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[[辛拓扑]]和[[代数几何]]中，'''格罗莫夫–威滕'''（'''GW'''）'''不变量'''是[[有理数]]，某些情形下可计算在给定[[辛流形]]中符合给定条件的[[伪全纯曲线]]。GW不变量可打包为适当空间中的[[同调]]或[[上同调]]类，或[[量子上同调]]的[[上积]]。这些不变量可用于区分辛流形（以前无法区分），在闭[[第二型弦理論#IIA型弦論|IIA型弦论]]中起着至关重要的作用。它们得名于[[米哈伊尔·格罗莫夫]]和[[爱德华·威滕]]。

格罗莫夫-威滕不变量的严格数学定义冗长而困难，在[[稳定映射]]条目中单独讨论。本文的重点在直观解释不变量的含义、计算方法及其重要性。

==定义==
考虑：
*''X''：2''k''维[[闭流形|闭]][[辛流形]]；
*''A''：''X''中的2维同调类；
*''g''：非负整数；
*''n''：非负整数。
现在定义与4元组<math>(X,\ A,\ g,\ n)</math>相关的格罗莫夫–威滕不变量。令<math>\overline{\mathcal{M}}_{g, n}</math>为亏格为''g''、有''n''个标记点的曲线的德利涅-芒福德模空间，令<math>\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)</math>表示对''X''上某与其辛形式相容的[[殆复流形|殆复结构]]''J''，到''X''的''A''类[[稳定映射]]的模空间。<math>\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)</math>的元素具有如下形式：
:::<math>(C, x_1, \ldots, x_n, f),</math>
其中''C''是（不必稳定）曲线，有''n''个标记点<math>x_1,\ \dots,\ x_n</math>与伪全纯的<math>f:\ C\to X</math>。模空间的实维度为
:::<math>d := 2 c_1^X (A) + (2k - 6) (1 - g) + 2 n.</math>

令
:::<math>\mathrm{st}(C, x_1, \ldots, x_n) \in \overline{\mathcal{M}}_{g, n} </math>
表示曲线的稳定化。置
:::<math>Y := \overline{\mathcal{M}}_{g, n} \times X^n,</math>
具有实维度<math>6g- 6 + 2(k + 1)n</math>。有求值映射
:::<math> \begin{cases}
\mathrm{ev}: \overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A) \to Y \\
\mathrm{ev}(C, x_1, \ldots, x_n, f) = \left(\operatorname{st}(C, x_1, \ldots, x_n), f(x_1), \ldots, f(x_n) \right).
\end{cases}</math>
求值映射将<math>\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)</math>的[[基本类]]送到''Y''中的''d''维有理同调类，记作
:::<math>GW_{g, n}^{X, A} \in H_d(Y, \Q).</math>
从某种意义上说，这个同调类就是对于''X''，数据为''g''、''n''、''A''的'''格罗莫夫–威滕不变量'''，是辛流形''X''的辛同痕类的[[不变量]]。

要从几何角度解释格罗莫夫–威滕不变量，令β为<math>\overline{\mathcal{M}}_{g, n}</math>中的同调类，<math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math>为''X''中的同调类，使<math>\beta, \alpha_1, \ldots, \alpha_n</math>的余维之和为''d''。根据[[克奈公式]]，这些都会在''Y''中产生同调类。置
:<math>GW_{g, n}^{X, A}(\beta, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) := GW_{g, n}^{X, A} \cdot \beta \cdot \alpha_1 \cdots \alpha_n \in H_0(Y, \Q),</math>
其中<math>\cdot</math>表示''Y''的有理同调中的[[相交理论|交积]]。这是一个有理数，即给定类的'''格罗莫夫–威滕不变量'''。这个数字给出了伪全纯曲线（''A''类中，亏格为''g''，域位于德利涅-芒福德空间的β部分，有''n''个标记点映射到表示<math>\alpha_i</math>的循环）的“虚拟”计数。

简单说，GW不变量就是计算有多少条曲线同''X''的''n''个选定子流形相交。然而，由于计数的“虚拟”性，它不一定是自然数。因为稳定映射的空间是[[轨形]]，其各向同性点可为不变量贡献非整数值。

这种构造有多种变体，如用上同调取代同调，用积分取代交，从德利涅-芒福德空间拉回的[[陈类]]也被积分，等等。

==计算技巧==
格罗莫夫–威滕不变量通常很难计算。虽然它们是为任何一般[[殆复流形|殆复结构]]''J''定义的，其中<math>\bar \partial_{j, J}</math>算子的[[线性化]]''D''是[[满射]]，但实际上必须针对特定的选定''J''计算。事实上，计算通常是在[[凯勒流形]]上利用代数几何技术进行的。

然而，特殊的''J''可能诱导非满射的''D''，从而使得伪全纯曲线的模空间大于预期。粗略地说，我们可以通过从''D''的[[余核]]形成[[向量丛]]（称作阻碍丛，obstruction bundle），然后将GW不变量变为阻碍丛的[[欧拉类]]的积分，以纠正这种影响。要精确化这一思想，需要利用[[仓西结构]]进行大量技术论证。

主要的计算技术是'''局部化'''，适用于''X''是[[环面簇|环面]]的状况，即它是由复环面作用的，或至少是局部环面的。然后，我们可以利用[[阿蒂亚-博特定点定理]]将GW不变量的计算简化（局部化）为对作用定点轨迹的积分。

另一种手法是利用辛技术，将''X''同其他空间联系起来，其GW不变量更容易计算。当然，必须首先了解不变量在辛技术中的表现。这时，我们常用更复杂的'''相对GW不变量'''，即沿着''X''的实维度为2的辛子流形，计算满足切线条件的曲线。

==相关不变量与其他构造==
GW不变量与几何中许多其他概念密切相关，如辛范畴中的[[唐纳森理论|唐纳森不变量]]与[[塞伯格-威滕不变量]]、代数范畴中的[[唐纳森-托马斯理论]]等。对紧辛4-流形，[[克利福德·陶布斯]]证明，GW不变量的一个变体等价于塞伯格-威滕不变量。人们猜想代数3-流形包含与整数值[[唐纳森-托马斯理论|唐纳森-托马斯不变量]]相同的信息。物理方面的考虑也产生了[[戈帕库马尔-瓦法不变量]]，目的是为典型的有理GW理论提供底层整数计数。戈帕库马尔-瓦法不变量目前还没有严格的数学定义，这也是该课题的主要问题之一。

光滑射影簇的GW不变量可完全定义在代数几何中。平面曲线与齐次空间有理曲线的经典枚举几何都可用GW不变量来捕捉。不过，GW不变量与经典枚举计数的主要优势在于，其在目标的复结构变形时是不变的。GW不变量还提供了辛流形或射影流形上同调环中积结构的变形，可被组织起来构造流形''X''的[[量子上同调]]环，则是普通上同调的变形。变形积的结合性，本质上来自用于定义不变量的稳定映射的模空间的自相似。

众所周知，量子上同调环同构于辛[[弗洛尔同调]]及其裤对积（pair-of-pants product）。

==在物理学中的应用==
GW不变量在弦论中很热门。弦论试图统一[[广义相对论]]与[[量子力学]]。其中万事万物都是由微小的[[弦 (物理学)|弦]]构成的。弦在时空中穿行时，会描绘出一个面，称作弦的[[世界面]]。不幸的是，这种参数化面的模空间是无穷维的（至少先验地是）；其上没有已知的适当[[测度]]，于是这种理论的[[路径积分表述]]缺乏严格定义。

在称作[[拓扑弦论|闭A模型]]的变体中，情况有所改善。这里有6个时空维度，构成了辛流形，而可证明世界面必由伪全纯曲线参数化，其模空间是有限维的。作为模空间上的积分，GW不变量就是这种理论的路径积分。特别是，A模型在[[亏格]]为''g''时的[[亥姆霍兹自由能|自由能]]是亏格为''g''的GW不变量的[[母函数]]。

== 另见 ==
* [[余切复形]]
* [[舒伯特微积分]]

==参考文献==
*{{Cite book |last1=McDuff |first1=Dusa|author1-link=Dusa McDuff |name-list-style=amp |last2=Salamon |first2=Dietmar | date=2004 |title=J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology |publisher=American Mathematical Society colloquium publications |isbn=0-8218-3485-1 }} An analytically flavoured overview of Gromov–Witten invariants and quantum cohomology for symplectic manifolds, very technically complete
*{{Cite book |last1=Piunikhin |first1=Sergey |last2=Salamon |first2=Dietmar |name-list-style=amp |last3=Schwarz |first3=Matthias |date=1996 |chapter=Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology |editor-first=C. B. |editor-last=Thomas |title=Contact and Symplectic Geometry |url=https://archive.org/details/contactsymplecti00thom |url-access=limited |pages=[https://archive.org/details/contactsymplecti00thom/page/n187 171]–200 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-57086-7 }}

== 阅读更多 ==
*[https://web.archive.org/web/20200717033434/http://wwwf.imperial.ac.uk/~at515/GW-project.pdf Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory] - Andrea Tirelli
*{{cite book |first1=Joachim |last1=Kock |first2=Israel |last2=Vainsencher |title=An Invitation to Quantum Cohomology: Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves |location=New York |publisher=Springer |year=2007 |isbn=978-0-8176-4456-7 }} A nice introduction with history and exercises to the formal notion of [[moduli space]], treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of [[Scheme (mathematics)|schemes]].
*{{Cite book |title=Enumerative Invariants in Algebraic Geometry and String Theory |volume=1947 |publisher=Springer |last=Vakil |first=Ravi |date=2006 |chapter=The Moduli Space of Curves and Gromov–Witten Theory |pages=143-198 |doi=10.1007/978-3-540-79814-9_4 |arxiv=math/0602347 |bibcode=2006math......2347V }}
*[[arxiv:alg-geom/9608011|Notes on stable maps and quantum cohomology]]

=== 研究论文 ===
* [[arxiv:1110.6395|Gromov-Witten theory of schemes in mixed characteristic]]

{{string theory}}

[[Category:辛拓扑]]
[[Category:代数几何]]
[[Category:弦理论]]
[[Category:模理论]]