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[[點集拓撲]]上，'''極端不連通空間'''是一種[[拓撲空間]]，它的任何[[開集]]的[[閉包 (拓撲學)|閉包]]是開集。在某些[[分離公理]]假設下這定義了比[[完全不連通空間]]及各種“0維條件”更強的不連通性。一個極端不連通的[[緊緻]][[豪斯多夫空間]]，有時會稱為'''Stonean空間'''。（注意與Stone空間的分別：Stone空間是[[完全不連通空間|完全不連通]]的緊緻豪斯多夫空間。）[[Andrew Gleason]]的一條定理指緊緻豪斯多夫空間[[範疇 (數學)|範疇]]的[[投射對象]]正是極端不連通的緊緻豪斯多夫空間。在Stone空間和布爾代數之間有對偶性下，Stonean空間恰好對應[[完備布爾代數]]。

==定義==
對於[[拓撲空間]]以下條件互為等價，滿足此條件的拓撲空間稱為'''極端不連通空間'''。<ref name="Willard">{{cite book
|last1=Willard
|first1=Stephen
|title=General topology
|language=en
|series=Addison-Wesley Series in Mathematics
|publisher=Addison-Wesley Publishing Company
|location=Reading, Massachusetts, Menlo Park, California, London, Don Mills, Ontario
|date=1970
|mr=0264581
|zbl=0205.26601
}}</ref>{{rp|106–107, Exercise 15G, 1}}
* 任何[[開集]]的[[閉包 (拓撲學)|閉包]]是開集。
* 任何[[閉集]]的[[內部]]是閉集。
* 任何兩個[[不相交]]的開集，其閉包不相交。
* 任何兩個不相交的開集是函數分離的。
* 任何開集上的<math>[0,1]</math>值連續函數可擴張到整個空間上。

==例子==
以下是極端不連通空間：
*[[離散空間]]
*離散空間的[[斯通－切赫緊化]]
*[[交換馮·諾伊曼代數]]的譜

==性質==
=== 包含關係 ===
任何[[離散空間]]是極端不連通空間。極端不連通的豪斯多夫空間是[[完全不連通空間]]。但完全不連通的豪斯多夫空間未必是極端不連通的，例如[[有理數]]集（予以[[實數線]]的[[子空間拓撲]]）。極端不連通的豪斯多夫空間的收斂序列只有最終常數列。因此，極端不連通的[[第一可數空間|第一可數]]豪斯多夫空間只有離散空間。所有極端不連通[[正則空間]]是[[完備正則空間]]。對於任意極端不連通[[正規空間|正規]]豪斯多夫空間<math>X</math>，有
:<math>\dim X=0</math>
其中<math>\dim</math>是[[拓撲維數]]。<ref name="Engelking" />{{rp|328, Theorem 6.2.25}}這是比<math>\operatorname{ind}X=0</math>或者[[完全不連通空間]]強的條件。

=== 關於諸運算的封閉 ===
極端不連通空間的開集和[[稠密集]]是極端不連通空間。極端不連通空間的閉集不一定是極端不連通的。極端不連通[[吉洪諾夫空間]]的[[斯通-切赫緊化]]是極端不連通空間。<ref name="Engelking">{{cite book
|first1=Ryszard
|last1=Engelking
|title=General topology
|language=en
|edition=Revised and completed edition
|series=Sigma Series in Pure Mathematics
|volume=6
|publisher=Heldermann Verlag
|location=Berlin
|date=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|328, Theorem 6.2.27}}特別地，離散空間的斯通-切赫緊化是極端不連通空間。極端不連通空間族的[[積空間]]不一定是極端不連通的。

=== 范疇論 ===
設<math>X</math>是[[緊緻空間|緊緻]][[豪斯多夫空間]]，則以下條件等價。
* <math>X</math>是極端不連通空間。
* <math>X</math>是緊緻豪斯多夫空間和[[連續函數]]的範疇<math>\operatorname{CompHaus}</math>中的投射對象。<ref name="Gleason">{{cite journal
|last=Gleason
|first=Andrew M.
|title=Projective topological spaces
|url=https://archive.org/details/sim_illinois-journal-of-mathematics_1958_2/page/482
|language=en
|journal=Illinois Journal of Mathematics
|volume=2
|pp=482–489
|date=1958
|issn=0019-2082
|doi=10.1215/ijm/1255454110
|mr=0121775
|zbl=0083.17401
}}</ref>{{rp|484, Theorem 2.5}}
* <math>X</math>與一個[[完備佈爾代數]]的[[斯通空間]]表示[[同胚]]。<ref name="Gleason" />{{rp|485}}

設<math>X</math>是[[局部緊緻空間|局部緊緻]]豪斯多夫空間，則以下條件等價。<ref name="Gleason" />{{rp|488, Theorem 4.2}}
* <math>X</math>是極端不連通空間。
* <math>X</math>是局部緊緻豪斯多夫空間和[[常態映射]]的範疇中的投射對象。

==參考文獻==
{{reflist}}
*{{springer|id=E/e037240|title=Extremally-disconnected space|author=A. V. Arkhangelskii}}
*{{cite book| last = Johnstone
  | first = Peter T
  | title = Stone spaces
  | publisher = [[Cambridge University Press|CUP]]
  | date = 1982
  | isbn =0-521-23893-5}}

[[分類:拓撲空間性質]]