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{{NoteTA
|G1=Math
|T=zh-cn:梅涅劳斯定理; zh-tw:孟氏定理;
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}}
[[File:Menelaus Theorem1.png|frame|right|情況1：直線''LNM''穿過三角形''ABC'']]
[[File:梅涅劳斯定理2.png|frame|right|情況2：直線''LNM''在三角形''ABC''外面(M與N位置可能有錯）]]


'''梅涅劳斯定理'''（'''Menelaus' theorem'''），以古希腊数学家{{link-en|梅涅勞斯|Menelaus of Alexandria}}為名。它指出：如果一直线与<math>\triangle ABC</math>的边''BC''、''CA''、''AB''或其延長線分别交于''L''、''M''、''N''，则有：

: <math>\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1</math>。

它的逆定理也成立：若有三点''L''、''M''、''N''分别在<math>\triangle ABC</math>的边''BC''、''CA''、''AB''或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足

: <math>\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1</math>

则''L''、''M''、''N''三点共线。利用这个逆定理，可以判断[[三点共线]]。
如果在上式中线段用有向线段表示，那么右面的结果为-1。

该定理与[[塞瓦定理]]的等式仅在条件上有所不同，二者互为[[对偶 (数学)|对偶]]定理。

== 证明 ==

==== 面积法证明SHM ====
如情况一，连接<math>AL</math>、<math>CN</math>，有

<math>\frac{AN}{NB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MA}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle LNA}}{\mathrm{S}_{\triangle LNB}}\cdot\frac{\mathrm{S}_{\triangle LNB}}{\mathrm{S}_{\triangle LNC}}\cdot\frac{\mathrm{S}_{\triangle LNC}}{\mathrm{S}_{\triangle ANL}}=1</math>

==== 正弦定理证明 ====
如情況一，设<math>\angle ANM = \alpha</math>，<math>\angle AMN = \beta</math>，<math>\angle MLC = \gamma</math>，則在<math>\triangle AMN</math>中由[[正弦定理]]，有

: <math>\frac{AN}{AM} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha},</math>

同理，因[[對頂角]]相等在<math>\triangle NBL</math>和<math>\triangle CLM</math>中有

: <math>\frac{BL}{BN} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma},</math>

及

: <math>\frac{CM}{CL} = \frac{\sin \gamma}{\sin \beta}.</math>

三式相乘即得

: <math>\frac{AN}{AM} \cdot \frac{BL}{BN} \cdot \frac{CM}{CL} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = 1,</math>

即 

: <math>\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1.</math>

== 历史 ==
目前确定不是孟子首先发现了梅涅劳斯定理。现存最早的关于定理的内容出现在梅涅劳斯的著作《球面三角学》中。在本书中，定理的平面版本被用作证明该定理的球形版本的引理。<ref>{{cite book|
last=Smith|first=D.E.|title=History of Mathematics|isbn=0-486-20430-8
|publisher=Courier Dover Publications|year=1958|volume=II|page=607}}</ref>

在《[[天文学大成]]》中，托勒密将该定理应用于球形天文学中的许多问题。<ref name="rashed">{{cite book|last=Rashed|first=Roshdi|title=Encyclopedia of the history of Arabic science|volume=2|page=483|year=1996|publisher=Routledge|location=London|isbn=0-415-02063-8}}</ref> 
在[[伊斯兰黄金时代]]，穆斯林学者投入了大量从事洋洋定理研究的著作，他们称之为“关于割线的命题”（shakl al-qatta'）。完全四边形在他们的术语中被称为“割线图”。比鲁尼的作品“天文学的钥匙”列出了其中的一些作品；这些作品都可被归类为托勒密的《天文学大成》内容的一部分，如al-Nayrizi和al-Khazin的作品，其中每个作品都展示了梅涅劳斯定理的特殊形式（如用角的正弦表示的等式），或作为独立论文组成的作品，例如：

塔比·伊本·库拉撰写的“关于割线图的论述”（Risala fi shakl al-qatta'）。<ref name="rashed" />
Husam al-DIn al-Salar的《揭开割线图的奥秘》（Kashf al-qina'as asrar al-shakl al-qatta'），也被称为《割线图之书》（Kitab al-shakl al-qatta') ，或在欧洲被称为“完全四边形的论文”。 Al-Tusi和Nasir al-Din al-Tusi提到了其中丢失的内容。<ref name="rashed" />
阿尔·锡杰齐的工作。<ref name="musa">{{cite journal|last=Moussa|first=Ali|title=Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations|journal=Arabic Sciences and Philosophy|year=2011|volume=21|issue=1|publisher=[[Cambridge University Press]]|doi=10.1017/S095742391000007X}}</ref> 
Abu Nasr ibn的《Tahdhib》。<ref name="musa" />
Roshdi Rashed和Athanase Papadopoulos，Menelaus'Spherics的早期翻译和al-Mahani'/ al-Harawi的版本（来自阿拉伯手稿的Menelaus Spherics的重要版本，以及历史和数学评论）, De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica,  21,  2017, 890 pages. {{ISBN|978-3-11-057142-4}}

== 延伸阅读 ==
* {{cite book |title=Pure Geometry
|first=John Wellesley|last=Russell|publisher=Clarendon Press|year=1905
|chapter= Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem"
|url=https://books.google.com/books?id=r3ILAAAAYAAJ}}
==参见==
*[[塞瓦定理]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikibooks|邏輯通路/孟氏定理|梅涅劳斯定理}}
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3092 Alternate proof] {{Wayback|url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3092 |date=20180809152749 }} of Menelaus's theorem, from [[PlanetMath]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/MenelausFromCeva.shtml Menelaus From Ceva] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/MenelausFromCeva.shtml |date=20180809183826 }}
* [http://www.cut-the-knot.org/4travelers/CevaAndMenelaus.shtml Ceva and Menelaus Meet on the Roads] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/4travelers/CevaAndMenelaus.shtml |date=20180809183812 }}
* [https://web.archive.org/web/20180809152726/http://www.mathpages.com/home/kmath442/kmath442.htm Menelaus and Ceva] at MathPages
* [http://demonstrations.wolfram.com/MenelausTheorem/ Demo of Menelaus's theorem] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/MenelausTheorem/ |date=20180809153057 }} by Jay Warendorff. [[The Wolfram Demonstrations Project]].
* {{MathWorld |title=Menelaus' Theorem |urlname=MenelausTheorem}}


[[Category:几何定理]]
[[Category:三角形几何]]
[[Category:仿射几何]]
[[Category:包含证明的条目]]
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[[Category:几何定理]]