查看“︁梅滕斯定理”︁的源代码

{{log(x)}}

在[[解析數論]]中，'''梅滕斯定理'''指的是三個[[弗朗茨·梅滕斯]]在1874年證明的定理，這些定理與[[質數]]密度相關。<ref name="Mertens">F. Mertens. J. reine angew. Math. 78 (1874), 46–62 [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0078&DMDID=dmdlog5 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie]</ref>

以下假定<math>p\le n</math>指的是所有不超過<math>n</math>的質數。

==梅滕斯第一定理==
'''梅滕斯第一定理'''指的對於任何的<math> n\ge 2</math>而言，以下式的絕對值不會超過<math>2</math>（{{OEIS link|id=A083343}}）：

:<math> \sum_{p \le n} \frac{\log p}{p} - \log n</math>

==梅滕斯第二定理==
'''梅滕斯第二定理'''如下：

:<math>\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p -\log\log n-M\right) =0,</math>

其中<math>M</math>是[[Meissel–Mertens常數]]（{{OEIS link|id=A077761}}）；更精確地說，梅滕斯<ref name="Mertens"/>證明了對於任意的<math> n\ge 2</math>，以上的公式在極限意義下，其絕對值不會超過下式：

:<math> \frac 4{\log(n+1)} +\frac 2{n\log n}</math>

=== 證明 ===
證明梅滕斯第二定理的主要步驟如下：
:<math>O(n)+n\log n=\log n! =\sum_{p^k\le n} \lfloor n/p^k\rfloor\log p =
\sum_{p^k\le n} \left(\frac{n}{p^k}+O(1)\right)\log p= n \sum_{p^k\le n}\frac{\log p}{p^k}\ + O(n)</math>
其中最後的等式要求<math>\sum_{p^k\le n}\log p =O(n)</math>，而這可由<math>\sum_{p\in (n,2n]}\log p\le \log{2n\choose n}=O(n)</math>得出。

因此我們證明了下式：
:<math>\sum_{p^k\le n}\frac{\log p}{p^k}=\log n+O(1)</math>
由於在<math>k \ge 2</math>時，質數的次方的倒數和收斂之故，這表示說
:<math>\sum_{p\le n}\frac{\log p}{p}=\log n+O(1)</math>
故由[[分部求和法]]可推得下式：
:<math>\sum_{p\le n} \frac1{p} = \log\log n+M+O(1/\log n)</math>

=== 變號 ===
在一篇於1983年出版的關於[[除數函數]]增長率的文章中，<ref>{{Cite journal |last=Robin |first=G. |year=1983 |title=Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseurs |journal=Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics|volume=38 |pages=233–244 }}</ref>Guy Robin證明了以下在梅滕斯第二定理中出現的差會變號無限多次：

:<math>\sum_{p\le n}\frac1p -\log\log n-M</math>

此外，以下在梅滕斯第三定理中出現的差也會變號無限多次：

:<math>\log n\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)-e^{-\gamma}</math>

Robin的結果類似於[[約翰·恩瑟·李特爾伍德|李特爾伍德]]證明的「<math>\pi(x)-{\rm Li} (x)</math>這個差會變號無限多次」的這定理。唯對於梅滕斯第二及第三定理而言，目前尚沒有類似於[[斯奎斯數]]這樣，最小的導致變號的自然數的上界。

=== 與質數定理間的關係<span class="anchor" id="Mertens' second theorem and the prime number theorem"></span> ===
梅滕斯在他的《兩個令人好奇的勒讓德公式》（two curious formula of Legendre）這篇論文中論及了這個非病態的公式<ref name="Mertens"/>，在這篇文章中出現的第一個公式是梅滕斯第二定理的原型；而同篇文章中出現的第二個公式是梅滕斯第三定理的原型，詳情可見該篇文的前面數行。他回憶說這公式出現在[[勒讓德]]的《數論》（Théorie des nombres）的第三版（出版於1830年，而實際上該公式出現於1808年出版的第二版中），且更加詳細的版本為[[切比雪夫]]在1851年所證明。<ref>P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157</ref>應當注意的是，[[歐拉]]在1737年就已知該公式的非病態行為。

梅滕斯禮貌性地描述說他的證明是更加精準且確實的。實際上在他之前的任何證明，在現代標準下都是不可接受的：歐拉的計算牽涉到無限（以及無限的雙曲對數和無限的對數的對數）；勒讓德的論證是啟發性的；而切比雪夫證明，盡管邏輯上完美，但用到了直到1896年之前都尚未得證、並在後來被稱為[[質數定理]]的勒讓德─高斯猜想。

梅滕斯的證明並未用到在1874時尚未得證的任何猜想，且只用到基本的實分析，而這證明出現在質數定理得證的22年之前；而與之相對地，質數定理仰賴對做為複數域上的函數的[[黎曼ζ函數]]的行為的詳細分析。

由此來看，梅滕斯的證明在這方面是印象深刻的，事實上，以當今慣用的[[大O符號]]表記，其論述如下：

:<math>\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+O(1/\log x)</math>

而若使用最簡單、不帶誤差項估計的質數定理，可證明下式成立：<ref> I.3 of: G. Tenenbaum. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Translated from the second French edition (1995) by C. B. Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge,1995.</ref>
:<math>\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+o(1/\log x).</math>

在1909年，[[愛德蒙·蘭道]]（Edmund Landau）用他當時可得的最好的質數定理的版本，證明了下式成立：<ref>Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr.  Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.</ref>
:<math>\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})</math>
特別地，對任何固定數<math>k</math>而言，這誤差項小於<math>1/(\log x)^k</math>

對已知的最強版本使用簡單的[[分部求和法|分部求和]]技巧，可將之改進為：

:對於一些<math>c > 0</math>而言，有<math>\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5}})</math>

類似地，使用分部求和法可證明說質數定理蘊含了<math>\sum_{p\le x} \frac{\log p}{p} = \log x+ C+o(1)</math>。

==梅滕斯第三定理==

'''梅滕斯第三定理'''如下：

:<math>\lim_{n\to\infty}\log n\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma} \approx 0.561459483566885,</math>

其中<math>\gamma</math>是[[歐拉-馬斯刻若尼常數]]。（{{OEIS link|id=A001620}}）

=== 與[[篩法]]的關係<span class="anchor" id="Mertens' third theorem and sieve theory"></span> ===
對於「<math>X</math>（<math>X \gg n</math>）沒有小於<math>n</math>的因子的機率」的估計，可由下式給出：

:<math>\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)</math>

這與梅滕斯第三定理密切相關，因為梅滕斯第三定理給出了下式的非病態估計：

:<math>P(p \nmid X\ \forall p \le n) = \frac{1}{e^\gamma \log n }</math>

==參考資料==
{{Reflist}}

==延伸閱讀==
*{{link-en|Akiva Moiseevich Yaglom}}及{{link-en|Isaak Moiseevich Yaglom}}所著的《以初等技巧解決挑戰性數學問題》（''Challenging mathematical problems with elementary solutions''）第二版中的問題第171、173跟174。

==外部連結==
*{{MathWorld|urlname=MertensConstant|title=Mertens Constant}}
*{{MathWorld|urlname=MertensTheorem|title=Mertens Theorem|author=Sondow, Jonathan|author2=Weisstein, Eric W.|name-list-style=amp}}
*{{MathWorld|urlname=MertensSecondTheorem|title=Mertens' Second Theorem}}
*Varun Rajkumar, [https://docs.google.com/document/d/1yzj1QZZzmqVG4ow6ScTR5bX5mDOKxNVkQGX7G-HAJfQ/edit?usp=sharing <u>π(x) and the Sieve of Eratosthenes</u>] {{Wayback|url=https://docs.google.com/document/d/1yzj1QZZzmqVG4ow6ScTR5bX5mDOKxNVkQGX7G-HAJfQ/edit?usp=sharing |date=20230516150602 }}

[[Category:级数]]
[[Category:可和理論]]
[[Category:素数定理]]