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[[File:BorromeanRings.svg|thumb|梅西积是[[三不互扣环]]现象的代数推广。]]
[[代数拓扑]]中，'''梅西积'''（Massey product）是{{harv|Massey|1958}}引入的一种高阶[[上同调运算]]，推广了[[上积]]。梅西积由美国代数拓扑学家William S. Massey提出。

==梅西三元积==
令<math>a,\ b,\ c</math>为[[微分分次代数]]<math>\Gamma</math>的上同调代数<math>H^*(\Gamma)</math>的元素。若<math>ab=bc=0</math>，则梅西积<math>\langle a,b,c\rangle</math>是<math>H^n(\Gamma)</math>的子集，其中<math>n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1</math>。

梅西积是通过代数手段定义的：将元素<math>a,\ b,\ c</math>提升到<math>\Gamma</math>的元素<math>u,\ v,\ w</math>的等价类，取这些元素的梅西积，然后向下推到上同调。这可能产生定义明确的上同调类，也可能不确定。

定义<math>\bar u</math>为<math>(-1)^{\deg(u)+1}u</math>。<math>\Gamma</math>中元素''u''的上同调类可表为<math>[u]</math>。3个上同调类的梅西三元积定义为
:<math>
\langle [u],[v],[w]\rangle = \{[\bar s w + \bar u t] \mid ds=\bar u v, dt=\bar v w\}.
</math>

3个上同调类的梅西积不是<math>H^*(\Gamma)</math>的元素，而是<math>H^*(\Gamma)</math>元素的集合，可能是空的也可能包含多个元素。若<math>u, v, w</math>分别有<math>i,\ j,\ k</math>的度数，则梅西积的度数为<math>i+j+k-1</math>，其中的<math>-1</math>来自微分<math>\rm d</math>。

若积<math>uv</math>、<math>vw</math>都是精确的，则梅西积非空，这时其所有元素都在商群
:<math>\displaystyle
H^*(\Gamma)/([u]H^*(\Gamma)+H^*(\Gamma)[w]).
</math>
的同一个元素中。因此，梅西积可看做定义在类三元组上的函数，其中的类在上述商群中取值，使得前两个类或后两个类之积为零。

更通俗地说，若两逐对积<math>[u][v]</math>、<math>[v][w]</math>都在同调中为零（<math>[u][v]=[v][w]=0</math>），即对某链''s''、''t''有<math>uv=ds</math>、<math>vw=dt</math>，则三元积<math>[u][v][w]</math>“为零有两个原因”：是<math>sw</math>、<math>ut</math>的边界（由于<math>d(sw)=ds\cdot w + s\cdot dw,</math>且<math>[dw]=0</math>因为同调的元素是循环）。有界循环''s''、''t''有不确定性，在移动到同调时变为零；又因为<math>sw</math>、<math>ut</math>有相同边界，将它们相减（符号约定是为正确处理分次）会得到上循环（差值的边界变为零），这样就得到了良定义的同调元素——这一步类似于用''n''维映射/链的空同伦/空同调的不确定性来定义第<math>n+1</math>个同伦/同调群。

从几何学角度来看，在流形的[[奇异上同调]]中，可按[[庞加莱对偶]]用有界流形与交来解释积：与上循环对偶的是循环，常表为无界闭流形；与积对偶的是交；与有界积相减对偶的是将两有界流形沿边界粘合，得到闭流形，表示梅西积的同调类对偶。实际上，流形同调类不总能用流形表示，因为循环可能有奇点，但这时对偶图是正常的。

==高阶梅西积==
更一般地说，<math>H^*(\Gamma)</math>的''n''个元素的''n''元梅西积<math>\langle a_{1,1}, a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle</math>定义为如下形式的元素之集
:<math>\bar a_{1,1}a_{2,n}+\bar a_{1,2}a_{3,n}+\cdots+\bar a_{1,n-1}a_{n,n}</math>
对方程
:<math>da_{i,j} = \bar a_{i,i}a_{i+1,j}+\bar a_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots+\bar a_{i,j-1}a_{j,j}</math>, 

的所有解，其中<math>1 \le i\le j\le n</math>、<math>(i,j)\ne (1,n)</math>，<math>\bar u</math>表示<math>(-1)^{\deg(u)}u</math>。

高阶梅西积<math>\langle a_{1,1}, a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle</math>可看作是在所有<math>1 \le i\le j\le n</math>的情形下求解后一个方程组的障碍，从这个意义上说，当且仅当这些方程可解时，包含了0上同调类。这样的''n''元梅西积是<math>n-1</math>阶上同调运算，即要使它费用，很多低阶梅西运算必须包含0，且其代表的上同调类都通过涉及低阶运算的项来区分。2元梅西积是通常的上积，是一阶上同调运算；3元梅西积是[[二阶上同调运算]]。

{{harvs|txt|last=May|first=J. Peter|authorlink=J. Peter May|year=1969}}描述了进一步的推广，称作'''矩阵梅西积'''，可描述[[艾伦伯格–摩尔谱序列]]的微分。

==应用==
[[File:BorromeanRings.svg|thumb|[[三不互扣环]]的补有非平凡梅西积。]]
[[三不互扣环]]的补<ref>{{Cite journal|last=Massey|first=William S.|author-link=William S. Massey|date=1998-05-01|title=Higher order linking numbers|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218216598000206|journal=[[Journal of Knot Theory and Its Ramifications]]|volume=07|issue=3|pages=393–414|doi=10.1142/S0218216598000206|issn=0218-2165|archive-url=https://web.archive.org/web/20210202191811/https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/uicc/massey.pdf|archive-date=2021-02-02|via=}}</ref>给出了一个三元梅西积有定义且非零的例子。注意补的上同调可用[[亚历山大对偶性]]计算，若''u''、''v''、''w''是与3环对偶的1上链，则任意两者之积都是相应[[环绕数]]的倍数，因此为零，而三元梅西积都不为零，表明三不互扣环是相连的。代数反映几何：这些环两两不连接，对应二元梅西积为零；而总体上是连接的，对应三元梅西积不为零。

[[File:Brunnian.png|thumb|非平凡[[布伦尼环]]，对应不为零的梅西积]]
更一般地，使任意<math>(n-1)</math>个子链不相连，而整体的''n''元链非平凡地链接的''n''元[[布伦尼环]]对应''n''元梅西积，<math>(n-1)</math>元子链不连接，对应<math>(n-1)</math>元梅西积为零，''n''元链对应''n''元梅西积不为零。

{{harvtxt|Uehara|Massey|1957}}用梅西三元积证明，[[怀特海积]]满足[[雅可比恒等式]]。

计算[[扭曲K理论]]时，高阶梅西积作为[[阿蒂亚–希策布鲁赫谱序列]]（AHSS）出现。{{harvtxt|Atiyah|Segal|2006}}证明，若''H''是扭曲3类，AHSS中作用在''x''类上的高阶微分<math>d_{2p+1}\ </math>由''p''份''H''与1份''x''的梅西积给出。

若流形是形式流形（formal manifold）（[[丹尼斯·苏利文]]定义），则空间上所有梅西积都为零；因此，证明给定流形不形式的一种策略是找到非平凡梅西积。当中“形式流形”从其[[德拉姆上同调|德拉姆复形]]的有限维“最小模型”中推断得流形有理同伦类。{{harvtxt|Deligne|Griffiths|Morgan|Sullivan|1975}}证明，紧[[凯勒流形]]是形式流形。

{{harvtxt|Salvatore|Longoni|2005}}用梅西积证明，[[透镜空间]]两点的[[构型空间]]的[[同倫#空間的同倫等價|同伦类]]非平凡地决定了透镜空间的[[简单同伦等价]]类。

==另见==
* [[户田括号]]

==参考文献==
{{reflist}}
*{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael | author1-link=Michael Atiyah | last2=Segal | first2=Graeme | author2-link=Graeme Segal| title= Inspired by S. S. Chern | arxiv=math.KT/0510674 | publisher=World Scientific Publishers|location= Hackensack, NJ | series=Nankai Tracts in Mathematics | mr=2307274 | year=2006 | volume=11 | chapter=Twisted K-theory and cohomology | pages=5–43 | doi=10.1142/9789812772688_0002| isbn=978-981-270-061-2 | s2cid=119726615 }}
*{{citation
|last1=Deligne|first1=Pierre|author1-link=Pierre Deligne| last2=Griffiths|first2=Phillip|author2-link=Phillip Griffiths| last3=Morgan|first3=John|author3-link=John Morgan (mathematician)| last4=Sullivan|first4=Dennis |author4-link=Dennis Sullivan|title=Real homotopy theory of Kähler manifolds|journal=[[Inventiones Mathematicae]]| volume=29|year=1975|pages=245–274|mr=0382702
|doi=10.1007/BF01389853
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*{{citation|mr=0098366|authorlink=William S. Massey|last=Massey|first= William S. |chapter=Some higher order cohomology operations |year= 1958  |title=Symposium internacional de topología algebraica (International symposium on algebraic topology) | pages= 145–154 |publisher=Universidad Nacional Autónoma de México and UNESCO|publication-place= Mexico City}}
*{{citation|mr=0238929|authorlink=J. Peter May|last= May|first= J. Peter |title=Matric Massey products|journal= [[Journal of Algebra]] |volume=  12  |year=1969|pages= 533–568|doi=10.1016/0021-8693(69)90027-1|issue=4 |doi-access=free}}
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*{{citation|last1= Salvatore| first1=Paolo| last2=Longoni| first2=Riccardo| title=Configuration spaces are not homotopy invariant| journal= [[Topology (journal)|Topology]] |volume= 44| year=2005|pages=375–380|doi= 10.1016/j.top.2004.11.002|issue= 2|mr=2114713|arxiv=math/0401075| s2cid=15874513}}
*{{citation|mr=0091473
|last1=Uehara|first1= Hiroshi|last2= Massey|first2= William S. | authorlink2=William S. Massey|chapter=The Jacobi identity for Whitehead products|title= Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz|pages= 361–377|publisher= [[Princeton University Press]] |publication-place= Princeton, N.J.| year= 1957}}

== 外部链接 ==
* {{cite web|url=http://mathserver.neu.edu/~wanghe/papers/Masseyproduct20121004.pdf|title=Massey product and its applications|author=He Wang|date=2012-10-04|access-date=2024-02-06|archive-date=2021-02-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20210202190635/http://mathserver.neu.edu/~wanghe/papers/Masseyproduct20121004.pdf|dead-url=unfit}} &ndash; contains many explicit examples
* {{cite web|url=http://www.math.wayne.edu/~rrb/papers/adams.pdf|title=An Adams Spectral Sequence Primer|author=R. R. Bruner|date=2009-06-02|access-date=2024-02-06|archive-date=2013-01-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20130107235828/http://www.math.wayne.edu/~rrb/papers/adams.pdf|dead-url=unfit}} &ndash; Bruner's notes
* {{cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/177495|title=Massey products in the Adams Spectral Sequence|date=2012-08-01|publisher=[[Stack Exchange]]|author= Juan S}} &ndash; contains references useful for understanding how to do these computations
* {{cite web|url=https://mathoverflow.net/q/198383|title=Massey products and <math>A_{\infty}</math> structures|date=2015-02-25|publisher=[[MathOverflow]]|author=Daniel Grady}} 

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