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在[[數學]]的[[緊性|緊]][[李群]]及[[約化群|約化代數群]]理論中，'''極大子環'''是其中一類特別的子群，在這些群的分類及表示理論中扮演要角。

==緊李群==
李群<math>G</math>中的子環（面）是一個連通緊阿貝爾李子群，這類子群必然同構於環面<math>T^n</math>。極大環面是其中維度最大者。非緊子群未必有極大環面（例如<math>\mathbb{R}^n</math>）。

對於緊李群，極大子環對應到[[李代數]]中的極大阿貝爾子代數。任意子環皆包含於某個極大子環，任兩個極大子環彼此共軛。極大子環的維度稱為該群的'''秩'''。

==約化群==
設<math>G</math>為<math>S</math>上的[[群概形]]，若存在[[平展拓撲]]中的覆蓋<math>S' \to S</math>，使得<math>G_{S'} := G \times_S S'</math>同構於<math>\mathbb{G}_{m,S'} := \mathbb{G}_m \times S'</math>，其中<math>\mathbb{G}_m := \mathrm{Spec}\mathbb{Z}[T,T^{-1}]</math>配上自然的群結構，則稱<math>G</math>是'''環面'''。若<math>G \simeq \mathbb{G}_{m,S}</math>，稱<math>G</math>為'''可對角化'''或'''子環（面）'''。

今設<math>G \to S</math>為平滑仿射態射。較常見的情形是<math>S = \mathrm{Spec} K</math>，其中<math>K</math>是域。此時極大子環的定義同於李群。對於一般的基<math>S</math>，子群概形<math>T \subset G</math>是極大子環意謂著：對每個幾何點<math>\bar{s} \to S</math>，其幾何纖維<math>T_{\bar{s}} \to G_{\bar{s}}</math>是前述意義下的極大子環。在平展拓撲下，極大子環「局部上」兩兩共軛。

對於可簡約<math>S</math>-代數群<math>G</math>，極大子環對<math>S</math>局部上存在。透過極大子環，可以定義[[根資料]]，繼而開展約化群的分類理論。

==文獻==
* Anthony W. Knapp, ''Lie Groups Beyond an Introduction''（2004）, Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
* Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. ''Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes'' -（SGA 3） - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151)  (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, xv+564. 
* Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. ''Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes'' -（SGA 3） - vol. 2 (Lecture notes in mathematics 152)  (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, ix+654. 
* Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. ''Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes'' -（SGA 3） - vol. 3 (Lecture notes in mathematics 153)  (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, vii+529. 

[[Category:李群|J]]
[[Category:代數群|J]]
[[Category:李群表示论]]