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{{NoteTA|G1=Math}}
'''格蘭迪級數'''（{{lang-en|Grandi's series}}），即<math display="inline">1-1+1-1+\cdots</math>，是由意大利[[數學家]]{{link-en|格蘭迪|Luigi Guido Grandi}}在1703年發表的。後來荷蘭數學家[[丹尼爾·伯努利]]和瑞士數學家[[萊昂哈德·歐拉]]等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作：
:<math>
\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n
</math>
它是一個[[發散級數]]，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的[[歐拉和]]和[[切薩羅求和|切薩羅和]]均為<math>\,\frac{1}{2}</math>。

格蘭迪級數與級數[[1 − 2 + 3 − 4 + …]]有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作{{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + …}}的特例（其中<math>n</math>為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在[[巴塞爾問題]]上所做的工作，同時也引出了現在所知的[[狄利克雷η函數]]和[[黎曼ζ函數]]。

== 簡介 ==
針對以下的格蘭迪級數
:1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一種求和方式是求它的[[裂項求和|裂項和]]：
:(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：
:1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。

格蘭迪級數為[[发散几何级数]]，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：
:<math>S</math> = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此
:1 − <math>S</math> = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = <math>S</math>，即
:2<math>S</math> = 1，
可得到<math>S</math> = <math>\tfrac{1}{2}</math><ref name=Devlin77/>。

依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：
*格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在<ref name=Devlin77 /><ref name=Davis152/>。
*格蘭迪級數的和為<math>\tfrac{1}{2}</math><ref name=Davis152 />。

上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論<ref name=Kline307/><ref name=Knopp457/>。

== 求和性 ==
===穩定性及線性===
對於格蘭迪級數<math display="inline">\,1-1+1-1+\cdots</math>，看似可以用以下的方式處理，得到數值<math>\;\tfrac{1}{2}</math>：
*級數內的數兩兩相加或相減。
*每一項乘以一個係數。
*調整括弧順序。
*在級數前面增加新的項。
不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而<math display="inline">\, 1-1+1-1+ \cdots \,</math>不是收斂級數，因此上述處理都不適用。

由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過[[方程求解|解方程]]得出一數值。暫時假設<math display="inline">\, s=1-1+1-1+ \cdots \,</math>這樣的寫法有意義——其中的<math>\;s\;</math>為常數，那麼以下的計算將說明<math display="inline">\;s=\frac{1}{2}</math>：

:<math>
\begin{smallmatrix}
2s \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)\quad\,
\\
 \\ \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots)\quad\,
\\
 \\ \ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace{1\,-\,1\,-\,1\,+\,1}_{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace{-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1}_{0}\,)\,+\,\cdots]
\end{smallmatrix}
</math>

因此，<math>s=\tfrac{1}{2}</math><ref>Hardy (p.6) 結合[[格蘭迪級數]]<math display="inline">\, 1-1+1-1+ \cdots \,</math>的計算提出了此推導過程。</ref>。

再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和<ref>Davis pp.152, 153, 157</ref>。

===切薩羅和===
{{main|切薩羅求和}}
[[恩納斯托‧切薩羅]]在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是[[切薩羅求和|切薩羅和]]。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個<math>\;n\;</math>，計算前<math>\;n\;</math>項的和<math display="inline">\; \sigma_n\;</math>的平均，當<math>\;n\;</math>趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。

以格蘭迪級數而言，而數列 <math display="inline">\tfrac{s_1+\cdots+s_n}{n}</math>的各項分別為
:<math>\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots</math>,
而
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} =\frac{1}{2}</math>
因此，格蘭迪級數的切薩羅和為 <math>\tfrac{1}{2}</math>。

也可以用廣義的切薩羅和<math>\;\left(C,a\right)\;</math>來計算<ref name=Smail>{{cite book |last=Smail |first=Lloyd |title=History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes |year=1925 |publisher=University of Oregon Press |id={{LCC|QA295|.S64}}|pages=p.131}}</ref>。

== 發散性 ==
這個級數的[[級數#无穷级数的定义|部分和]]如下：
:<math>
\begin{cases}
S_1=1\\
S_2=1-1=0\\
S_3=1-1+1=1\\
S_4=1-1+1-1=0\\
\quad\;\,\vdots
\end{cases}
</math>
由此得出另一個無窮序列：
:<math>S_1, S_2, S_3, S_4, \cdots = 1, 0, 1, 0, \cdots</math>，

根據無窮級數的定義，
:<math>
\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n =
\lim_{n\to\infty}S_n
</math>
但是<math>\;S_n\;</math>的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），所以<math>\;\lim_{n\to\infty}S_n\;</math>發散。

因此<math>\;\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n\;</math>這個級數也發散。

== 格蘭迪級數的應用 ==
===幂級數===
以下的幂級數和格蘭迪級數有關，也是其[[母函数]]：
:<math>f(x) = 1-x+x^2-x^3+\cdots = \frac{1}{1+x}</math>

===狄拉克梳===
格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現：
:<math>\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cdots = \sum_{k=1}^\infty\cos(kx).</math>

若''x'' = π，其上述級數化簡為−1&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;·&nbsp;·&nbsp;，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos ''kx'' = −<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>，不過[[達朗貝爾]]不同意此關係式，而[[约瑟夫·拉格朗日|拉格朗日]]認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明<ref name=Ferraro>{{cite journal |last=Ferraro |first=Giovanni |title=Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815 |journal=Historia Mathematica |year=2005 |doi=10.1016/j.hm.2005.08.004 |volume=34 |pages=62}}</ref>。

歐拉的聲明推測 

:<math>1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx) = 0?</math>

針對所有的''x''，此級數都發散，不過對於[[幾乎所有]]的''x''，[[切萨罗和]]均為0。不過在''x'' = 2π''n''時，其級數發散，而且是{{link-en|狄拉克梳|Dirac comb}}的[[傅立葉級數]]。其一般和、切萨罗和及阿貝爾和分別和[[狄利克雷核]]、[[费耶核]]及{{link-en|泊松核|Poisson kernel}}的極限有關<ref>Davis pp.&nbsp;153–159</ref>。

===狄利克雷级数===
{{main|狄利克雷η函数}}
將格蘭迪級數各項乘以1/''n''<sup>''z''</sup>可以得到以下的[[狄利克雷级数]] 
:<math>\eta(z)=1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},</math>

上述級數只有在實部大於0的[[複數 (數學)|複數]]''z''才會收斂，若令''z''&nbsp;=&nbsp;0，即為格蘭迪級數。

不同於幾何級數，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的<math>\eta(z)</math>也無法用初等函數來表示，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，<math>\eta(z)</math>的極值<!---<ref>Knopp (p.458) makes this point to criticize Euler's use of analytical expressions to evaluate numerical series, saying "it ''need not'' at any rate be +<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>."</ref>-->。

另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的<math>\eta(z)</math>可定義一個在整個複數平面的函數－[[狄利克雷η函数]]，而且此函數為[[解析函数]]。若''z''的實部>&nbsp;−1，就可以用[[切薩羅和]]進行求和，因此η(0)&nbsp;=&nbsp;<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>。

狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關：
:<math>\begin{array}{rcl}
\eta(z) & = &\displaystyle 1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\cdots - \frac{2}{2^z}\left(1+\frac{1}{2^z}+\cdots\right) \\[1em]
  & = & \displaystyle \left(1-\frac{2}{2^z}\right)\zeta(z),
\end{array}</math>

其中ζ為[[黎曼ζ函數]]。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>。參照[[1 + 1 + 1 + 1 + …]]。

上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(''z'')和(1&nbsp;−&nbsp;2<sup>1−''z''</sup>)相除的結果，二個函數在整個複數平面均為解析函数，而後者的[[零点]]是在''z''&nbsp;=&nbsp;1的[[簡單零點]]，因此可得ζ(''z'')為[[亚纯函数]]，只在''z''&nbsp;=&nbsp;1有一個[[極點 (代數)|極點]]<ref>Knopp pp.&nbsp;491–492</ref>。

===物理學===
格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的[[费米子]]場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不過這些級數也出現在[[玻色子]]的相關研究中，例如[[卡西米爾效應]]。

在{{link-en|光谱非对称性|spectral asymmetry}}領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，而其求和方式是[[正規化]]的一部份，例如{{link-en|ζ函數正規化|zeta function regulator}}就是其中的一種。

== 相關條目 ==
{{Portal|数学}}
* [[交錯級數]]

== 參考資料 ==
{{reflist|2|refs=
<ref name=Devlin77>{{cite book |last=Devlin |first=Keith |title=Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe |url=https://archive.org/details/mathematicsscien0000devl |year=1994 |publisher=Scientific American Library |isbn=0-7167-6022-3 |pages=[https://archive.org/details/mathematicsscien0000devl/page/77 77]}}</ref>
<ref name=Davis152>{{cite book |last=Davis |first=Harry F. |title=Fourier Series and Orthogonal Functions |url=https://archive.org/details/fourierseriesort00unse |publisher=Dover |isbn=0-486-65973-9|pages=p.152|date=May 1989}}</ref>
<ref name=Kline307>{{cite journal |doi=10.2307/2690371 |last=Kline |first=Morris |title=Euler and Infinite Series |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1983-11_56_5/page/307 |journal=Mathematics Magazine |volume=56 |issue=5 |pages=307 |jstor=2690371|date=November 1983}}</ref>
<ref name=Knopp457>{{cite book |last=Knopp |first=Konrad |title=Theory and Application of Infinite Series |url=https://archive.org/details/theoryapplicatio0000knop_w8t7 |year=1990 |origyear=1922 |publisher=Dover |isbn=0-486-66165-2 |pages=p.457}}</ref>
}}

{{級數}}

[[Category:级数]]
[[Category:發散級數]]
[[Category:等比級數]]
[[Category:数学悖论]]
[[Category:交錯級數]]