查看“︁概率质量函数”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|2= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}
[[Image:Discrete probability distrib.svg|thumb|一个機率密度函数的图像。函数的所有值必须非负，且总和为1。]]
在[[機率论]]和[[统计学]]中，'''機率质量函數'''（probability mass function，简写作'''pmf'''）是[[离散随机變數]]在各特定取值上的機率<ref>{{cite book|author=Stewart, William J.|title=Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling|publisher=Princeton University Press|year=2011|isbn=978-1-4008-3281-1|page=105|url=https://books.google.com/books?id=ZfRyBS1WbAQC&pg=PT105|access-date=2022-04-18|archive-date=2022-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20220418053034/https://books.google.com/books?id=ZfRyBS1WbAQC&pg=PT105}}</ref>。有时它也被称为离散密度函数。 機率密度函數通常是定义[[機率分布#离散機率分布族|离散機率分布]]的主要方法，并且此类函数存在于其[[定义域]]是离散的[[标量 (数学)|标量]]變數或{{le|多元随机變數|Multivariate random variable}}。

'''機率质量函數'''和[[機率密度函数]]的一个不同之处在于：機率质量函數是对[[离散随机變數]]定义的，本身代表该值的機率；機率密度函数本身不是機率，只有对连续随机變數的[[機率密度函数]]必须在某一个区间内被[[积分]]后才能产生出機率<ref name=":0">{{Cite book|title=A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how|url=https://archive.org/details/modernintroducti0000unse_h6a1|date=2005|publisher=Springer|others=Dekking, Michel, 1946-|isbn=978-1-85233-896-1|location=London|oclc=262680588}}</ref>。

具有最大機率密度的随机變數的值称为[[众数 (数学)|众数]]。

==数学定义==

假设''X''是一个定义在[[可数]][[样本空间]]''S''上的离散随机變數 ''S'' ⊆ '''R'''，则其'''機率質量函數''' ''f''<sub>''X''</sub>(''x'') 为
:<math>f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), &x\in S,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash S.\end{cases}</math>
注意这在所有[[实数]]上，包括那些''X''不可能等于的实数值上，都定义了 ''f''<sub>''X''</sub>(''x'')。在那些''X''不可能等于的实数值上， ''f''<sub>''X''</sub>(''x'')取值为0 ( ''x'' ∈ '''R'''\''S''，取Pr(''X'' = ''x'') 为0)。

[[离散随机變數]]'''機率質量函數'''的不连续性决定了其[[累积分布函数]]也不连续。

== 例子 ==
{{main|伯努利分布|二項式分布|幾何分佈}}

'''機率質量函數'''可以定义在任何[[离散随机變數]]上，包括[[离散型均匀分布|常数分布]], [[二项分布]]（包括[[伯努利分布|伯努利(Bernoulli)分布]]）, [[负二项分布]], [[泊松分布|泊松(Poisson)分布]], [[几何分布]]以及[[超几何分布]]随机變數上.

=== 有限 ===
存在三个相关的主要分布，[[伯努利分布]]、[[二項式分布]]、和[[幾何分佈]]。

==== 伯努利分布 ====
伯努利分布：'''ber(p)''' ，用于对只有两种可能结果的实验进行建模。 这两个结果通常编码为1和0。

<math>p_X(x) = \begin{cases}
p, & \text{if }x\text{ is 1} \\
1-p, & \text{if }x\text{ is 0}
\end{cases}</math> 

一个伯努利分布的例子是抛硬币。假设''X''是抛硬币的结果，反面取值为0，正面取值为1。则在状态空间{0, 1}(这是一个[[伯努利分布|伯努利(Bernoulli)随机变量]])中，''X'' = ''x''的機率是0.5，所以'''機率質量函數'''是

<math>p_X(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\
0, &x \notin \{0, 1\}.
\end{cases}</math>

===無限===
以下呈指数下降的分布是具有无限数量可能结果的分布示例——所有正整数：

<math>\text{Pr}(X=i)= \frac{1}{2^i}\qquad \text{for } i=1, 2, 3, \dots </math>

尽管可能的结果有无限多，但总機率密度为 1/2 + 1/4 + 1/8 +⋯ = 1，满足機率分布的单位总機率要求。

== 多变量情况 ==
{{main|联合分布}}

两个或多个离散随机变量具有联合機率密度函數，它给出了随机变量的每个可能的实现组合的機率。

==參見==
* [[機率密度函數]]
* [[累积分布函数|累積分布函數]]

==参考文献==
{{reflist}}

{{機率分布理论}}

[[Category:機率论]]
[[Category:函数]]