查看“︁標準分數”︁的源代码

{{Refimprove|time=2024-01-13T06:57:13+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math
|T=zh-tw:Z-分數;zh-cn:标准分数;}}
[[File:Normal distribution and scales.gif|thumb|300px|[[正態分佈]]跟標準分數之間的關係。]]
'''標準分數'''（{{lang|en|Standard Score}}，又稱'''z-score'''，中文稱為'''Z-分數'''或'''标准分'''或'''標準計分'''<ref>{{Cite web|archive-url=https://archive.today/20240113065417/https://terms.naer.edu.tw/detail/2a9efea4dfd3139e334264ea8201b220/?seq=1|archive-date=2024-01-13|title=樂詞網：標準計分|url=https://terms.naer.edu.tw/detail/2a9efea4dfd3139e334264ea8201b220/?seq=1|access-date=2024-01-13|website=[[國家教育研究院]]樂詞網|language=zh-tw}}</ref>）在[[統計學]]中是一種[[无量纲量|無因次值]]，就是一種純數字標記，是藉由從單一（原始）分數中減去[[母體]]的[[算術平均數|平均值]]，再依照[[总体|母體]]（母集合）的[[標準差]]分割成不同的差距，按照z值公式，各個樣本在經過轉換後，通常在正、負五到六之間不等。其算數平均數必為0，標準差必為1。

== 概念 ==

標準分數與使用在[[高速篩選]]分析中的「[[Z-因數]]」（z-factor）不同，甚至有時兩者會互相混淆。

其約化過程被稱為「[[標準化 (統計學)|標準化]]」（'''standardizing'''）。

標準分數可藉由以下公式求出：

:<math> z = {x - \mu \over \sigma}</math>

其中 <math>\sigma \ne 0</math>。

其中
* <math>x\,</math> 是需要被標準化的原始分數
* <math>\mu\,</math> 是母體的[[算術平均數|平均值]]
* <math>\sigma\,</math> 是母體的[[標準差]]

Z值的量代表著原始分數和母體平均值之間的距離，是以標準差為單位計算。在原始分數低於平均值時Z則為負數，反之則為正數。换句话说，Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。

關鍵點是，計算Z值時需要「母體」的平均值和標準差，而不是「樣本」的平均值和標準差。因此需要了解母體的統計數據資料。

但是要確實了解母體真正的標準差往往是不切實際的，除非是在「[[考试|標準化測驗]]」之類的情形中，整個母體都是經過測量的。在其他情況中，幾乎不可能測量母體的每一個組成單位，因此通常會使用隨機的樣本來評估標準差。例如：「有吸菸習慣的總人數」就不是經過一個一個測量而得出的。

在這種情況下，標準分數為：

<math>z=\frac{x-\bar{x}}{S}</math>

其中 <math>S  \ne 0</math>

其中 

* <math>{\bar {x}}</math> 是樣本[[算術平均數|平均值]]

* <math>S</math> 是樣本的[[標準差]]

當母體為[[正态分布]]時，其[[百分位数]]可能是由標準分數和普通表格所決定的。

==數理統計學中的標準化==
在[[数理统计学]]中，[[隨機變數]]「X」是使用理論（母體）的平均值和標準差所'''標準化'''的結果：

:<math>Z = {X - \mu \over \sigma}</math>

其中 μ&nbsp;=&nbsp;E(''X'') 為[[平均值]]、σ²&nbsp;=&nbsp;Var(''X'') 為''X''的[[概率分布]]之方差

若隨機變數無法確定時，則為[[算术平均数]]：

:<math>\bar{X}={1 \over n} \sum_{i=1}^n X_i</math>

因此經過標準化的結果為：

:<math>Z={\bar{X}-\mu\over\sigma/\sqrt{n}}.</math>

== 應用 ==
* 在[[日本]]，標準分數常被用在計算[[測驗|學力測驗]]的「學力[[偏差值]]」，並且依此判斷進入理想[[大學]]的可能性。
* 在[[智力測驗]]時，用來計算「智力標準分數」，在教育的用途上，常和「智商」一起被當作參考的依據。

===高考标准分===
截至2020年，中国大陆地区曾有[[福建省]]和[[海南省]]实行标准分制度以计算高考总分。

== 外部連結 ==
*<small>英文</small> [http://www.fourmilab.ch/rpkp/experiments/analysis/zCalc.html Z-分數計算機] {{Wayback|url=http://www.fourmilab.ch/rpkp/experiments/analysis/zCalc.html |date=20210214005559 }} 能在「累積機率」數值（Q）和Z-分數（標準分數）之間轉換。
*<small>英文</small> [https://web.archive.org/web/20060813100831/http://www.danielsoper.com/statcalc/calc22.aspx 免費的Z-分數（標準分數）計算機] 輸入樣本平均值、樣本標準差和尚未標準化的數據之後，即可算出標準分數。

== 參見 ==
* [[統計學]]
* [[標準九分]]
*[[Z检验]]
[[Category:概率与统计]]
[[Category:统计学比率]]
==參考資料==
{{reflist}}
{{统计学}}