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[[File:Laplace's equation on an annulus.jpg|thumb|300px|定义在[[环形]]上的拉普拉斯方程上的一个解。[[拉普拉斯算子]]是椭圆算子的最有名的一个例子。]]

'''椭圆算子'''是[[数学]][[偏微分方程]]理论中的一类[[微分算子]]，它是[[拉普拉斯算子]]的泛化。'''椭圆算子'''定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的[[特征线法|特征]]方向。

椭圆算子是典型的[[位势论]]，并且它们频繁地出现在[[静电学]]和[[连续介质力学]]中。[[次椭圆型算子|椭圆算子的正则性]]意味着它的解通常是[[光滑函数]]（如果算子的系数是光滑的）。{{le|双曲偏微分方程|Hyperbolic partial differential equation|双曲}}方程和[[抛物偏微分方程|抛物]]方程的稳定解通常要求解椭圆方程。

==定义==
<math>\mathbb{R}^n</math>域<math>\Omega</math>上的线性微分算子<math>L</math>

<math>Lu = \sum_{|\alpha|\leq m} a_{\alpha} {\partial}^{\alpha} u</math>

被称为椭圆算子，如果对任意<math>x\in \Omega</math>，任意非零<math>\xi \in \mathbb{R}^n</math>满足

<math>\sum_{|\alpha| = m} a_{\alpha} {\xi}^{\alpha} \neq 0</math>。

在许多应用中仅满足上述条件还远远不够，当<math>m = 2k</math>时可用一致椭圆条件代替它：
<math>(-1)^k \sum_{|\alpha|= 2k} a_{\alpha}(x) \xi^{\alpha} > C|\xi|^{2k},</math>
其中C是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。

非线性算子

<math>L(u) = F(x, u, (\partial^{\alpha} u))_{|\alpha|\leq 2k}</math>

是椭圆算子如果它关于<math>u</math>的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。

== 实例：二阶算子 ==

为了说明问题，我们选取二阶偏微分算子形式，

:<math> P\phi = \sum_{k,j} a_{k j}  D_k D_j \phi  + \sum_\ell b_\ell D_{\ell}\phi  +c \phi </math>

其中<math> D_k = \frac{1}{\sqrt{-1}} \partial_{x_k} </math>.如果满足高阶项系数矩阵''x''

:<math> \begin{bmatrix} a_{1 1}(x)& a_{1 2}(x)& \cdots & a_{1 n}(x)\\ a_{2 1}(x)& a_{2 2}(x)& \cdots & a_{2 n}(x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}(x)& a_{n 2}(x)& \cdots & a_{n n}(x)  \end{bmatrix}</math>

为[[正定]]实系数[[对称矩阵]]，则这样的算子叫做椭圆算子。

== 参看 ==
{{Portal|数学}}
* [[抛物偏微分方程]]
* [[外尔引理]]

[[Category:微分算子]]
[[Category:橢圓型偏微分方程]]