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'''極點分離'''（Pole splitting）是在[[放大器電路]]中進行[[頻率補償]]時，可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上[[电容器]]，希望將最低頻率的[[极点 (复分析)|极点]]（多半在輸入側）時，極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性，也會改善其[[階躍響應]]，但其速度會變慢<ref>其[[上昇時間]]會在低[[过冲]]以及低[[振鈴]]的條件下，儘可能的調快</ref><ref name=Toumazou>
{{cite book 
|author=C. Toumazu, Moschytz GS & Gilbert B (Editors)
|title=Trade-offs in analog circuit design: the designer's companion
|year= 2007 
|pages=272–275
|publisher=Springer
|location=New York/Berlin/Dordrecht
|isbn= 978-1-4020-7037-2 |url=https://books.google.com/?id=VoBIOvirkiMC&pg=PA272&lpg=PA272&dq=%22pole+splitting%22}}
</ref><ref name=Thompson>
{{cite book 
|author=Marc T. Thompson
|title=Intuitive analog circuit design: a problem-solving approach using design case studies
|year= 2006 
|pages=200
|publisher=Elsevier Newnes 
|location=Amsterdam
|isbn= 0-7506-7786-4 |url=https://books.google.com/?id=1Tyzjmf0DI8C&pg=PA200&dq=pole+splitting+analog+amplifier}}
</ref><ref name=Sansen>{{cite book
|author=Willy M. C. Sansen
|title=Analog design essentials
|year=2006
|pages=§097, p. 266 ''et seq''
|publisher=Springer
|location=New York; Berlin
|isbn=0-387-25746-2
|url=http://worldcat.org/isbn/0-387-25746-2
|access-date=2021-07-08
|archive-date=2009-05-30
|archive-url=https://web.archive.org/web/20090530180731/http://www.worldcat.org/isbn/0-387-25746-2
|dead-url=no
}}</ref>。
== 舉例 ==
[[File:Pole Splitting Example.png|thumbnail|250px|圖1：在輸入和輸出之間有補償電容器''C<sub>C</sub>''的運算放大器。運算放大器有輸入阻抗''R<sub>i</sub>''和輸出阻抗''R<sub>o</sub>'']]
[[File:Pole Splitting Example with Miller Transform.png|thumbnail|250px|圖2：用[[密勒定理]]轉換後的電路，將輔償電容轉換為輸入側的密勒電容，以及輸出側隨頻率變化的電流源]]

這些例子可以看出在圖1的運算放大器中加入電容器C<sub>C</sub>，有兩個目的：使得放大器最低頻的極點頻率再降低，並且將次低頻率的極點頻率提高<ref>雖然這個例子看起來很特別，相關的數學分析常用在電路設計中</ref>。圖1的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗''R<sub>i</sub>''以及電容''C<sub>i</sub>''，其時間常數是''C<sub>i</sub>'' ( ''R<sub>A</sub> || R<sub>i</sub>'' )。因為[[密勒定理]]的緣故，此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點，是因為負載電阻''R<sub>L</sub>''和電容''C<sub>L</sub>''，其時間常數是''C<sub>L</sub>'' ('' R<sub>o</sub> || R<sub>L</sub>'' )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器''C<sub>C</sub>''影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係，因此頻率會提高。

第一個目的，也就是將最低頻率極點的頻率調低，可以用類似[[密勒效应]]條目中的作法。依照[[密勒定理]]中所述的程序，圖1的電路可以轉換為圖2的電路，兩者在電氣上是等效的。將[[基爾霍夫電路定律]]應用在圖2的輸入側，可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓<math>\ v_a</math>的函數

::<math>

 \frac {v_i} {v_a}  =  \frac {R_i} {R_i+R_A} \frac {1} {1+j \omega (C_M+C_i) (R_A\|R_i)} \ ,</math>

其{{le|滾降|roll-off}}從頻率''f<sub>1</sub>''開始

::<math>

\begin{align} 
 f_{1} & =  \frac {1} {2 \pi (C_M+C_i)(R_A\|R_i) } \\
       & =  \frac {1} {2 \pi \tau_1} \ , \\
\end{align}

</math>

其中的<math>\tau_1</math>是最低極點的時間常數，比原始的時間常數要低，原始的時間常數對應''C<sub>C</sub>'' = 0 F時，是<math>\frac {1} {2 \pi C_i (R_A\|R_i)}</math>。

若考慮第二個目的，讓較高頻率的極點頻率再往上增加，需要看電路的輸出側，輸出側為整體增益增加了第二個因子，也有額外的頻率相依性，電壓<math>\ v_o</math>是由理想放大器的增益決定的

::<math>\  v_o = A_v v_i \ . </math>

利用這個關係，再在輸出側應用基爾霍夫電路定律，可以得到負載電壓<math>v_{\ell}</math>相對於運算放大器輸入電壓<math>\ v_{i}</math>的函數：

::<math> \frac {v_{\ell}} {v_i} = A_v \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!</math><math>\sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ . </math>

這個運算式可以結合輸入側電路的增益，得到整體增益是

::<math>

\frac {v_{\ell}} {v_a}  = \frac {v_{\ell}}{v_i} \frac {v_i} {v_a} 
</math>

:::<math>= A_v  \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\! </math><math> \sdot \frac {1} {1+j \omega (C_M+C_i) (R_A\|R_i)} \,\! </math><math> \sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ . </math>

增益公式中是一個單純的二階響應，有二個時間常數（其中也有一個零點，假設放大器增益''A<sub>v</sub>''很大的話，此零點只有在很高頻率才需要考慮，目前的討論可以假設分子是1）。不過，雖然放大器看似二極的行為，但這二個時間常數比上述的要複雜，因為密勒電容中有藏著一個頻率相依性，在較高頻時就需要考慮。假設輸出''R-C''乘積''C<sub>L</sub>'' ( ''R<sub>o</sub> || R<sub>L</sub>'' )，對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用[[密勒效应#密勒近似|密勒近似]]的公式，需要用精確值。根據[[密勒定理]]，密勒電容為

::<math>
\begin{align}
C_M & = C_C \left( 1 - \frac {v_{\ell}} {v_i} \right) \\
    & = C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L} {R_L+R_o} \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \right ) \ . \\
\end{align}
</math>

（針對一個正的密勒電容，''A<sub>v</sub>''為負值）。將此結果代入增益公式中，增益可以改寫如下：

::<math> \frac {v_{\ell}} {v_a} = A_v  \frac {R_i} {R_i+R_A} \frac {R_L} {R_L+R_o}  \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {D_{ \omega }} \ , </math>

其中''D<sub>ω</sub>''是ω的二次式：

::<math>D_{ \omega }\,\!</math> <math> = [1+j \omega (C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \,\!</math> <math> \sdot \ [ 1+j \omega C_i (R_A\|R_i)] \,\!</math> <math> \ +j \omega C_C (R_A\|R_i)\,\! </math> <math>\sdot \left(  1-A_v \frac {R_L} {R_L+R_O} \right) \,\!</math> <math>\ +(j \omega) ^2 C_C C_L (R_A\|R_i)  (R_O\|R_L) \ . </math>

上述的二次式可以改寫如下：

::<math>
\ D_{ \omega } =(1+j \omega { \tau}_1 )(1+j \omega { \tau}_2 ) </math>

:::<math> = 1 + j \omega ( {\tau}_1+{\tau}_2) ) +(j \omega )^2 \tau_1 \tau_2 \ , \ </math>

其中<math>\tau_1</math> and <math>\tau_2</math>是''D<sub>ω</sub>''公式中結合了電阻和電容的值。<ref>時間常數的和是jω線性項的係數，時間常數的積是(jω)<sup>2</sup>平方項的係數</ref>。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大，假設<math>\tau_1</math>是較大的時間常數，對應最低的極點，另外再假設<math>\tau_1</math> >> <math>\tau_2</math>（若要有良好的階躍響應，會需要<math>\tau_1</math> >> <math>\tau_2</math>，可以看以下的[[#如何選擇CC|如何選擇C<sub>C</sub>]]章節）

在放大器最低極點還低的頻段，ω的線性項比二次項影響更大，因此''D<sub>ω</sub>''的低頻特性為：
::<math>
\begin{align}
\ D_{ \omega } & =  1+ j \omega [(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \\
               & =  1+j \omega ( \tau_1 + \tau_2) \approx 1 + j \omega \tau_1 \ , \ \\
\end{align}
</math>

其中的''C<sub>M</sub>''會用[[密勒效应]]重新定義為
{{anchor|Miller}}
::<math> C_M= C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L}{R_L+R_o} \right) \ ,</math>

就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下，假設<math>\tau_1</math> >> <math>\tau_2</math>，可以確定<math>\tau_1</math>。因為''C<sub>M</sub>''很大，時間常數<math>{\tau}_1</math>遠大於其原始值''C<sub>i</sub>'' ( ''R<sub>A</sub> || R<sub>i</sub>'' ).<ref><math>\tau_1</math>的公式和一開始''f<sub>1</sub>''所得的(  ''C<sub>M</sub>+C<sub>i</sub>'' ) ( ''R<sub>A</sub>'' || ''R<sub>i</sub>''有些不同，但假設負載電容沒有大到會控制低頻響應，其差異不大</ref>

在高頻時平方項影響較小，假設上述有關<math>\tau_1</math> 的結果有效，對應較高頻率的第二個時間常數，可以由''D<sub>ω</sub>''的二次項求得，為

::<math> \tau_2 = \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1} \approx \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1 + \tau_2}\ . </math>

將平方項係數的公式代到<math>\tau_1 \tau_2 </math>，再加上 <math>\tau_1</math>的估計值，可以得到第二個極點的估計位置：

::<math>
\begin{align}
 \tau_2 & = \frac {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i)  (R_O\|R_L) } {(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)}  \\
        & \approx  \frac {C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C} {C_M} (R_O\|R_L)\ ,  \\
\end{align}
</math>

因為''C<sub>M</sub>''很大，<math>\tau_2</math>會比原來的值''C<sub>L</sub>'' ( ''R<sub>o</sub>'' || ''R<sub>L</sub>'' )要小，也就是說，較高頻率的極點其頻率會因為''C<sub>C</sub>''而提高.<ref>順帶提一下，高頻極點的頻率越高，在實際放大器中其他極點影響的可能性就越大</ref>。

簡單來說，導入''C<sub>C</sub>''降低低頻極點，提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。

=== 如何選擇C<sub>C</sub> ===
[[File:Two-pole Bode magnitude plot.png|thumbnail|300px|圖3：二極點放大器設計的理想[[波德圖]]。第一個極點在''f<sub>1</sub>''，增益以20 dB / decade的斜率下降，第二點極點在''f<sub>2</sub>'，增益以40 dB / decade的斜率下降]]
在一般的應用中，傳統放大器設計（稱為「主極點」或「單極點補償」）會要求放大器增益在轉角頻率處以20&nbsp;dB/decade的斜率下降，降到0&nbsp;dB增益，甚至更低<ref name=Sedra>{{cite book
|author=A.S. Sedra and K.C. Smith
|title=Microelectronic circuits
|year=2004
|pages=849 and Example 8.6, p. 853
|publisher=Oxford University Press
|edition=Fifth
|location=New York
|isbn=0-19-514251-9
|url=http://worldcat.org/isbn/0-19-514251-9
|access-date=2021-08-20
|archive-date=2009-02-04
|archive-url=https://web.archive.org/web/20090204145937/http://www.worldcat.org/isbn/0-19-514251-9
|dead-url=no
}}</ref>
<ref name=Huijsing>
{{cite book 
|author=Huijsing, Johan H.
|title=Operational amplifiers: theory and design
|year= 2001 
|pages=§6.2, pp.205–206 and Figure 6.2.1
|publisher=Kluwer Academic
|location=Boston, MA
|isbn= 0-7923-7284-0 
|url=https://books.google.com/?id=tiuV_agzk_EC&pg=PA102&dq=isbn:0792372840#PPA206,M1}}
</ref>。在此設計下，放大器會穩定，而且有近乎最佳的[[階躍響應]]，類似增益為1的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法<ref>Feucht, Dennis: [http://www.analogzone.com/col_0719.pdf   ''Two-pole compensation''] {{Wayback|url=http://www.analogzone.com/col_0719.pdf |date=20210820142839 }}</ref><ref name=Self>
{{cite book 
|author=Self, Douglas
|title=Audio power amplifier design handbook
|year= 2006 
|pages=191–193
|publisher=Newnes
|location=Oxford
|isbn= 0-7506-8072-5 
|url=https://books.google.com/?id=BRQZppvawWwC&pg=PA191&lpg=PA191&dq=%22two+pole+compensation%22#PPA191,M1}}
</ref>。

在設計中選擇''f''<sub>2</sub>的方式如圖3所示。在最低極點''f''<sub>1</sub>處，波德增益圖開始以20&nbsp;dB/decade的斜率下降。其目的是要維持20&nbsp;dB/decade的下降斜率，一直到0dB為止，並且取20 log<sub>10</sub> ''A<sub>v</sub>''增益（以dB）表示的下降量，除以希望的頻率變化（在log頻率尺度上<ref>也就是說，frequency以是十的幂次為單位繪圖，例如1, 10, 10<sup>2</sup>等etc''</ref>），( log<sub>10</sub> ''f''<sub>2</sub> &nbsp;&minus;&nbsp;log<sub>10</sub> ''f''<sub>1</sub> ) = log<sub>10</sub> ( ''f''<sub>2</sub> / ''f''<sub>1</sub> ），就是這段的斜率

::斜率  <math>=20  \frac {\mathrm{log_{10}} ( A_v )}  {\mathrm{log_{10}}  (f_2 / f_1 ) } \ ,</math>

若''f<sub>2</sub> = A<sub>v</sub> f<sub>1</sub>''，上述的值會是是20&nbsp;dB/decade。若''f<sub>2</sub>''沒有這麼大，波德圖的第二個轉折會發生在增益降到0&nbsp;dB之前，這會讓穩定性變差，而且階躍響應也會不好。

圖3也說明了正確的增益和頻率的關係，第二個極點至少要是第一個極點的''A<sub>v</sub>''倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的[[電壓分配定則]]而減少一點，因此要修正輸入和輸出電壓分配下的''A<sub>v</sub>''，使用良好階躍響應下的「極點—比例條件」（pole-ratio condition）可得：

::<math> \frac {\tau_1} {\tau_2} \approx A_v  \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ , </math>

[[File:Compensation capacitance.png|thumbnail|350px|圖4：用[[Microsoft Excel]]繪出低頻率''C<sub>M</sub>''的密勒電容''C<sub>M</sub>''（上方）以及補償電容''C<sub>C</sub>''（下方） 和增益的函數關係，電容的單位是pF]]

利用上述時間常數的近似，可以得到

::<math> \frac {\tau_1} {\tau_2} \approx \frac {(\tau_1 +\tau_2 ) ^2} {\tau_1 \tau_2} \approx A_v  \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,</math>

或

::<math> \frac  {[(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)]^2} {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i)  (R_O\|R_L) }  \,\! </math>   <math>{\color{White}\sdot}  = A_v  \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,</math>

這是一個可以求得''C<sub>C</sub>''近似值的二次式。圖4是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點－增益條件（在圖中低增益時的補償電容器''C<sub>C</sub>''很小），但增益增加時，因為需要的極點增益快速上昇，補償電容器就越來越重要（在圖4時，補償電容器隨頻率迅速的增加）。若增益更大時，因為''C<sub>C</sub>''的密勒放大作用，會隨著增益而增加（可以參考密勒方程式），因此必要的''C<sub>C</sub>''會隨著增益增加而減少。

若考慮設計的不確定性，保留較多的安全預度，''A<sub>v</sub>''會設計成等式右邊''A<sub>v</sub>''值的兩倍或三倍<ref>二極點放大器設計中，係數2會得到最大平坦（maximally flat）或是[[巴特沃斯滤波器]]設計。不過實際的放大器不止二個極點，有必要讓係數大於2</ref>。可以參考Sansen<ref name=Sansen/>或Huijsing<ref name=Huijsing/>的參考資料<!-- and article on [[階躍響應]].-->

===迴轉率===
上述都是小信號分析。不過若用在大信號時，因為補償電容器需要充電和放電，會對放大器的{{le|迴轉率|slew rate}}有不良的影響。而且因為需要為''C<sub>C</sub>''充電，會限制斜坡函數輸入下的響應。

== 相關條目 ==
* [[頻率補償]]
* [[密勒效应]]
* [[共源极]]
* [[波德圖]]
* [[步階響應]]
* {{le|CMOS放大器|CMOS Amplifiers}}

== 參考資料和腳註 ==
{{reflist}}

[[Category:模拟电路]]
[[Category:電子設計]]