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'''格羅莫夫(Gromov)積'''是[[度量幾何]]的一個概念，以[[米哈伊爾·格羅莫夫]]命名。在一個測地[[度量空間]]中，從同一點出來的兩條[[測地線]]，格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過，格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。<ref>Mikhail Gromov, ''Hyperbolic groups.'' Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.</ref>

格羅莫夫積可用以定義[[格羅莫夫雙曲空間]]及其理想邊界。

== 定義 ==

設<math>(X,d)</math>為度量空間，<math>x,y,z</math>為<math>X</math>中三點，則<math>y,z</math>以<math>x</math>為基點的格羅莫夫積定義為

:<math>(y, z)_{x} := \frac1{2} \big( d(x, y) + d(x, z) - d(y, z) \big)</math>

==性質==
* [[對稱性]]：<math>(y, z)_{x}=(z, y)_{x}</math>
* 若基點和另一點相同，格羅莫夫積為零：<math>(y, z)_{y} = 0</math>，<math>(y, z)_{z} = 0</math>
* 以下關係式成立：
::<math>d(x, y) = (x, z)_{y} + (y, z)_{x}</math>
::<math>0 \leq (y, z)_{x} \leq \min \big\{ d(y, x), d(z, x) \big\}</math>
* 格羅莫夫積是[[利普希茨連續]]的：
::<math>\big| (y, z)_{p} - (y, z)_{q} \big| \leq d(p, q)</math>
::<math>\big| (x, y)_{p} - (x, z)_{p} \big| \leq d(y, z)</math>
* 在[[歐幾里德幾何]]中，若<math>\triangle ABC</math>為平面上[[任意三角形|任意一個三角形]]，<math>(B, C)_{A}</math>等於<math>A</math>點到[[內切圓]]與AB及AC的兩個切點的距離。
[[File:Inkreis mit Strecken.svg|200px|center]]
* 設<math>X</math>為[[樹 (圖論)|樹]]，則對<math>X</math>中任意三點<math>x,y,z</math>，<math>(y, z)_{x}</math>是從<math>x</math>到<math>y,z</math>的兩條線段重合部份的長度。
* 設<math>X</math>為測地度量空間。記<math>[y,z]</math>為連接點<math>y,z</math>的一條測地線段。（注意連接此兩點的測地線段未必唯一。）對<math>X</math>中任意三點<math>x,y,z</math>有不等式：
::<math>d(x,[y,z]) \geq (y,z)_{x}</math>
*格羅莫夫雙曲空間其中一個定義為：<ref>É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), ''Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.'' Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.</ref>
:設<math>\delta\geq 0</math>為常數。度量空間<math>(X,d)</math>稱為'''δ-雙曲'''，若<math>X</math>中任意點<math>p,x,y,z</math>都符合不等式
::<math>(x, z)_{p} \geq \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta</math>

==參考==
{{reflist}}


[[Category:度量幾何]]