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{{about|抽象代數中的概念|線性代數中旳類似概念|極小多項式 (線性代數)}}
在[[抽象代數]]中，一個[[域 (數學)|域]]上的[[域扩张#代数元与超越元|代數元]] <math>\alpha</math> 之'''極小多項式'''（或'''最小多項式'''）是滿足 <math>P(\alpha) = 0</math> 的最低次首一[[多項式]](多項式內最高次項之係數為1) <math>P</math>。此概念對[[線性代數]]與[[代數擴張]]的研究極有助益。

==形式定義==
設 <math>k</math> 為一个域，<math>A</math> 為有限維 <math>k</math>-[[交換環上的代數|代數]]。對任一元素 <math>\alpha \in A</math>，集合 <math>\{1, \alpha, \alpha^2, \ldots \}</math> 張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：
: <math>\sum_{i=0}^n c_i \alpha^i = 0 \quad (c_i \in k)</math>

可以假設 <math>c_n=1</math>，此時多項式 <math>f(X) := \sum_{i=0}^n c_i X^i</math> 滿足 <math>f(\alpha)=0</math>。根據[[多項式環]]裡的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為 <math>\alpha</math> 的'''極小多項式'''。

由此可導出極小多項式的次數等於 <math>\dim_k k[\alpha]</math>，而且 <math>\alpha</math> 可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零，此時 <math>\alpha^{-1}</math> 可以表成 <math>\alpha</math> 的多項式。

==矩陣的極小多項式==

考慮所有 <math>n \times n</math> [[矩陣]]構成的 <math>k</math>-代數 <math>M_n(k)</math>，由於 <math>\dim M_n(k) = n^2</math>，此時可定義一個<math>n \times n</math> 矩陣之極小多項式，而且其次數至多為 <math>n^2</math>；事實上，根據[[凱萊-哈密頓定理]]，可知其次數至多為 <math>n</math>，且其根屬於該矩陣的[[特徵值]]集。

極小多項式是矩陣分類理論（[[若尔当标准型]]、[[有理標準形]]）的關鍵。

==極小多項式與代數擴張==
設 <math>k'</math> 為 <math>k</math> 的[[有限擴張]]，此時可視 <math>k'</math> 為有限維 <math>k</math>-代數。根據[[体 (数学)|域]]的性質，極小多項式必為素多項式。元素的[[跡數]]及[[範數]]等不變量可以從極小多項式的係數讀出。

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[[Category:域論|J]]
[[Category:線性代數|J]]
[[Category:多项式|J]]