查看“︁樊𰋀不等式”︁的源代码

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{{Expert|time=2015-12-14T03:43:22+00:00}}
'''樊𰋀不等式'''（{{lang-en|Ky Fan inequality}}）是华裔数学家[[樊𰋀]]发现的一个[[不等式]]。這個不等式的意義，在於因其與[[算幾不等式]]相似，從中可以[[廣義化|推廣]]出很多結果。

==敘述==
樊𰋀不等式，用最簡單的形式可以表述為：

如果實數<math>x_1, \ldots, x_n\ </math>都符合<math>0 < x_i \le {1 \over 2}</math>，那麼
: <math>
\frac{\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}}{\left[\prod_{i=1}^n (1-x_i)\right]^{\frac{1}{n}}} \le \frac {{1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i}{{1 \over n} \sum_{i=1}^n (1-x_i)}</math>，
等式成立[[當且僅當]]<math>x_1 = \cdots = x_n</math>。

若分別記<math>x_i\;</math>的[[算術平均]]和[[幾何平均]]為<math>A_n\equiv\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i </math>，<math>G_n\equiv\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}}</math>；又記<math>1-x_i\;</math>的這兩種平均為<math>A^\prime_n\equiv\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (1-x_i) </math>，<math>G^\prime_n\equiv\left[\prod_{i=1}^n (1-x_i) \right]^{\frac{1}{n}}</math>，那麼不等式可寫作
:<math>\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}</math>。
如此可以看出它和算幾不等式<math>G_n\leq A_n</math>的相似處。

==證明==
利用[[函數]]<math>f(x)=\ln x -\ln (1-x)\;</math>在<math>0<x\leq\frac{1}{2}</math>的[[凹函數|凹性]]，套用[[延森不等式]]，這樣得到一個簡單的證明。這證明可以直接推廣至不等式的加權形式：
:<math> \frac{ \prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i} }{ \prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right)^{\gamma_i}}\leq\frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_ix_i }{ \sum_{i=1}^n \gamma_i\left(1- x_i \right) }
</math>，
其中<math>\gamma_i\geq 0</math>，<math>\sum_{i=1}^n \gamma_i =1</math>。

==相關不等式==
如果記[[調和平均]]為<math>H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} </math>，<math>H^\prime_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1-x_i}} </math>，在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推廣：
:<math>\frac{H_n}{H^\prime_n}\leq\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}</math>。

== 參考文獻 ==
*Horst Alzer: [http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D171447 Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan]{{dead link|date=2018年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246-250.
*E. F. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, 引用在 Alzer (1988).
*Edward Neuman, Jósef Sándor: [https://web.archive.org/web/20160304041246/http://www.mia-journal.com/files/5-1/full/05-06.PDF  On the Ky Fan inequality and related inequalities I]. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
*Edward Neuman, Jósef Sándor: [http://www.austms.org.au/Publ/Bulletin/V72P1/pdf/721-5068-NeSa.pdf  On the Ky Fan inequality and related inequalities II] {{Wayback|url=http://www.austms.org.au/Publ/Bulletin/V72P1/pdf/721-5068-NeSa.pdf |date=20200325213707 }}. Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87-107.
*Jósef Sándor, Tiberiu Trif: [https://web.archive.org/web/20151226091729/http://www.mia-journal.com/files/2-4/full/02-43.PDF A new refinement of the Ky Fan inequality]. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
*W. Wang, P. Wang: ''A class of inequalities for the symmetric functions'' (中文) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485-497, 引用在 Alzer (1988).

[[Category:代数不等式]]