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[[File:Ellipsoide.svg|400px|thumb|方程<math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1</math>表示的例子椭球：<br />
[[球面]] (上图, a=b=c=4),<br />
[[类球面]] (下左, a=b=5, c=3),<br />
三轴椭球面 (下右, a=4.5, b=6, c=3)]]
'''椭球'''是一种[[二次曲面]]，是[[椭圆]]在[[三维空间]]的推广。

==标准方程==
椭球在''xyz''-[[笛卡儿坐标系]]中的方程式：

:<math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1</math>

其中''a''和''b''是赤道半径（沿着''x''和''y''轴），''c''是极半径（沿着''z''轴）。这三个数都是固定的[[正数|正]][[实数]]，决定了椭球的形状。

如果三个半径都是相等的，那么就是一个[[球 (数学)|球]]；如果有两个半径是相等的，则是一个[[类球面]]。

*<math>a=b=c\,\!</math> ：'''[[球 (数学)|球]]'''；
*<math>a=b>c\,\!</math> ：'''[[扁球面]]'''（类似盤状）；
*<math>a=b<c\,\!</math> ：'''[[长球面]]'''（类似條状）；
*<math>a \neq b,b \neq c,c \neq a\!</math> ：'''不等边'''椭球（“三条边都不相等”）。

点(''a'',0,0)、(0,''b'',0)和(0,0,''c'')都在曲面上。从原点到这三个点的线段，称为椭球的'''半主轴'''。它们与[[椭圆]]的[[半长轴]]和[[半短轴]]相对应。

== 参数化 ==
使用[[球坐标系]]，其中<math>{\color{white}+}\!\!\!\theta{\color{white}'}\,\!</math>是'''[[天顶]]'''角，<math>{\color{white}+}\!\!\!\varphi{\color{white}\!\!\!-}\,\!</math>是'''[[方位角]]'''，则椭球可以表示为以下的参数形式：

::::<math>\begin{align}
x&=a\,\sin \theta\cos\varphi;\!{\color{white}|}\\
y&=b\,\sin \theta\sin \varphi;\\
z&=c\,\cos\theta;\end{align}\,\!</math>
::<math>\begin{matrix}0\leq\theta\leq{180}^\circ;
\quad{0}\leq\varphi\leq{360}^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!</math>

[[File:Elliko-sk.svg|thumb|right|250px|以扁椭球的XZ截面为例，这里的高度角是t，目标点是P，t不是点P的[[纬度#大地纬度和地心纬度|大地纬度]]，也不是它的[[纬度#大地纬度和地心纬度|地心纬度]]，由于此参数定义而被[[阿瑟·凱萊]]称为“参数纬度”<ref name=cayley>{{cite journal|first=A. |last=Cayley |date=1870 |title=On the geodesic lines on an oblate spheroid |journal=Phil. Mag. |volume=40 |issue=4th ser. |pages=329–340}}</ref>
。]]
使用[[地理坐标系]]，其中<math>\beta\,\!</math>是一点的'''参数[[纬度]]'''，<math>{\color{white}+}\!\!\!\lambda{\color{white}'}\,\!</math>是该点的'''[[经度]]'''：

::::<math>\begin{align}
x&=a\,\cos\beta\cos\lambda;\!{\color{white}|}\\
y&=b\,\cos\beta\sin\lambda;\\
z&=c\,\sin\beta;\end{align}\,\!</math>
::<math>\begin{matrix}-90^\circ\leq\beta\leq 90^\circ;
\quad-180^\circ\leq\lambda\leq 180^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!</math>
:::<small>（注意，当<math>\scriptstyle{{\color{white}|}\beta=\pm{90}^\circ}{\color{white}|}\,\!</math>时，也就是在极点时，这个参数不是一一对应的）</small>
==体积和表面积==
===体积===
椭球的[[体积]]由以下公式给出：
:<math>\frac{4}{3}\pi abc.\,\!</math>
注意，当三个半径都相等时，这个公式便化为球的体积；两个半径相等时，便化为[[扁球面]]或[[长球面]]的体积。

===表面积===
椭球的[[表面积]]由以下公式给出：
:<math>S=2\pi\left[c^2+b\sqrt{a^2-c^2}F\left(o\!\varepsilon,\frac{b^2-c^2}{b^2\sin^2 o\!\varepsilon}\right)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}E\left(o\!\varepsilon,\frac{b^2-c^2}{b^2\sin^2 o\!\varepsilon}\right)\right],\,\!</math>
其中
:<math>o\!\varepsilon=\arccos \frac{c}{a} \;</math>（扁球面）或<math>\arccos \frac{a}{c}\;</math>（长球面），是'''[[角离心率]]'''；<math>F(x,k )\,\!</math>、<math>E(x,k)\,\!</math>是第一类和第二类不完全[[椭圆积分]]。

与球的表面积不同，椭球的表面积一般不能用[[初等函数]]来表示。

一个近似公式为：

:: <math>S\approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{\frac{1}{p}}.\,\!</math>

其中<math>p \approx 1.6075\,</math>。这样[[相对误差]]最多为<math>1.061\,</math>%（Knud Thomsen公式）；<math>p= \frac{8}{5} = 1.6\,</math>的值对于接近于球的椭球较为适宜，其相对误差最多为<math>1.178\,</math>%（David W. Cantrell公式）。

对于<math>a=b\,</math>的情况，有一个精确的公式：

:&nbsp;扁球面：<math>S=2\pi\!\left(a^2+c^2\frac{\operatorname{arctanh} \sin o\!\varepsilon}{\sin o\!\varepsilon}\right);\,\!</math>
:长球面：<math>S=2\pi\!\left(a^2+c^2\frac{o\!\varepsilon}{\tan o\!\varepsilon}\right);\,\!</math>

<math>c\,</math>比<math>a\,</math>和<math>b\,</math>都小很多时，表面积近似等于<math>2\pi ab.\,\!</math>。

== 椭球与平面相交的横截面 ==
[[File:Ellipsoid cut by plane.gif|thumb|示意图：一个三轴椭球和平行于XY平面的水平平面相交。]]
椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示，椭圆的两个直径 <math>{d_2}</math> 与 <math>{d_1}</math> 可表示为<ref>{{Cite journal|last=Wu|first=Jianguo|date=2018|title=Inferring 3D Ellipsoids based on Cross-Sectional Images with Applications to Porosity Control of Additive Manufacturing|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/24725854.2017.1419316|journal=IISE Transactions|volume=|pages=|via=|access-date=2018-03-16|archive-date=2021-08-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20210805025421/https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/24725854.2017.1419316|dead-url=no}}</ref>

<math>{d_{1,2}^2}={{8(1-{z_c^2\over{\sum_{i=1}^3r_i^2\sin^2p_i}})}
\over{\sum_{i=1}^3{\cos^2p_i\over{r_i^2}}}\pm\sqrt{(\sum_{i=1}^3{\cos^2p_i\over{r_i^2}})^2-4(\sum_{i=1}^3r_i^2\sin^2p_i)/r_1^2r_2^2r_3^2}}</math>

== 线性变换 ==
如果我们对球使用可逆的[[线性变换]]，便可以得到一个椭球；它可以用[[旋转]]的方法来化成以上标准的形式，这是[[谱定理]]的结果。如果该线性变换用一个[[对称矩阵|对称的3乘3矩阵]]来表示的话，那么这个矩阵的[[特征向量]]就是[[正交]]的（根据谱定理），它表示了轴的方向：而半轴的长度则由特征值给出。

椭球与[[平面 (数学)|平面]]的[[交集]]是[[空集]]、一个点，或一个椭圆。

我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球，并使用谱定理来得出一个标准方程。

== 质量性质 ==
均匀密度的椭球的[[质量]]为：
:<math>m = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi abc\,\!</math>
其中<math>\rho\,\!</math>是密度。

均匀密度的椭球的[[转动惯量]]为：

:<math>I_{\mathrm{xx}} = m {b^2+c^2 \over 5}</math>
:<math>I_{\mathrm{yy}} = m {c^2+a^2 \over 5}</math>
:<math>I_{\mathrm{zz}} = m {a^2+b^2 \over 5}</math>

其中<math>I_{\mathrm{xx}}\,\!</math>、<math>I_{\mathrm{yy}}\,\!</math>和<math>I_{\mathrm{zz}}\,\!</math>分别是关于''x''、''y''和''z''轴的转动惯量。[[惯性积]]为零。

容易知道，如果a=b=c，那么上述公式便化为均匀密度的球的转动惯量。

反过来，如果知道了一个任意刚体的质量和主惯性矩，那么就可以构造出一个等价的均匀密度的椭球，使用以下特征：

:<math>a = \sqrt{{5 \over 2} {I_{\mathrm{yy}}+I_{\mathrm{zz}}-I_{\mathrm{xx}} \over m}}</math>
:<math>b = \sqrt{{5 \over 2} {I_{\mathrm{zz}}+I_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{yy}} \over m}}</math>
:<math>c = \sqrt{{5 \over 2} {I_{\mathrm{xx}}+I_{\mathrm{yy}}-I_{\mathrm{zz}} \over m}}</math>
:<math>\rho =  \frac{3}{4} {m \over \pi abc}\!</math>
 
== 鸡蛋形 ==
[[鸡蛋]]的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成，共用一个[[旋转对称]]的主轴。<ref>[http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm Egg Curves] {{Wayback|url=http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm |date=20201108144917 }} by Jürgen Köller.</ref>虽然''鸡蛋形''通常意味着在赤道平面没有[[反射对称]]，它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见[[鵝蛋形]]。

==引用==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/Ellipsoid/ 椭球] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/Ellipsoid/ |date=20191230010215 }} by Jeff Bryant, [[The Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://mathworld.wolfram.com/Ellipsoid.html 椭球] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Ellipsoid.html |date=20210126133815 }}和[http://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html 二次曲面] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html |date=20210203090344 }}, [[MathWorld]].

== 参见 ==
*[[抛物面]]
*[[双曲面]]
*[[橢球坐標系]]
*[[類球面]]

== 外部連結 ==
*[https://web.archive.org/web/20070929094100/http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/qs/quadric-surfaces_en.html 椭球的Javascript 维模型]

{{幾何術語}}

[[Category:曲面|S]]
[[Category:二次曲面|T]]