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這是'''概形論術語'''。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目[[仿射概形]]、[[射影空間]]、[[層 (數學)|層]]及[[概形]]。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。

==點==
一個概形 <math>S</math> 是一個[[局部賦環空間]]，故也是[[拓撲空間]]，但「<math>S</math> 的點」具有三重涵義：

* 拓撲空間意義下的點。
* <math>T</math>-值點：對任一概形 <math>T</math>，一個 <math>T</math>-值點是指一個態射 <math>T \to S</math>。
* 幾何點：當 <math>S</math> 定義在一個[[体 (数学)|域]] <math>K</math> 上時（換言之 <math>S</math> 是 <math>\mathrm{Spec}(K)</math>-概形），一個幾何點乃是一個 <math>\mathrm{Spec}(\overline{K})</math>-值點，其中 <math>\overline{K}</math> 表 <math>K</math> 的[[代數閉包]]。

幾何點是古典問題的主角，例如對複代數簇而言，通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括[[一般點]]的類比（相對於[[扎里斯基]]而非[[韋伊]]的理論）。藉由[[米田引理]]，考慮所有的概形 <math>T</math> 與所有 <math>T</math>-值點，可以將概形 <math>S</math> 理解為相應的[[可表函子]] <math>h_S</math>，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。

==纖維==
在[[格羅滕迪克]]的相對幾何框架下，一態射的'''纖維'''有三重涵義：

* 一個點（拓撲意義下）的逆像。
* 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的[[張量積]]。
* 幾何纖維：設 <math>S, S'</math> 為 <math>\mathrm{Spec}(K)</math>-概形（<math>K</math> 為域），<math>f: S \to S'</math> 為一 <math>\mathrm{Spec}(K)</math>-態射，<math>P: \mathrm{Spec}(\overline{K}) \to S'</math> 為一幾何點，則 <math>P</math> 點的幾何纖維定義為相應的纖維積 <math>S \times_S \mathrm{Spec}(\overline{K})</math>。

==概形之性質==
概形的大部分性質都是「局部的」，換言之：<math>X</math> 具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋 <math>X = \bigcup_i X_i</math>，每個 <math>X_i</math> 皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的，藉以區別對於其他[[格羅滕迪克拓撲]]的情形（如平展拓撲）。

考慮一概形 <math>X</math> 及一組仿射開子概形 <math>\mathrm{Spec} A_i</math> 組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為[[交換環]]的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的，若且唯若相應的環性質在[[局部化]]之下不變。

舉例明之，'''局部諾特概形'''是能由[[諾特環]]的[[交換環譜]]覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是'''既約概形'''，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。

'''分離概形'''並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是「局部分離」的，然而存在非分離的概形。

以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令 <math>X := \bigcup_i \mathrm{Spec} A_i</math> 為一概形之開覆蓋。

{| class="wikitable" style="text-align:left"
|-
! 概念 !! 定義 !! 例子 !! 反例
|-
! colspan="4" style="text-align:center;"| 與概形結構相關者
|-
! 不可約
|  若一連通概形 <math>X</math> （作為拓撲空間）不能表為兩個閉子集的聯集，除非其中一者為 <math>X</math>，則稱之為'''不可約概形'''。利用素理想與仿射概形的點的對應，可知連通概形 <math>X</math> 不可約若且唯若每個 <math>A_i</math> 恰有一個極小素理想。凡諾特概形皆可唯一表示為有限個極大不可約閉子集的聯集，這些閉子集稱為其'''不可約成份'''。
| style="width:15%" | [[仿射空間]]、[[射影空間]]
| style="width:15%" |''Spec'' ''k''[''x,y'']/(''xy'') = [[File:Reducible scheme.png|50px]]
|-
! 既約 
| 環 <math>A_i</math> 皆為既約環（即：無冪零元素），等價的說法是結構層 <math>\mathcal{O}_X</math> 沒有冪零的局部截面。代數幾何的一大進步是將代數簇推廣為概形，而概形可能是非既約的。
| [[代數簇]] （根據定義）
| ''k''[''x'']/(''x''<sup>2</sup>) 
|-
! 整
| 不可約的既約概形稱作'''整概形'''。等價的說法是：該概形可由整環的譜覆蓋。嚴格地說，這只在連通概形上才是局部性質。
| ''Spec k''[''t'']/''f'', ''f'' 為不可約多項式
| ''Spec A'' ⊕ ''B''. (''A'', ''B'' &ne; 0) 
|-
! 正規
| 若每個 <math>A_i</math> 都是整閉的，則稱 <math>X</math> 為正規概形。
| 正則概形、帶有理奇點的曲面
| 帶奇點的曲線
|-
! colspan="4" style="text-align:center;"| 與正則性相關者
|-
! 正則 
| 若每個 <math>A_i</math> 都是[[正則局部環]]，則稱 <math>X</math> 為'''正則概形'''。
| 域上的平滑代數簇
| ''Spec k''[''x,y'']/(''x''<sup>2</sup>+''x''<sup>3</sup>-''y''<sup>3</sup>)=[[File:Non regular scheme thumb.png|50px]]
|- 
! Cohen-Macaulay
| 若 <math>X</math> 的局部環皆是[[Cohen-Macaulay環]]，則稱 <math>X</math> 為 '''Cohen-Macaulay 概形'''。
| 正則概形、 ''Spec k''[''x,y'']/(''xy'')
| [[File:Non cohen macaulay scheme thumb.png|50px]]
|-
! colspan="4" style="text-align:center;"| 與「大小」相關者
|-
! 局部諾特 
| 每個 <math>A_i</math> 皆為諾特環。如果此外更要求該覆蓋為有限覆蓋，則該概形稱為'''諾特概形'''。
| 古典代數幾何的大部分對象
| <math>GL_\infty = \cup GL_n</math>
|-
! 鏈 
| 若 <math>X</math> 的任兩個不可約閉子概形 <math>Y \subset Z</math> 之間的極大鏈都有相同長度，則稱 <math>X</math> 為'''鏈概形'''，這在局部上對應於[[鏈環]]。整鏈概形的維度是局部性質。
| 代數幾何的大部分對象
| 見條目[[鏈環]]中的反例
|}

==態射之性質==
格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 <math>\mathrm{Spec} \Z</math>，所以任何概形可以唯一地理解為 <math>\mathrm{Spec} \Z</math>-概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。

以下令
:<math> f: Y \to X </math> 

為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋 <math>X = \bigcup U_i</math> 使得 <math>f</math> 在 <math>f^{-1}(U_i)</math> 上的限制帶有該性質，則 <math>f</math> 本身也帶該性質。

===與拓撲結構相關的概念===

若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。

若 <math>f(Y)</math> 在 <math>X</math> 中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。

===開浸入與閉浸入===
* '''開浸入'''：若 <math>f</math> 同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。
* '''閉浸入'''：若 <math>f</math> 同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃：<math>f: Y \to X</math> 是閉浸入，若且唯若 <math>f</math> 在拓撲空間的意義下是個閉浸入（<math>f: Y \to f(Y)</math> 是[[同胚]]，且 <math>f(Y)</math> 是 <math>X</math> 中的閉集），而且 <math>f^{\#}: \mathcal{O}_X \to f_* \mathcal{O}_Y</math> 是滿射。
* '''浸入'''：閉浸入與開浸入的合成。

開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。

===仿射態射與射影態射===
若 <math>X</math> 的仿射開子概形對 <math>f</math> 的逆像仍為仿射概形，則稱 <math>f</math> 為'''仿射態射'''。用較炫的說法：仿射態射係來自 <math>\mathcal{O}_X</math>-代數的整體 <math>\mathbf{Spec}</math> 構造，這是整體版本的[[交換環譜]]。例子包括[[向量叢]]。

'''射影態射'''的定義類似，此時對應到分次 <math>\mathcal{O}_X</math>-代數的整體 <math>\mathbf{Proj}</math> 構造，另一種等價的刻劃是： <math>f</math> 是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入 <math>Y \to \mathbb{P}^n_X := \mathbb{P}^n \times X</math> 及自然投影 <math>\mathbb{P}^n_X \to X</math>。

===分離態射與真態射===
{{main|分離態射}}
{{main|真態射}}

* '''分離態射'''：使得對角態射 <math>\Delta_{Y/X}: Y \to Y \times_X Y</math> 為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的[[豪斯多夫空間]]。
* '''真態射'''：即滿足下列性質的態射
** 分離態射
** 泛閉（即：任一閉浸入 <math>s: Z \to X</math> 在對 <math>f</math> 取纖維積後仍為閉浸入）
** 有限型

===有限型、擬有限與有限態射===
若 <math>X</math> 有一組仿射開覆蓋 <math>\mathrm{Spec}\, A_i</math>，使得態射 <math>f^{-1}(\mathrm{Spec}\,  A_i) \to \mathrm{Spec}\, A_i</math> 對應到 <math>\mathrm{Spec}\, B_i \to \mathrm{Spec}\, A_i</math>，使得 <math>B_i</math> 是有限 <math>A_i</math>-模，則稱此態射為'''有限態射'''。

若將上述條件改為：<math>f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) </math> 有一組仿射開覆蓋 <math>\mathrm{Spec}\, B_{ij}</math> ，使得 <math>\mathrm{Spec}\, B_{ij}</math> 是有限生成的 <math>\mathrm{Spec}\, A_i</math>-代數，則稱此態射為'''局部有限型態射'''；若上述開覆蓋 <math>f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i) = \bigcup_j \mathrm{Spec}\, B_{ij}</math> 可取為有限的，則稱之'''有限型態射'''。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。

若 <math>f</math> 的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為'''擬有限態射'''。有限態射皆為擬有限態射。

===平坦態射===
若 <math>f</math> 在結構層的莖上給出[[平坦模|平坦同態]]，則稱之為'''平坦態射'''。視此態射為一族以 <math>X</math> 的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。

===非分歧態射與平展態射===
{{main|平展態射}}
對一點 <math>y \in Y</math>，考慮相應的環同態：

: <math>f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}.</math>

令 <math>\mathfrak{m}</math> 為 <math>\mathcal{O}_{X,f(y)}</math> 的極大理想，並設

: <math>\mathfrak{n} := f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}</math>

若對所有 <math>y \in Y</math>，<math>\mathfrak{n}</math> 是 <math> \mathcal{O}_{Y,y}</math> 的極大理想，且導出的映射 <math>\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n}</math> 是有限、可分的[[代數擴張]]，則稱此態射為'''非分歧態射'''。

平坦的非分歧態射稱為'''[[平展態射]]'''，此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形，平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射，這正好是[[微分幾何]]中平展態射的定義。

===平滑態射===
{{main|平滑態射}}
'''平滑態射'''對應到[[拓撲學]]中的[[塞爾纖維化映射]]，在代數幾何中有多種定義：

* <math>f: Y \to X</math> 是有限型平坦態射，且 <math>\Omega^1_{Y/X}</math> 是局部自由 <math>\mathcal{O}_Y</math>-模，其秩為 <math>\dim Y - \dim X</math>。
* <math>f: Y \to X</math> 可分解為某個平展態射 <math>g: Y \to \mathbb{A}^n_X</math> 及自然投影 <math>p: \mathbb{A}^n_X \to X</math> 之合成。
* 形式判準：對任何交換環 <math>A</math> 及其理想 <math>I</math>，並滿足 <math>I^2 = (0)</math>，則 <math>\mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A), Y) \to \mathrm{Hom}_X (\mathrm{Spec}(A/I), Y)</math> 是滿射。

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20060430064927/http://math.mit.edu/~kedlaya/18.726/cribsheet.ps.gz Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes], Johan de Jong

==文獻==
*{{cite book
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1971
 | title = Éléments de géométrie algébrique
 | edition = 2nd edition
 | publisher = Springer-Verlag
 | location = Berlin; New York
 | language = fr
 | id = ISBN 978-3-540-05113-8
}}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1960
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 4
 | pages = 5-228
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_
 | access-date = 2022-01-03
 | archive-date = 2016-03-06
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160306015028/http://numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=pmihes_1960__4_
 | dead-url = yes
 }}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1961
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 8
 | pages = 5-222
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 | access-date = 2022-01-03
 | archive-date = 2017-01-12
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170112024503/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 | dead-url = yes
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*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1961
 | title = Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 11
 | pages = 5-167
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__11_
 | access-date = 2022-01-03
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 | dead-url = no
 }}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1963
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 17
 | pages = 5-91
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1963__17_
 | access-date = 2022-01-03
 | archive-date = 2016-04-19
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 | dead-url = no
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*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1964
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 20
 | pages = 5-259
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1964__20_
 | access-date = 2022-01-03
 | archive-date = 2016-03-04
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 | dead-url = no
 }}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1965
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 24
 | pages = 5-231
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1965__24_
 | access-date = 2022-01-03
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 }}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1966
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 28
 | pages = 5-255
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1966__28_
 | access-date = 2022-01-03
 | archive-date = 2016-03-03
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160303175319/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1966__28_
 | dead-url = no
 }}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1967
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 32
 | pages = 5-361
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
 | access-date = 2022-01-03
 | archive-date = 2016-03-03
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160303224653/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
 | dead-url = no
 }}

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