有鑑於其龐大的質量之故，其參與一般可忽略。

==微擾量子場論及互動繪景==
許多以「粒子」和「力」等詞語對標準模型的質性描述，都來自對此模型的微擾[[量子場論]]視角。在其中，[[拉格朗日量]]可分解為「自由場」跟「交互場」拉格朗日量，並以<math>\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_\mathrm{I}</math>表示。自由場表示的是孤立粒子；而交互場表示的是起自交互作用的數個粒子。這表示背後的想法是狀態向量應該只在產生交互作用時改變，也就是說自由粒子是量子態保持不變者。這與量子力學的[[相互作用繪景]]相對應。

在較常見的[[薛丁格繪景]]中，即使是自由粒子，也會隨時間改變：其相改變的速率取決於其能量；而在與之相對的[[海森堡繪景]]中，狀態向量保持不變，而這麼做的代價就是其算符（尤其[[可觀察量|可觀測]]的）是取決於時間的。相互作用繪景則是兩者的折衷，其中部分取決於時間的成分置於算符（也就是量子場）上，而其他的一些則置於狀態向量上。在微擾量子場論中，前者又稱為「自由場部分」，而後者稱為「交互場部分」。自由場模型可得到精準解，而整個模型的解可以自由場解的微擾表示，而微擾可使用諸如{{link-en|戴森級數|Dyson series}}等方式表示。

應當注意的是，將量子場給分解為自由場及交互場的作法，在原則上是任意的。像例如說[[量子電動力學]]的[[重整化]]修改了自由場電子的質量以使之合乎物理的電子（帶有電磁場），並因此給其自由場拉格朗日量加入了一個必須在交互場拉格朗日量當中以相反項抵銷的項，這使其在[[費曼圖]]中以帶有兩條線的頂點表示。這也被認為是希格斯場賦予粒子[[不變質量|質量]]的方式：希格斯場中，與非零真空期望值相對應的交互項部分，被從交互場拉格朗日量移動到自由場拉格朗日量當中，在其中，這項看起來就像與希格斯場無關的質量項。
{{see also|費曼圖}}

===自由場===
在常規的、適用於低能情境的自由場/交互場分解下，自由場遵循以下等式：
* 費米場{{mvar|ψ}}滿足[[狄拉克方程]]，也就是對於每種費米子<math>f</math>而言，有<math> (i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m_{\rm f} c) \psi_{\rm f} = 0 </math>。
* 光子場{{mvar|A}}滿足[[波動方程]]<math> \partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0 </math>。
* 希格斯場{{mvar|φ}}滿足[[克萊因-戈爾登方程]]。
* 弱交互作用場{{math|''Z'', ''W''<sup>±</sup>}}滿足[[Proca 作用量|Proca方程]]。
這些方程可得精確解。一般會首先考慮沿著每個空間軸且帶有週期{{mvar|L}}的週期解，之後取其極限{{math|''L'' → ∞}}可解除週期性的限制。

在週期性的狀況下，任意量子場{{mvar|F}}（{{mvar|F}}可以是上述的任意量子場）的解都可以形式如下的[[傅立葉級數]]表示：
<math display="block"> F(x) = \beta \sum_{\mathbf{p}} \sum_r E_{\mathbf{p}}^{-\frac{1}{2}} \left( a_r(\mathbf{p}) u_r(\mathbf{p}) e^{-\frac{ipx}{\hbar}} + b^\dagger_r(\mathbf{p}) v_r(\mathbf{p}) e^{\frac{ipx}{\hbar}} \right)</math>
其中各參數定義如下：
* {{mvar|β}}是歸一化因此；對於費米場<math>\psi_{\rm f}</math>其值為<math display="inline">\sqrt{ m_{\rm f} c^2 / V}</math>，其中<math>V = L^3 </math>是受考慮的基本胞體積；而對於光子場{{mvar|A<sup>μ</sup>}}而言，此歸一化因子為<math>\hbar c / \sqrt{2V} </math>。
* {{math|'''p'''}}的總和是對所有與週期{{mvar|L}}相容的動量之總和，也就是所有形如<math>\frac{2\pi\hbar}{L}(n_1,n_2,n_3)</math>的向量之總和，其中<math>n_1,n_2,n_3</math>皆為整數。
* {{mvar|r}}的總和是對諸如自旋的極化等該量子場所有自由度的總和；一般此總和為{{math|1}}至{{math|2}}或{{math|1}}至{{math|3}}的總和。
* {{math|''E''<sub>'''p'''</sub>}}是量子場量子的動量{{math|'''p'''}}的相對論性質量，在靜止質量為{{mvar|m}}時，其形式為<math display="inline">=\sqrt{m^2 c^4 + c^2 \mathbf{p}^2}</math>。
* {{math|''a<sub>r</sub>''('''p''')}}及<math>b^\dagger_r(\mathbf{p})</math>分別是動量為{{math|'''p'''}}的「a粒子」和「b粒子」的[[創生及湮滅算符]]，其中「b粒子」是「a粒子」的反粒子。不同的場有不同的「a粒子」和「b粒子」；此外，對於一些量子場而言，「a粒子」和「b粒子」相同。
* {{math|''u<sub>r</sub>''('''p''')}}及{{math|''v<sub>r</sub>''('''p''')}}是帶有量子場相關的向量或旋量的非算符。
* <math>p = (E_{\mathbf{p}}/c, \mathbf{p})</math>是帶有動量{{math|'''p'''}}的量子的[[四維動量]]。<math>px = p_\mu x^\mu</math>則是[[四維向量]]的內積。
在取極限{{math|''L'' → ∞}}的狀況下，由於藏於{{mvar|β}}的參數{{mvar|V}}之故，此和會變成一個積分，而{{mvar|β}}的數值會取決於對<math>u_r(\mathbf{p})</math>及<math>v_r(\mathbf{p})</math>選取的歸一。

技術上而言，<math>a^\dagger_r(\mathbf{p})</math>是[[狄拉克符号|右矢]]的算符{{math|''a<sub>r</sub>''('''p''')}}在[[內積空間]]中的[[埃爾米特伴隨]]。之所以將<math>a^\dagger_r(\mathbf{p})</math>以及{{math|''a<sub>r</sub>''('''p''')}}給鑑別做[[創生及湮滅算符]]，是因為這是比較其中之一在其上發生作用前後保存的量的結果之故。做為例子，<math>a^\dagger_r(\mathbf{p})</math>可視做加添一個粒子，而這是因為這會給[[粒子數算符]]的特徵值加{{math|1}}之故；而這樣操作之後，粒子的動量應當要是{{math|'''p'''}}，這是因為以向量為值的[[動量算符]]會如此增加之故。人們一般以量子場的算符表示作為起始進行衍伸。將帶有<math>\dagger</math>的算符做為創生算符是一個習慣，而這是因為導入其彼此間的交換符號之故。

一個在微擾量子場論計算中重要的步驟是將上述「算符」因子{{mvar|a}}與{{mvar|b}}從其向量或旋量因子{{mvar|u}}與{{mvar|v}}中分離。[[費曼圖]]頂點的設置來自源於不同因子的交互拉格朗日量{{mvar|u}}與{{mvar|v}}彼此相合的方式；而其邊的設置則來自{{mvar|a}}與{{mvar|b}}必須移動以在正規化的形式的戴森級數中設項的方式。

===交互場項及路徑積分法===
在不使用創生及湮滅算符（也就是「常規」形式）的狀況下，也可藉由[[路徑積分]]得到拉格朗日量，這作法最初由費曼基於狄拉克的工作所發展。[[費曼圖]]乃是交互項的圖像化展示。詳情可見[[費曼圖]]一文說明。

==拉格朗日形式==
[[File:Standard Model – All Feynman diagram vertices.svg|upright=1.5|thumb|right|標準模型中的互動。所有模型中的費曼圖都起自這些頂點的混合。q代表任何夸克、g代表膠子、X代表任何帶荷粒子、γ代表光子、f代表任何費米子、m代表任何帶質量粒子（中微子可能是其例外）、m<sub>B</sub><nowiki>代表任何帶質量玻色子。在圖中有多個以「∕」分隔的粒子標籤的部分，其中一個標籤被使用；而圖中有多個以「∣」分隔的粒子標籤的部分，其標籤須以相同順序選取。像例如說，在有四個玻色子的電弱作用的狀況下，可行的圖有WWWW、WWZZ、WWγγ、WWZγ等幾種組合。每個列出的頂點的共軛（將箭頭方向倒過來）也是允許的。<ref>{{cite thesis|type=PhD|last=Lindon|first=Jack|date=2020|title=Particle Collider Probes of Dark Energy, Dark Matter and Generic Beyond Standard Model Signatures in Events With an Energetic Jet and Large Missing Transverse Momentum Using the ATLAS Detector at the LHC|publisher=CERN|url=https://cds.cern.ch/record/2746537/}}</ref>]]

我們現在可以給出前述出現在標準模型中的自由與交互場的[[拉格朗日量]]。任何如此的項都必須是規範且參考系不變的，不然物理法則會取決於任意的選擇或者觀察者所在的參考系。因此包含{{link-en|平移對稱|translational symmetry}}、[[旋轉對稱]]及作為[[狹義相對論]]核心的慣性座標系的[[對稱性 (物理學)|全域]][[龐加萊群|龐加萊對稱]]必須成立。[[對稱性 (物理學)|局域]]{{math|SU(3) × SU(2) × U(1)}}規範場對稱是種[[對稱性 (物理學)|內部對稱]]如下所見，在一些合適的關係定義後，規範場對稱的三個因子會給出三種基本作用力。

===動能項===
自由粒子可以一個質量項及一個與量子場「移動」有關的「動能」項表示。

====費米場====
狄拉克費米子的動能項如下：

<math display="block">i\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi</math>

其中的表記跟前文一致。{{mvar|ψ}}可指任何標準模型中的狄拉克費米子；此外一般而言，如下所述，這項可包含在耦合（並因此得到一般的動態項）當中。

====規範場====
對於自旋為1的量子場，首先定義場強度[[張量]]：

<math display="block">F^a_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A^{a}_{ \nu} - \partial_{\nu}A^{a}_{ \mu} + g f^{abc} A^{b}_{\mu} A^{c}_{\nu}</math>

對於給定的、[[耦合常數]]為{{mvar|g}}的規範場（此處以{{mvar|A}}表記）而言，{{math|&nbsp;''f&nbsp;<sup>abc</sup>''}}這個量是該規範群的[[域上的代數|結構常數]]，而這常數可由以下交換子定義：

<math display="block">[t_a, t_b] = if^{abc} t_c,</math>

其中{{mvar|t<sub>i</sub>}}是這個群的[[李代數#生成元與維度|生成元]]。在[[交換群]]（如此處用的{{math|U(1)}}）中，結構常數會消失，而這是因為生成元{{mvar|t<sub>a</sub>}}全都滿足交換律之故。當然，這非一般情況，而這是因為標準模型也包含了非交換的{{math|SU(2)}}及{{math|SU(3)}}群之故。而這些非交換群也是[[楊-米爾斯理論|楊-米爾斯規範場論]]出現的原因。

我們需要引入三個與{{math|SU(3) × SU(2) × [[U(1)]]}}這個群的每個子群相對應的規範場：
* 膠子場張量會以<math>G^{a}_{\mu\nu}</math>表示，其中{{mvar|a}}這指數表示了代表[[特殊酉群|SU(3)]]出現的八種色態的元素。強耦合常數一般會以{{mvar|g<sub>s</sub>}}（或在不引起混淆的狀況下記做{{mvar|g}}）表示。導致標準模型這部分發現的觀察可見[[量子色動力學]]一文。
* {{math|[[特殊酉群|SU(2)]]}}的規範場張量會以<math>W^a_{\mu\nu}</math>表示，其中{{mvar|a}}表示了此群中出現的三個世代。其耦合常數一般會以{{mvar|g<sub>w</sub>}}（或在不引起混淆的狀況下記做{{mvar|g}}）表示。而其規範場會以<math>W^a_{\mu}</math>表示。
* {{math|U(1)}}的規範場張量會以{{mvar|B<sub>μν</sub>}}表示，其中{{mvar|g′}}表示其耦合，而其規範場會以{{mvar|B<sub>μ</sub>}}表示。

因此動能項可表示如下：

<math display="block">\mathcal{L}_{\rm{kin}} = - {1\over 4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} - {1\over 2} \mathrm{tr} W_{\mu\nu} W^{\mu\nu} - {1\over 2} \mathrm{tr} G_{\mu\nu} G^{\mu\nu}</math>

其跡位於分別隱藏於{{math|SU(2)}}及{{math|SU(3)}}的指數中的{{mvar|W}}及{{mvar|G}}之上。而這些雙指數物件乃是衍生自向量場{{mvar|W}}及{{mvar|G}}的場強度；此外，還有兩個隱藏參數：{{math|SU(2)}}及{{math|SU(3)}}的角度。

===耦合項===
下一步是將規範場與費米場「耦合」以描述交互作用。

====電弱部分====
{{Main|電弱交互作用}}
電弱交互作用可以對稱群{{math|U(1) × SU(2)<sub>L</sub>}}表示，其中L表示說其只與左手性費米子耦合。

<math display="block"> \mathcal{L}_\mathrm{EW} = \sum_\psi\bar\psi\gamma^\mu \left(i\partial_\mu-g^\prime{1\over2}Y_\mathrm{W}B_\mu-g{1\over2}\boldsymbol{\tau}\mathbf{W}_\mu\right)\psi</math>

其中{{mvar|B<sub>μ</sub>}}是{{math|U(1)}}規範場；{{math|''Y''<sub>W</sub>}}是[[弱超荷]]，也是{{math|U(1)}}的生成元；{{math|'''W'''<sub>''μ''</sub>}}是有三個部份的{{math|SU(2)}}規範場；而{{math|'''τ'''}}由[[泡利矩陣]]（也是{{math|SU(2)}}群的極小生成元）組成，且其特徵值給出弱同位旋。應當注意的是，我們給弱超荷定義了一個新的、不同於量子電動力學的新{{math|[[U(1)]]}}群，而這麼做是為了統一弱作用力。

作為[[弱同位旋]]第三成分{{math|''T''<sub>3</sub>}}（又作{{math|''T<sub>z</sub>'', ''I''<sub>3</sub>}}或{{mvar|I<sub>z</sub>}}等）的[[電荷]]{{mvar|Q}}及弱超荷{{math|''Y''<sub>W</sub>}}之間，有以下關係：
<math display="block"> Q = T_3 + \tfrac{1}{2} Y_{\rm W},</math>
（或用「另外的」常規表示，有{{math|1=''Q'' = ''T''<sub>3</sub> + ''Y''<sub>W</sub>}}） 
用於此篇文的第一個常規表示與[[蓋爾曼-西島關係]]等價，這使得超荷等於同位多重態平均荷的兩倍。

我們可接著定義弱同位旋的{{link-en|保守流|conserved current}}如下：
<math display="block">\mathbf{j}_\mu = {1\over 2}\bar{\psi}_{\rm L} \gamma_\mu\boldsymbol{\tau}\psi_{\rm L}</math>
並定義弱超荷的保守流如下：
<math display="block">j_{\mu}^{Y}=2(j_{\mu}^{\rm em} - j_{\mu}^3)~,</math>
其中<math>j_{\mu}^{\rm em}</math>是電流，而<math>j_{\mu}^3</math>是第三弱同位旋流。[[#玻色子|如上所言]]，這些粒子流彼此混合以產生物理上觀測到的玻色子，這也導致了耦合常數間可測試的關係。
 
換個方式解釋，我們可以藉由將不同項目從拉格朗日形式取出的做法來觀察電弱交互作用的效應。我們可看見{{math|SU(2)}}對稱在每個包含於{{mvar|ψ}}的（左手性）費米子二重態上發生作用，像例如說
<math display="block">-{g\over 2}(\bar{\nu}_e \;\bar{e})\tau^+ \gamma_{\mu}(W^+)^{\mu} \begin{pmatrix} {\nu_e} \\ e \end{pmatrix} = -{g\over 2}\bar{\nu}_e\gamma_{\mu}(W^+)^{\mu}e </math>
其中粒子都被理解為左手性的，且其中
<math display="block">\tau^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau^1{+}i\tau^2)= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0  \end{pmatrix}</math>

這是一個對應到「弱同位旋空間的旋轉」或{{math|e<sub>L</sub>}}與{{math|ν<sub>eL</sub>}}之間，透過發射{{math|''W''<sup>−</sup>}}玻色子進行的變換。

另一方面，{{math|U(1)}}對稱與電磁作用力類似，但經由中性的{{math|''Z''<sup>0</sup>}}，作用於所有帶有弱超荷的（左手性跟右手性的）費米子上，也透過光子作用在帶有電荷的費米子上。

====量子色動力學部分====
{{Main|量子色動力學}}
量子色動力學部分定義了[[夸克]]與[[膠子]]之間的交互作用，而這部分帶有由{{mvar|T<sub>a</sub>}}生成的{{math|SU(3)}}對稱。

由於輕子不與膠子作用之故，因此輕子與此部分無涉。夸克與膠子場耦合的狄拉克拉格朗日量如下：

<math display="block">\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = i\overline U \left(\partial_\mu-ig_sG_\mu^a T^a \right )\gamma^\mu U + i\overline D \left(\partial_\mu-i g_s G_\mu^a T^a \right )\gamma^\mu D.</math>

其中{{mvar|U}}與{{mvar|D}}是分別與上類與下類夸克相關的狄拉克旋量，而其他的表記則同前文。

===質量項與希格斯機制===

====質量項====
對於任意費米子{{mvar|ψ}}而言，起自狄拉克拉格朗日量的質量項是<math>-m\bar{\psi}\psi</math>，這項在電弱交互作用下'''並非'''不變的。這點可從將{{mvar|ψ}}給寫作左手與右手部分的總和看出（此處跳過實際計算）：

<math display="block">-m\bar{\psi}\psi=-m(\bar{\psi}_{\rm L}\psi_{\rm R}+\bar{\psi}_{\rm R}\psi_{\rm L})</math>

其中<math>\bar{\psi}_{\rm L}\psi_{\rm L}</math>及<math>\bar{\psi}_{\rm R}\psi_{\rm R}</math>項給出的貢獻並未出現。

我們從中可見說質量生成作用是藉由不斷翻轉粒子的手性而發生的。

半自旋粒子不帶有同於{{math|SU(2)}}表示、並具有相同或相反弱超荷的左右手對，因此在假定這些規範荷在真空中不變的狀況下，沒有任何半自旋粒子可翻轉手性，也因此必須保持無質量；此外，我們從實驗中可知W和Z玻色子帶質量，但玻色子質量項包含了{{mvar|A<sup>μ</sup>A<sub>μ</sub>}}等組合，而這些組合明確地取決於規範的選取。因此沒有任何標準模型中的費米子或玻色子可以「在開始時」就有質量，而其質量必須透過其他機制取得。

====希格斯機制====
{{Main|希格斯機制}}
解決這些問題的方法來自[[希格斯機制]]，其中涉及了被「吸收」入帶質量玻色子、成為其自由度一部分（此處盡量簡短解釋），以及透過湯川耦合以生成看起來是質量項的純量場，而純量場的值，取決於希格斯機制的實際形式。

在標準模型中，[[希格斯場]]是一個{{math|[[特殊酉群|SU(2)]]<sub>L</sub>}}群的複純量場：

<math display="block"> \phi= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix},</math>

其中上標的{{math|+}}和{{math|0}}表示其成分的電荷{{mvar|Q}}。兩成分的弱超荷{{math|''Y''<sub>W</sub>}}都是{{math|1}}。

希格斯部份的拉格朗日量如下：

<math display="block">\mathcal{L}_{\rm H} = \left [\left (\partial_\mu -ig W_\mu^a t^a -ig'Y_{\phi} B_\mu \right )\phi \right ]^2 + \mu^2 \phi^\dagger\phi-\lambda (\phi^\dagger\phi)^2,</math>

其中{{math|''λ'' > 0}}且{{math|''μ''<sup>2</sup> > 0}}以使得[[自發對稱破缺]]機制可套用。在此有一個開始時隱藏於勢能形態、但非常重要的參數。


{{link-en|統一性規範|unitarity gauge}}下，可設<math>\phi^+=0</math>並使得<math>\phi^0</math>為實數。在這種狀況下，<math>\langle\phi^0\rangle=v</math>即是希格斯場不消逝的[[真空期望值]]。<math>v</math>帶有質量單位，且在標準模型中是唯一不是無因次的參數。

此外，其數值遠小於普朗克尺度且大約是希格斯粒子質量的兩倍，而這也給了標準模型中所有其他粒子的質量設置了一個尺度。這是整個模型中，唯一確實微調到微小非零數值的參數。{{mvar|W<sub>μ</sub>}}及{{mvar|B<sub>μ</sub>}}當中出現二次項，而這些項目賦予了W和Z玻色子質量：

<math display="block">\begin{align}
M_{\rm W} &= \tfrac{1}{2}vg \\ 
M_{\rm Z} &= \tfrac{1}{2} v\sqrt{g^2+{g'}^2}
\end{align}</math>

希格斯玻色子本身的質量則為<math display="inline">M_{\rm H}= \sqrt{2 \mu^2 } \equiv \sqrt{ 2 \lambda v^2 }.</math>

====湯川耦合====

[[湯川耦合]]項如下：

<math display="block">\mathcal{L}_\text{Yukawa} = (Y_u)_{mn}(\bar{q}_L)_m \tilde{\varphi}(u_R)_n + (Y_d)_{mn}(\bar{q}_L)_m \varphi(d_R)_n + (Y_e)_{mn}(\bar{L}_L)_m \tilde{\varphi}(e_R)_n + \mathrm{h.c.} </math>

其中<math>Y_u</math>、<math>Y_d</math>及<math>Y_e</math>為{{math|3 × 3}}湯川耦合矩陣，其中的{{mvar|mn}}項給出{{mvar|m}}和{{mvar|n}}這兩世代的耦合，而<math>h.c.</math>表示前述各項的埃爾米特共軛。

<math>q_L</math>及<math>L_L</math>等量子場代表左手性夸克與輕子的二重態；類似地，<math>u_R, d_R</math>及<math>e_R</math>等量子場代表右手性上類夸克、下類夸克與輕子的單重態。最後，<math>\varphi</math>表示希格斯雙重態，且有<math>\tilde{\varphi} = i\tau_2\varphi^{*}</math>

====中微子質量====
如前所述，證據顯示中微子有質量；然而在標準模型中，右手性中微子並不存在，因此即使是湯川耦合中微子，也依舊是無質量的。

對此一個明顯的解<ref name="fas.org">{{Cite web |last=Raby |first=Stuart |last2=Slansky |first2=Richard |title=Neutrino Masses - How to add them to the Standard Model |url=https://sgp.fas.org/othergov/doe/lanl/pubs/00326607.pdf |access-date=3 November 2023 |website=FAS Project on Government Secrecy |archive-date=2023-08-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230801100319/http://sgp.fas.org/othergov/doe/lanl/pubs/00326607.pdf |dead-url=no }}</ref>是「加入右手性中微子」{{math|''ν''<sub>R</sub>}}，而這樣座要求在湯川耦合的部分中加入新的「狄拉克質量」項：

<math display="block"> \mathcal{L}^\text{Dir}_{\nu} = (Y_\nu)_{mn}(\bar{L}_L)_m \varphi (\nu_R)_n + \mathrm{h.c.} </math>

但這樣的量子場必須是[[惰性中微子]]，而這是因為在實驗上，右手性粒子皆屬於同位旋單重態（{{math|''T''<sub>3</sub> {{=}} 0}}）且其電荷{{math|''Q'' {{=}} 0}}, implying {{math|''Y''<sub>W</sub> {{=}} 0}}之故，此點可見上說明。也就是說，這樣的粒子甚至不參與弱交互作用。目前惰性中微子的實驗證據尚不明確。<ref>{{cite web |url=http://t2k-experiment.org/neutrinos/oscillations-today/ |title=Neutrino oscillations today |website=t2k-experiment.org |access-date=2023-12-03 |archive-date=2023-12-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231203223705/https://t2k-experiment.org/neutrinos/oscillations-today/ |dead-url=no }}</ref>

另一個可能性是假定中微子滿足[[馬約拉納方程式]]，而因為中微子的電荷為零之故，因此這乍看之下是可能的。在這種狀況下，一個新的「馬約拉納質量」項會加入湯川耦合的部分中：

<math display="block"> \mathcal{L}^\text{Maj}_{\nu} = -\frac{1}{2} m \left ( \overline{\nu}^C\nu + \overline{\nu}\nu^C \right ) </math>

其中{{mvar|C}}指的是共軛粒子（也就是反粒子），而<math>\nu</math>這項則一致地為左手性（或右手性）。應當注意的一個反粒子的左手性投射是個右手性量子場；由於有些人會用不同的表記之故，因此這裡要保持注意。

在此，我們基本翻轉了左手性中微子和右手性反中微子，中微子可能是（但不必然）自身的反粒子，但這非必然的，因此這些粒子是相同的；然而，對於左手性中微子而言，這項會改變弱超荷達兩單位，而這在標準希格斯交互作用下是不可能的，因此這要求將希格斯場延伸以包含額外帶弱超荷為2的三重態；<ref name="fas.org"/>而對於右手性中微子而言，沒有任何對希格斯場的延伸是必要的。不管在左手性或右手性的狀況下，馬約納拉項違反[[輕子數]]守恆，但這可能性可能位於既有實驗對這類違背的偵測敏感度的範圍之外。

將狄拉克與馬約拉納質量項同時包含在同一個理論中是可能的，而這可藉由將右手性中微子連結到物理上尚未清楚的大統一尺度<ref>{{Cite web |url=http://www.mpi-hd.mpg.de/personalhomes/schwetz/tueb-2.pdf |title=Archived copy |access-date=2014-02-26 |archive-date=2014-02-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140226164813/http://www.mpi-hd.mpg.de/personalhomes/schwetz/tueb-2.pdf |url-status=dead }}</ref>，為中微子質量觀測到的微小的大小提供一個「自然的」（相對於僅包含狄拉克質量項的作法）解釋。詳情可見[[翹翹板機制]]一文。

由於在上述任何情況下，新的量子場都必須引入以解釋實驗結果之故，因此中微子可作為[[超越標準模型的物理學]]明顯的開端。

==詳細訊息==
本段落為模型的一些面相提供更多細節，並提供一些參考資料。明確表達的拉格朗日項也可見於[[電弱交互作用]]一文。

===量子場內容的詳細訊息===
標準模型有如下的場，這些場描述一個世代的輕子與夸克，而目前已知這些粒子有三個世代，因此對每種費米場都有三個複本。由CPT對稱性可知，每種費米子都有與之相對的、帶有相反宇稱和電荷的反費米子。若一個左手性費米子存在於某些表示上，那其反粒子（右手性反費米子）也會存在於相對應的{{link-en|對偶表示|dual representation}}上。<ref>{{Cite web|title=2.3.1 Isospin and SU(2), Redux|url=http://math.ucr.edu/~huerta/guts/node9.html|access-date=2020-08-09|website=math.ucr.edu|archive-date=2018-08-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20180814115930/http://math.ucr.edu/~huerta/guts/node9.html|dead-url=no}}</ref>（當注意的是由於SU(2)是{{link-en|偽實數|pseudo-real}}之故，因此有<math>\bar{\mathbf{2}}={\mathbf{2}}</math>）「表示」這直列指稱說每個場在何種[[規範群]]的[[表示論|表示]]下進行轉換，轉換當中的順序分別為對<math>(SU(3), SU(2), U(1))</math>的轉換，而對於<math>U(1)</math>群也會給出[[弱超荷]]的值，在輕子場部分中，這數值的左手場部分兩倍於右手場部分；但在夸克部分中，這數值的左手場部分與右手場部分相等。

{| class="wikitable collapsible collapsed"
|-
! colspan="5"| 標準模型的量子場內容
|-
! colspan="5" style="background:#ffdead"| 自旋為1的規範場
|-
! 符號 !! 相關的荷 !! 群 !! 耦合 !! 表示<ref>{{Cite book|last=McCabe, Gordon.|title=The structure and interpretation of the standard model|url=https://archive.org/details/structureinterpr0000mcca|date=2007|publisher=Elsevier|isbn=978-0-444-53112-4|location=Amsterdam|oclc=162131565|pages=[https://archive.org/details/structureinterpr0000mcca/page/n175 160]–161}}</ref>
|-
| <math>B</math> || [[弱超荷]] || {{math|U(1)<sub>''Y''</sub>}} || <math>g'</math> or <math>g_1</math> || <math>(\mathbf{1},\mathbf

{1},0)</math>
|-
| <math>W</math> || [[弱同位旋]] || {{math|SU(2)<sub>L</sub>}} || <math>g_w</math> or <math>g_2</math> || <math>(\mathbf{1},\mathbf

{3},0)</math>
|-
| <math>G</math> || [[色荷]] || {{math|SU(3)<sub>''C''</sub>}} || <math>g_s</math> or <math>g_3</math> || <math>(\mathbf{8},\mathbf{1},0)

</math>
|-
! colspan="5" style="background:#ffdead"| 自旋為{{frac|1|2}}的費米子
|-
! 符號 !! 名稱 !! 重子數 !! 輕子數 !! 表示
|-
| <math>q_{\rm L}</math> || 左手[[夸克]] || <math>\textstyle\frac{1}{3}</math> || <math>0</math> || <math>(\mathbf{3},\mathbf{2},\textstyle\frac{1}{3})</math>
|-
| <math>u_{\rm R}</math> || 右手夸克（上類） || <math>\textstyle\frac{1}{3}</math> || <math>0</math> || <math>({\mathbf{3}},\mathbf{1},\textstyle\frac{4}{3})</math>
|-
| <math>d_{\rm R}</math> || 右手夸克（下類） || <math>\textstyle\frac{1}{3}</math> || <math>0</math> || <math>({\mathbf{3}},\mathbf{1},-\textstyle\frac{2}{3})</math>
|-
| <math>\ell_{\rm L}</math> || 左手[[輕子]] || <math>0</math> || <math>1</math> || <math>(\mathbf{1},\mathbf{2},-1)</math>
|-
| <math>\ell_{\rm R}</math> || 右手輕子 || <math>0</math> || <math>1</math> || <math>(\mathbf{1},\mathbf{1},-2)</math>
|-
! colspan="5" style="background:#ffdead"| 自旋為0的純量玻色子
|-
! 符號 !! 名稱 !! colspan="3"| 表示
|-
| <math>H</math> || [[希格斯玻色子]] || colspan="3"| <math>(\mathbf{1},\mathbf{2},1)</math>
|}

===費米場訊息===
下表部分基於{{link-en|粒子資料團體|Particle Data Group}}蒐集到的資料：<ref>{{cite journal |author=W.-M. Yao ''et al''. (Particle Data Group) |year=2006 |title=Review of Particle Physics: Quarks |url=http://pdg.lbl.gov/2006/tables/qxxx.pdf |journal=Journal of Physics G |volume=33 |issue=1 |page=1 |doi=10.1088/0954-3899/33/1/001 |arxiv=astro-ph/0601168 |bibcode=2006JPhG...33....1Y |s2cid=117958297 |access-date=2023-12-03 |archive-date=2017-01-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170125085039/http://pdg.lbl.gov/2006/tables/qxxx.pdf |dead-url=no }}</ref>

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan="8"| '''標準模型中的左手費米子'''
|-
!colspan="8" style="background:#ffdead"| 第一世代
|- style="background:#fdd;"
! 費米子<br/>（左手性）
! 符號
! [[電荷]]
! [[弱同位旋]]
! [[弱超荷]]
! [[色荷]]<br/><ref group="lhf" name=s1>這些並非可彼此相加總的普通[[交換群|交換]][[荷 (物理)|荷]]，而是[[李群]]的[[群表示]]。</ref>
![[質量]]<ref group="lhf" name=s2>質量實質是左手性費米子與右手性費米子的耦合，像例如說電子的質量實際來自左手性電子與右手性電子的耦合，其在實質上是左手性[[正子]]的[[反粒子]]。另外中微子在質量耦合上出現大量的混合，因此在以[[味 (粒子物理學)|風味]]為基礎或提出左手性反電中微子的狀況下談論中微子質量是不精確的。</ref>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[電子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Electron}} }}
| <math>-1</math>
| <math>-\tfrac{1}{2}</math>
| <math>-1</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| 511&nbsp;keV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[正子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Positron}} }}
| <math>+1</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>+2</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| 511&nbsp;keV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[電中微子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Electron Neutrino}} }}
| <math>~\ 0</math>
| <math>+\tfrac{1}{2}</math>
| <math>-1</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| &lt;&nbsp;0.28&nbsp;eV<ref group="lhf" name="s4">
標準模型假定說中微子沒有質量；然而，很多當代實驗都證實了不同[[味 (粒子物理學)|風味]]中微子之間的[[中微子振蕩]]的存在，而在中微子沒質量的狀況下，這是不可能發生的。延伸此模型以符合觀測資料，是直觀的作法；然而有許多可能性存在。因此其質量[[本徵態]]依舊是個[[開放問題]]。詳情可見[[中微子]]質量的說明。</ref><ref group="lhf" name=s4b>{{cite journal
 |author1         = Yao, W.-M.
 |display-authors = etal
 |collaboration   = [[Particle Data Group]]
 |year            = 2006
 |title           = Review of Particle Physics: Neutrino mass, mixing, and flavor change
 |journal         = [[Journal of Physics G]]
 |volume          = 33
 |issue           = 1
 |page            = 1
 |doi             = 10.1088/0954-3899/33/1/001
 |arxiv           = astro-ph/0601168
 |bibcode         = 2006JPhG...33....1Y
 |s2cid           = 117958297
 |url             = http://pdg.lbl.gov/2007/reviews/numixrpp.pdf
 |access-date     = 2023-12-03
 |archive-date    = 2020-10-24
 |archive-url     = https://web.archive.org/web/20201024001429/https://pdg.lbl.gov/2007/reviews/numixrpp.pdf
 |dead-url        = no
}}</ref>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[電中微子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Electron Antineutrino}} }}
| <math>~\ 0</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| &lt;&nbsp;0.28&nbsp;eV<ref group="lhf" name="s4"/><ref group="lhf" name=s4b/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[上夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Up Quark}} }}
| <math>+\tfrac{2}{3}</math>
| <math>+\tfrac{1}{2}</math>
| <math>+\tfrac{1}{3}</math>
| <math>\mathbf{3}</math>
| ~&nbsp;3&nbsp;MeV<ref group="lhf" name=s3>[[重子]]、[[强子]]和許多截面的[[質量]]都是實驗測得的數據；然而由於[[量子色動力學|QCD]][[色禁閉]]之故，夸克無法被分離出來，因此此處的夸克質量是夸克在[[量子色動力學]][[重整化]]尺度的推測質量。</ref>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[上夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Up Antiquark}} }}
| <math>-\tfrac{2}{3}</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>-\tfrac{4}{3}</math>
| <math>\mathbf{\bar{3}}</math>
| ~&nbsp;3&nbsp;MeV<ref group="lhf" name=s3/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[下夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Down Quark}} }}
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| <math>\mathbf{3}</math>
| ~&nbsp;6&nbsp;MeV<ref group="lhf" name=s3/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[下夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Down Antiquark}} }}
| <math>+\tfrac{1}{3}</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>+\tfrac{2}{3}</math>
| <math>\mathbf{\bar{3}}</math>
| ~&nbsp;6&nbsp;MeV<ref group="lhf" name=s3/>
|-
!colspan="8"| &nbsp;
|-
!colspan="8" style="background:#ffdead"| 第二世代
|- style="background:#fdd;"
! 費米子<br/>（左手性）
! 符號
! 電荷
! 弱同位旋
! 弱超荷
! 色荷<ref group="lhf" name=s1/>
! 質量<ref group="lhf" name=s2/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[μ子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Muon}} }}
| <math>-1</math>
| <math>-\tfrac{1}{2}</math>
| <math>-1</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| 106&nbsp;MeV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[μ子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Antimuon}} }}
| <math>+1</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>+2</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| 106&nbsp;MeV
|- style="text-align:center;"
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| {{math| {{SubatomicParticle|Muon Neutrino}} }}
| <math>~ 0</math>
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| <math>\mathbf{1}</math>
| &lt;&nbsp;0.28&nbsp;eV<ref group="lhf" name=s4/><ref group="lhf" name=s4b/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[μ中微子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Muon Antineutrino}} }}
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| <math>~\ 0</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| &lt;&nbsp;0.28&nbsp;eV<ref group="lhf" name=s4/><ref group="lhf" name=s4b/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[粲夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Charm Quark}} }}
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| ~&nbsp;1.3&nbsp;GeV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[粲夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Charm Antiquark}} }}
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| ~&nbsp;1.3&nbsp;GeV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[奇夸克]]
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| ~&nbsp;100&nbsp;MeV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[奇夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Strange Antiquark}} }}
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| <math>\mathbf{\bar{3}}</math>
| ~&nbsp;100&nbsp;MeV
|-
!colspan="8"| &nbsp;
|-
!colspan="8" style="background:#ffdead"| 第三世代
|- style="background:#fdd;"
! 費米子<br/>（左手性）
! 符號
! 電荷
! 弱同位旋
! 弱超荷
! 色荷<ref group="lhf" name=s1/>
! 質量<ref group="lhf" name=s2/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[τ子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Tau}} }}
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| <math>-1</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| 1.78&nbsp;GeV
|- style="text-align:center;"
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| 1.78&nbsp;GeV
|- style="text-align:center;"
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| {{math| {{SubatomicParticle|Tau Neutrino}} }}
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| &lt;&nbsp;0.28&nbsp;eV<ref group="lhf" name=s4/><ref group="lhf" name=s4b/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[τ中微子]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Tau Antineutrino}} }}
| <math>~\ 0</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>\mathbf{1}</math>
| &lt;&nbsp;0.28&nbsp;eV<ref group="lhf" name=s4/><ref group="lhf" name=s4b/>
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[頂夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Top Quark}} }}
| <math>+\tfrac{2}{3}</math>
| <math>+\tfrac{1}{2}</math>
| <math>+\tfrac{1}{3}</math>
| <math>\mathbf{3}</math>
| 171&nbsp;GeV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[頂夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Top Antiquark}} }}
| <math>-\tfrac{2}{3}</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>-\tfrac{4}{3}</math>
| <math>\mathbf{\bar{3}}</math>
| 171&nbsp;GeV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| [[底夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Bottom Quark}} }}
| <math>-\tfrac{1}{3}</math>
| <math>-\tfrac{1}{2}</math>
| <math>+\tfrac{1}{3}</math>
| <math>\mathbf{3}</math>
| ~&nbsp;4.2&nbsp;GeV
|- style="text-align:center;"
|style="background:#efefef"| 反[[底夸克]]
| {{math| {{SubatomicParticle|Bottom Antiquark}} }}
| <math>+\tfrac{1}{3}</math>
| <math>~\ 0</math>
| <math>+\tfrac{2}{3}</math>
| <math>\mathbf{\bar{3}}</math>
| ~&nbsp;4.2&nbsp;GeV
|-
!colspan="8"| &nbsp;
|-
|colspan="8"|
<references group=lhf/>
|}

===自由參數===
在寫下包含不帶質量中微子的、最一般性的拉格朗日形式時候，可發現說這動力系統取決於19個參數，而這些參數的數值由實驗決定。包括帶質量的中微子的、對標準模型的直觀延伸會需要額外的7個參數（3個質量參數跟4個PMNS矩陣參數），並因此得到26個參數。<ref name="Thomson499">{{cite book|author=Mark Thomson|title=Modern Particle Physics|url=https://books.google.com/books?id=HamyAAAAQBAJ&pg=PA499|date=5 September 2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-29254-3|pages=499–500}}</ref>

目前中微子相關參數值依舊不確定，而19個已確定的參數總結如下：

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! colspan="5"| 標準模型的參數
|-
! 符號
! 描述
! 重整化方案（點）
! 數值
! 實驗不確定性
|-
|''m''<sub>e</sub>
|電子質量
|
|510.9989461 keV
|±3.1 meV
|-
|''m''<sub>μ</sub>
|μ子質量
|
|105.6583745 MeV
|±2.4 eV
|-
|''m''<sub>τ</sub>
|τ子質量
|
|1.77686 GeV
|±0.12 MeV
|-
|''m''<sub>u</sub>
|上夸克質量
|''μ''<sub>{{link-en|最小減法重整化方案|MSbar scheme|{{overline|MS}}}}</sub> = 2 GeV
|2.16 MeV
| +0.49 −0.26 MeV
|-
|''m''<sub>d</sub>
|下夸克質量
|''μ''<sub>{{overline|MS}}</sub> = 2 GeV
|4.67 MeV
| +0.48 −0.17 MeV
|-
|''m''<sub>s</sub>
|奇夸克質量
|''μ''<sub>{{overline|MS}}</sub> = 2 GeV
|93.4 MeV
| +8.6 −3.4 MeV
|-
|''m''<sub>c</sub>
|粲夸克質量
|''μ''<sub>{{overline|MS}}</sub> = ''m''<sub>c</sub>
|1.27 GeV
| ±0.02 GeV
|-
|''m''<sub>b</sub>
|底夸克質量
|''μ''<sub>{{overline|MS}}</sub> = ''m''<sub>b</sub>
|4.18 GeV
| +0.03 −0.02 GeV
|-
|''m''<sub>t</sub>
|頂夸克質量
|{{link-en|殼上重整化方案|On-shell scheme}}
|172.69 GeV
|±0.30 GeV
|-
|''θ''<sub>12</sub>
|CKM 12-混合角
|
|13.1°
|
|-
|''θ''<sub>23</sub>
|CKM 23-混合角
|
|2.4°
|
|-
|''θ''<sub>13</sub>
|CKM 13-混合角
|
|0.2°
|
|-
|''δ''
|CKM [[CP破壞]]相
|
|0.995
|
|-
|''g''<sub>1</sub> or ''g'''
|U(1)規範耦合
|''μ''<sub>{{overline|MS}}</sub> = ''m''<sub>Z</sub>
|0.357
|
|-
|''g''<sub>2</sub> or ''g''
|SU(2)規範耦合
|''μ''<sub>{{overline|MS}}</sub> = ''m''<sub>Z</sub>
|0.652
|
|-
|''g''<sub>3</sub> or ''g''<sub>s</sub>
|SU(3)規範耦合
|''μ''<sub>{{overline|MS}}</sub> = ''m''<sub>Z</sub>
|1.221
|
|-
|''θ''<sub>QCD</sub>
|量子色動力學{{link-en|θ真空|theta vacuum|真空角}}
|
|~0
|
|-
|''v''
|希格斯真空期望值
|
|246.2196 GeV
|±0.2 MeV
|-
|''m''<sub>H</sub>
|希格斯粒子質量
|
|125.18 GeV
|±0.16 GeV
|}

自由參數的選擇是有些任意的，規範耦合被列為自由參數，因此在這種狀況下，溫伯格角就不再是自由參數，而這是因為溫伯格角的定義為<math>\tan\theta_{\rm W} = \frac{g_1}{g_2}</math>之故；類似地，量子電動力學的[[精細結構常數]]為<math>\alpha = \frac{1}{4 \pi}\frac{(g_1 g_2)^2}{g_1^2 + g_2^2}</math>；此外，在費米子質量之外，無因次的湯川耦合也可被選為替代的自由參數。像例如說電子質量取決於電子對希格斯質量的湯川耦合，而其數值為<math>m_{\rm e} = \frac{y_{\rm e}}{\sqrt{2}}v</math>；而在希格斯粒子的質量之外，希格斯場的自我耦合強度<math>\lambda = \frac{m_{\rm H}^2}{2v^2}</math>也可被選作替代的自由參數，而其實驗數值約為0.129。

另外，在希格斯真空期望值之外，<math>\mu^2</math>這個直接源自希格斯場自我交互作用項<math>\mu^2 \phi^\dagger\phi-\lambda (\phi^\dagger\phi)^2</math>的參數也可被選作替代的自由參數，而其數值為<math>\mu^2 = \lambda v^2 = \frac{m_{\rm H}^2}2</math>，或說其數值大約是<math>\mu = 88.45</math> GeV。

另外，[[真空能量]]的值（或更精確地說，用以計算此能量的[[重整化]]尺度）也可用做額外的自由參數。而其重整化的尺度可藉由[[普朗克尺度]]或微調來符合觀測到的[[宇宙常數]]，但這兩個選項[[宇宙學常數問題|都有問題]]。<ref>{{Cite journal|last=Martin|first=Jérôme|date=July 2012|title=Everything you always wanted to know about the cosmological constant problem (but were afraid to ask)|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1631070512000497|journal=Comptes Rendus Physique|language=en|volume=13|issue=6–7|pages=566–665|doi=10.1016/j.crhy.2012.04.008|arxiv=1205.3365|bibcode=2012CRPhy..13..566M|s2cid=119272967|access-date=2023-12-03|archive-date=2023-12-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20231223110844/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1631070512000497|dead-url=no}}</ref>

===標準模型的額外對稱===
從理論的角度來看，標準模型還有四個在開始時並未被提出的、額外的全域對稱，而這四個全域對稱合稱「{{link-en|意外對稱性|Accidental symmetry}}」，這些對稱性屬連續[[U(1)]][[對稱性 (物理學)|全域對稱]]。其轉換後的拉格朗日不變量如下：

<math display="block">\psi_\text{q}(x) \to e^{i\alpha/3}\psi_\text{q}</math>
<math display="block">E_{\rm L} \to e^{i\beta} E_{\rm L}\text{ and }(e_{\rm R})^c    \to e^{i\beta}(e_{\rm R})^c</math>
<math display="block">M_{\rm L} \to e^{i\beta} M_{\rm L}\text{ and }(\mu_{\rm R})^c  \to e^{i\beta}(\mu_{\rm R})^c</math>
<math display="block">T_{\rm L} \to e^{i\beta} T_{\rm L}\text{ and }(\tau_{\rm R})^c \to e^{i\beta}(\tau_{\rm R})^c</math>

第一個轉換規則指的是說所有世代的所有夸克場都必須同時透過同樣的相旋轉，也就是說，{{math|''M''<sub>L</sub>, ''T''<sub>L</sub>}}及<math>(\mu_{\rm R})^c, (\tau_{\rm R})^c</math>等量子場是{{math|''E''<sub>L</sub>}}及<math>(e_{\rm R})^c</math>量子場在第二（μ子所屬的世代）與第三世代（τ子所屬的世代）的類似物。

根據[[諾特定理]]，所有上述的對稱性都伴隨著一個[[守恆定律]]：[[重子數]]守恆、<ref>標準模型中的重子數只在古典層級守恆，有非微擾的效應使得重子數不守恆。詳情可見《[https://arxiv.org/abs/1311.5285 Baryon Number Violation, report prepared for the Community Planning Study – Snowmass 2013] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/1311.5285 |date=20231203223704 }}》一文</ref>、[[輕子數|電子數]]守恆、[[輕子數|μ子數]]守恆和[[輕子數|τ子數]]守恆。每個夸克都被賦予重子數<math display="inline">\frac{1}{3}</math>，而每個反夸克都被賦予重子數<math display="inline">-\frac{1}{3}</math>。重子數守恆指稱說夸克總數與反夸克總數相減後要是一個常數。在實驗範圍內，尚未發現這個守恆受破壞的跡象。

此外，每個電子及其伴隨的中微子都有電子數+1；而正子及伴隨的其伴隨的反中微子都有電子數−1；類似地，μ子及其伴隨的中微子都有μ子數+1，而τ子及其伴隨的中微子都有τ子數+1。標準模型預測說這些三個數值應當會以類似重子數守恆的方式各自保持守恆，而這些數字又合稱[[輕子數|輕子數家族]]（LF）。然而這結果仰賴於標準模型裏頭中微子沒有質量的假定，但在實驗上，中微子振蕩顯示了個別的電子數、μ子數和τ子數並不守恆。<ref>標準模型中的輕子數只在古典層級守恆，有非微擾的效應使得輕子數不守恆。詳情可見《{{Cite journal|last1=Fuentes-Martín|first1=J.|last2=Portolés|first2=J.|last3=Ruiz-Femenía|first3=P. | date=January 2015|title=Instanton-mediated baryon number violation in non-universal gauge extended models|journal=Journal of High Energy Physics | language=en | volume=2015 | issue=1 | pages=134 | doi=10.1007/JHEP01(2015)134 | arxiv=1411.2471 | bibcode = 2015JHEP...01..134F | issn=1029-8479 | doi-access=free}}或[https://thesis.library.caltech.edu/8211/1/JArnold_THESIS.pdf Baryon and lepton numbers in particle physics beyond the standard model] {{Wayback|url=https://thesis.library.caltech.edu/8211/1/JArnold_THESIS.pdf |date=20231203223701 }}》等文</ref><ref>重子數與輕子數守恆破壞彼此抵消，而其效果就是在標準模型中，[[重子數減去輕子數的差|B − L]]是個精確的對稱關係。帶有大質量馬約納拉中微子的標準模型延伸會破壞B-L對稱性，但帶有大質量狄拉克中微子的延伸則不然。詳情可見《{{Cite journal | last1=Ma | first1=Ernest | last2=Srivastava | first2=Rahul | date=2015-08-30 | title=Dirac or inverse seesaw neutrino masses from gauged B–L symmetry | url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217732315300207 | journal=Modern Physics Letters A | language=en | volume=30 | issue=26 | pages=1530020 | doi=10.1142/S0217732315300207 | issn=0217-7323 | arxiv=1504.00111 | bibcode=2015MPLA...3030020M | s2cid=119111538 | access-date=2023-12-03 | archive-date=2023-02-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230211234535/https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217732315300207 | dead-url=no }}》、《{{Cite journal|last=Heeck|first=Julian|date=December 2014 | title=Unbroken B – L symmetry | journal=Physics Letters B | language=en | volume=739 | pages=256–262 | doi=10.1016/j.physletb.2014.10.067 | arxiv=1408.6845 | bibcode=2014PhLB..739..256H | doi-access=free}}》、《{{cite journal|last=Vissani|first=Francesco|date=2021-03-03|title=What is matter according to particle physics and why try to observe its creation in lab | journal=Universe | volume=7 | issue=3 | page=61 | doi=10.3390/universe7030061 | arxiv=2103.02642 | bibcode=2021Univ....7...61V|doi-access=free}}》等文</ref>

在上述的意外（但精確的）對稱性之外，標準模型還展現了數個'''{{link-en|粒子物理學與表示論|Particle physics and representation theory|大體的對稱性}}'''。這其中包括了「SU(2){{link-en|監管對稱性|custodial symmetry}}」及「SU(2)或SU(3)夸克風味對稱性」。

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! colspan="4" |標準模型的對稱性與守恆定律
|-
! [[對稱性 (物理學)|對稱]]
! [[李群]]
! 對稱種類
! [[守恆定律]]
|-
|[[龐加萊群]]
| style="text-align:center;"|{{link-en|平移對稱|translational symmetry}}[[半直積|⋊]][[勞侖茲群|SO(3,1)]]
| style="text-align:center;"|[[對稱性 (物理學)|全域對稱]]
|[[能量]]、[[動量]]、[[角動量]]
|-
|[[規範群]]
| style="text-align:center;"|[[特殊酉群|SU(3)]]×[[特殊酉群|SU(2)]]×[[U(1)]]
| style="text-align:center;"|[[對稱性 (物理學)|局域對稱]]
|[[色荷]]、[[弱同位旋]]、[[電荷]]、[[弱超荷]]
|-
|[[重子]]相
| style="text-align:center;"|[[U(1)]]
| style="text-align:center;"|意外[[對稱性 (物理學)|全域對稱]]
|[[重子數]]
|-
|[[電子]]相
| style="text-align:center;"|[[U(1)]]
| style="text-align:center;"|意外[[對稱性 (物理學)|全域對稱]]
|[[輕子數|電子數]]
|-
|[[μ子]]相
| style="text-align:center;"|[[U(1)]]
| style="text-align:center;"|意外[[對稱性 (物理學)|全域對稱]]
|[[輕子數|μ子數]]
|-
|[[τ子]]相
| style="text-align:center;"|[[U(1)]]
| style="text-align:center;"|意外[[對稱性 (物理學)|全域對稱]]
|[[輕子數|τ子數]]
|}

===U(1)對稱===
對於[[輕子]]而言，規範群可寫作{{math|SU(2)<sub>l</sub> × U(1)<sub>L</sub> × U(1)<sub>R</sub>}}。其中的兩個

{{math|U(1)}}因子可合做{{math|U(1)<sub>Y</sub> × U(1)<sub>l</sub>}}，其中{{math|l}}是[[輕子數]]。

對輕子數的規範化已為實驗否決，因此唯一可能的規範群為{{math|SU(2)<sub>L</sub> × U(1)<sub>Y</sub>}}。對夸克部分類似的論證也對電弱交互理論給出類似的結果。

===帶荷與中性流耦合及費米理論===
帶荷流<math>j^{\mp} = j^{1} \pm i j^{2}</math>描述如下：
<math display="block">j^-_\mu = \overline U_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu D_{i\mathrm{L}} +\overline \nu_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu l_{i\mathrm{L}}.</math>
這些帶荷流即是進入{{link-en|費米交互作用|Fermi's interaction|費米β衰變論}}的那些。其作用包含了如下描述的帶荷流成分：
<math display="block">\mathcal{L}_{\rm CC} = \frac g{\sqrt2}(j_\mu^+W^{-\mu}+j_\mu^-W^{+\mu}).</math>
對於能量小於W玻色子質量的那些，期有效理論即是{{link-en|費米交互作用|Fermi's interaction|費米理論}}中以<math>2\sqrt{2} G_{\rm F} ~~ J_\mu ^+ J^{\mu~~-} </math>描述的粒子流─粒子流接觸交互作用。

然而，規範不變性現在也要求規範場的<math>W^{3}</math>部分與{{math|SU(2)}}三重狀態中的粒子流發生耦合；但另一方面，這與{{math|U(1)}}發生混合，因此在此部分的另一個粒子流動也是必須的。這些粒子流必須是不帶荷的，以保持荷守恆。因此「中性流」也是必須的：
<math display="block">j_\mu^3 = \frac 1 2 \left(\overline U_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu U_{i\mathrm{L}} - \overline D_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu D_{i\mathrm{L}} + \overline \nu_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu \nu_{i\mathrm{L}} - \overline l_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu l_{i\mathrm{L}}\right)</math>
<math display="block">j_\mu^{\rm em} = \frac23\overline U_i\gamma_\mu U_i -\frac13\overline D_i\gamma_\mu D_i - \overline l_i\gamma_\mu l_i.</math>
而中性流的拉格朗日量如下：
<math display="block">\mathcal{L}_{\rm NC} = e j_\mu^{\rm em} A^\mu + \frac g{\cos\theta_{\rm W}}(J_\mu^3-\sin^2\theta_{\rm W}J_\mu^{\rm em})Z^\mu.</math>

==超越標準模型的物理學==
{{excerpt|超越标准模型的物理学}}

==參見==
*[[標準模型]]和[[粒子物理學]]綜覽
*[[基本相互作用]]
*{{link-en|非交換標準模型|Noncommutative standard model}}
*開放問題：[[CP破壞]]、[[中微子|中微子質量]]、{{link-en|QCD物質|QCD matter|夸克物質}}
*[[超越標準模型的物理學]]
*[[强相互作用]]
**[[味 (粒子物理學)|風味]]
**[[量子色動力學]]
**[[夸克模型]]
*[[弱相互作用]]
**[[電弱交互作用]]
**{{link-en|費米交互作用|Fermi's interaction}}
*[[溫伯格角]]
*{{link-en|量子力學的對稱性|Symmetry in quantum mechanics}}
*[[徐一鴻]]所著的《{{link-en|量子力學總覽|Quantum Field Theory in a Nutshell}}》

==註解==
{{notelist|iger=}}

==參考資料與外部連結==
{{Reflist}}
{{refbegin}}
*''An introduction to quantum field theory'', by M.E. Peskin and D.V. Schroeder (HarperCollins, 1995) {{ISBN|0-201-50397-2}}.
*''Gauge theory of elementary particle physics'', by T.P. Cheng and L.F. Li (Oxford University Press, 1982) {{ISBN|0-19-851961-3}}.
*[http://nuclear.ucdavis.edu/~tgutierr/files/stmL1.html Standard Model Lagrangian with explicit Higgs terms] {{Wayback|url=http://nuclear.ucdavis.edu/~tgutierr/files/stmL1.html |date=20121106011835 }} (T.D. Gutierrez, ca 1999) (PDF, PostScript, and LaTeX version)
*''The quantum theory of fields'' (vol 2), by S. Weinberg (Cambridge University Press, 1996) {{ISBN|0-521-55002-5}}.
*''Quantum Field Theory in a Nutshell'' (Second Edition), by A. Zee (Princeton University Press, 2010)  {{ISBN|978-1-4008-3532-4}}.
*''An Introduction to Particle Physics and the Standard Model'', by R. Mann (CRC Press, 2010) {{ISBN|978-1420082982}}
*''Physics From Symmetry'' by J. Schwichtenberg (Springer, 2015)  {{ISBN|3319192000}}. Especially [https://books.google.com/books?id=_vLLCQAAQBAJ&dq=physics%20from%20symmetry&pg=PA86 page 86] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=_vLLCQAAQBAJ&dq=physics%20from%20symmetry&pg=PA86 |date=20231203223702 }}
{{refend}}
{{Particles}}
{{Quantum field theory}}

[[Category:標準模型]]
[[Category:電弱理論]]