查看“︁棣莫弗公式”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:欧拉; zh-tw:尤拉; zh-hk:歐拉;
}}
[[File:3rd roots of unity.svg|thumb|复平面上的立方根等於1.]]'''棣莫弗公式'''（英語：de Moivre's formula）是一個關於[[复数 (数学)|複數]]和[[三角函数|三角函數]]的公式，命名自[[法國]]數學家[[亞伯拉罕·棣莫弗|亞伯拉罕·棣美弗]]（1667年－1754年）。其內容為對任意实数<math>x</math>和[[整数|整數]]<math>n</math>，下列性質成立：
:<math>( \cos (x) + i \sin (x) )^n = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>

其中<math>i</math>是[[虛數單位]]（<math>i^2=-1</math>）。值得注意的是，儘管本公式以棣美弗本人命名，他從未直接地將其發表過<ref>{{cite book|title=College Algebra and Trigonometry|last2=Hornsby|first2=John|last3=Schneider|first3=David I.|last4=Callie J.|first4=Daniels|publisher=Pearson/Addison Wesley|year=2008|isbn=9780321497444|edition=4th|location=Boston|page=792|first1=Margaret L.|last1=Lial}}</ref>。為了方便起見，我們常常將<math>\cos x+i \sin x</math>合併為另一個三角函數{{math|[[Cis函數|cis]](''x'')}}，也就是說：
:<math>\operatorname{cis}^n (x) = \operatorname{cis} (nx)</math>

在操作上，我們常常限制<math>x</math>屬於[[实数|實數]]，這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把<math>\cos(nx)</math>和<math>\sin(nx)</math>變化為<math>\cos x</math>和<math>\sin x</math>的形式。另外，儘管棣美弗公式限制<math>n</math>須為整數，但倘若適當推廣本公式，便可將<math>n</math>拓展到非整數的領域。

== 證明 ==
（证明的思路是用[[数学归纳法]]证明正整数的情形，并推广到负整数。）

令<math>P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\cos (n \theta) + i \sin (n \theta) , n \in\mathbb{N}</math>

（1）当<math>n=0</math>时，显然成立。

（2）當<math>n=1</math>时：

左式 <math>= ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 =  \cos \theta + i \sin \theta  = \cos (1 \cdot \theta) + i \sin (1 \cdot \theta) = </math> 右式

因此，<math>P(1)</math>成立。

（3）當<math>n>1</math>时：

假設<math>P(k)</math>成立，即<math>(\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos (k\theta) + i\sin(k\theta)</math>

當<math>n=k+1</math>时：

<math>
\begin{align}
(\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}  
&=(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta) 
\\&=(\cos k\theta + i\sin k\theta)  \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)
\\&=(\cos k\theta  \cdot \cos\theta + i\sin k\theta  \cdot i\sin\theta) + (\cos k\theta  \cdot i\sin\theta+i\sin k\theta  \cdot \cos\theta)
\\&=(\cos k\theta  \cdot \cos\theta - \sin k\theta  \cdot \sin\theta) + i(\cos k\theta  \cdot \sin\theta + \sin k \theta  \cdot \cos\theta) 
\\ & \ \overset{1}{=}\cos (k\theta+\theta) + i\sin (k\theta+\theta)
\\ & \ =\cos [(k+1)\theta] + i\sin [(k+1)\theta]\\
\end{align}
</math>

等号1处使用[[和角公式]]。

因此，<math>P(k+1)</math>也成立。

综上所述，根據數學歸納法，<math>\forall n \in \mathbb{N}</math>，<math>P(n)</math>成立。

另外，由恒等式：
:<math> (\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1 </math>
可知，公式对于负整数情况也成立。

证毕。

== 檢定 ==
{{請注意|由于[[欧拉公式]]的证明过程中使用了棣莫弗公式，应用欧拉公式证明会造成[[循环论证]]，故而下列方法为检验方法，而非严谨的证明方法。对于类似方法也应注意甄别。}}最简单的方法是应用[[欧拉公式]]<ref>{{Cite web|title=棣美弗定理與 Euler 公式|url=http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27401.pdf|accessdate=2017-06-18|author=林琦焜|date=2006-12-22|publisher=[[中央研究院]]|archive-date=2021-01-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20210119160328/https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27401.pdf|dead-url=no}}</ref>。
:由於<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x\,</math>
:所以<math>{\color{Green}(\cos x + i\sin x )^n} = (e^{ix})^n = e^{inx} = e^{i(nx)} = {\color{Green}\cos (nx) + i\sin (nx)}</math>

== 用棣莫弗公式求根 ==
此定理可用來求單位複數的 <math>n</math> 次方根。設 <math>|z|=1</math>，表為
:<math>z = \cos \theta + i \sin \theta </math>

若 <math>w^n = z</math>，則 <math>w</math> 也可以表成：
:<math>w = \cos \phi + i \sin \phi</math>

按照棣莫弗公式：
:<math>w^n = (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n \phi + i \sin n \phi = \cos \theta + i \sin \theta = z</math>

於是得到
:<math>n \phi = \theta + 2k\pi</math>（其中 <math>k \in \Z</math>）

也就是：
:<math> \phi = \dfrac{\theta + 2k\pi}{n}</math>

當 <math>k</math> 取 <math>0, 1, \ldots, n-1</math>，我們得到 <math>n</math> 個不同的根：
:<math>w = \cos (\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}) + i \sin (\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}),   k=0, 1, \ldots, n-1</math>

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:复分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]