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[[數學]]上，[[共形映射|共形]]和[[擬共形映射]]的理論中，一個[[曲線]]族<math>\Gamma</math>的'''極值長度'''是<math>\Gamma</math>的一個共形不變量。確切來說，設
<math>D</math>是[[複平面]]中的開集，<math>\Gamma</math>是<math>D</math>中的路徑族，<math>f:D\to D'</math>是一個共形映射。那麼<math>\Gamma</math>的極值長度等於 <math>\Gamma</math>在<math> f</math>下的[[像]]的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

==極值長度的定義==
設<math>D</math>是[[複平面]]中的開集。設<math>\Gamma</math>是在<math>D</math>中的[[可求長曲線]]族。<math>\rho:D\to [0,\infty]</math>是[[博雷爾可測函數]]。對任意可求長曲線<math>\gamma</math>，設
:<math>L_\rho(\gamma):=\int_\gamma \rho\,|dz|</math>
表示'''<math>\gamma</math>的<math>\rho</math>長度'''，其中<math>|dz|</math>表示[[歐氏距離|歐氏]]線元。（可能有<math>L_\rho(\gamma)=\infty</math>。）又設
:<math>L_\rho(\Gamma):=\inf_{\gamma\in\Gamma}L_\rho(\gamma).</math>

<math>\rho</math>的'''面積'''定義為
:<math>A(\rho):=\int_D \rho^2\,dx\,dy,</math>
而<math>\Gamma</math>的'''極值長度'''定義為
:<math>EL(\Gamma):= \sup_\rho \frac{L_\rho(\Gamma)^2}{A(\rho)}\,,</math>
其中最小上界是取自所有滿足<math>0<A(\rho)<\infty</math>的博雷爾可測函數<math>\rho:D\to[0,\infty]</math>。若<math>\Gamma</math>包含了不可求長曲線，將<math>\Gamma</math>中可求長曲線的子集記為
<math>\Gamma_0</math>，則
<math>EL(\Gamma)</math>定義為<math>EL(\Gamma_0)</math>。

<math>\Gamma</math>的'''模'''是<math>1/EL(\Gamma)</math>。

<math>\overline D</math>中的兩個集合在<math>D</math>中的'''極值距離'''，是在<math>D</math>中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。

==參考==
*{{Citation | author1-link=Lars Ahlfors | last1=Ahlfors | first1=Lars V. | title=Conformal invariants: topics in geometric function theory | publisher=McGraw-Hill Book Co. | location=New York | mr=0357743 | year=1973}}

[[分類:共形映射]]
[[分類:位勢論]]