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[[数学]]中，'''格罗滕迪克伽罗瓦理论'''（{{lang|en|Grothendieck's Galois theory}}）是域的[[伽罗瓦理论]]的一种抽象方法，为[[代数几何]]背景下研究[[代数拓扑]]的[[基本群]]提供了一种方法，大约发展于1960年前后。格罗滕迪克伽罗瓦理论在经典域论背景下提供了一种不同于[[埃米尔·阿廷]]的[[线性代数]]视角，后者在1930年代成为标准。

[[亚历山大·格罗滕迪克]]的方法关注[[范畴论]]性质，是定[[投射有限群]]（profinite group）''G''的有限''G''集合范畴的特征。例如，''G''可能是表为<math>\hat{\Z}</math>的群，是循环加性群<math>\Z/n\Z</math>的[[逆极限]]，或等价于有限[[子群的索引|索引]]的子群拓扑的[[有限循环群]]'''Z'''的完备化。因此有限''G''集是有限集''X''，其上的''G''通过商有限循环群作用于''X''，从而通过给出''X''的某种置换来指定它。

在上面的例子中，通过把<math>\hat{\Z}</math>看做任意有限域''F''在''F''上的[[代数闭包]]<math>\bar F</math>的投射有限伽罗瓦群<math>{\rm Gal}(\bar F/F)</math>，可以看出其与经典[[伽罗瓦理论]]的联系。即，当在''F''上取越来越大的有限[[分裂域]]时，固定''F''的<math>\bar F</math>的自同构由逆极限描述。观察去原点[[复平面]]的[[单位圆盘]]的[[覆叠空间]]时，就会发现其与几何之间的联系：通过复变量''z''考虑，圆盘的<math>z^n</math>映射实现的有限覆盖对应去心圆盘基本群的子群''n''.'''Z'''。

格罗滕迪克理论发表于[[代数几何讨论班|SGA1]]，展示了如何从纤维函子<math>\Phi</math>重构''G''集范畴，在几何情景中，纤维函子<math>\Phi</math>将覆盖的纤维置于固定基点上（作为集合）。事实上，已证明有同构类型

: <math>G\cong {\rm Aut}(\Phi),</math>

后者是<math>\Phi</math>的自同构群（自[[自然变换|自然等价]]）。我们给出范畴的抽象分类，其中给出到集合范畴的函子，这样就可以识别''G''投射有限的''G''集范畴。

为了了解这如何应用于域的情形，必须研究[[域的张量积]]。[[拓扑斯]]理论中，这是原子拓扑斯研究的一部分。

== 另见 ==
*[[淡中范畴]]
*[[纤维函子]]
*[[远阿贝尔几何]]

==参考文献==
* {{cite book|
last=Grothendieck|
first=A.|
title=SGA1 ''Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961''|
series=Lecture Notes in Mathematics |volume=224 |isbn=978-3-540-36910-3 |
year=1971|
publisher=SpringerSphiwe Verlag
|display-authors=etal |arxiv=math/0206203 }}
* {{cite book|
last=Joyal|
first=André|author2=Tierney, Myles|
title=An Extension of the Galois Theory of Grothendieck|
series=Memoirs of the American Mathematical Society|
year= 1984|
isbn=0-8218-2312-4
}}

* {{cite book |last1=Borceux |first1=F. |last2=Janelidze |first2=G. |title=Galois theories |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |isbn=0-521-80309-8 }} (This book introduces the reader to the Galois theory of [[Grothendieck]], and some generalisations, leading to Galois [[groupoids]].)
*{{cite book |first=T. |last=Szamuely |title=Galois Groups and Fundamental Groups |url=https://books.google.com/books?id=YUAgAwAAQBAJ |date=2009 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-48114-4}}
* {{cite arXiv |last1=Dubuc |first1=E.J |last2=de la Vega |first2=C.S. |title=On the Galois theory of Grothendieck |year=2000 |eprint=math/0009145}}

*{{cite journal|authorlink1=Olivia Caramello |last= Caramello|first= Olivia |date=2016 |title=Topological galois theory |journal=[[Advances in Mathematics]] |volume= 291 |pages= 646–695|doi=10.1016/j.aim.2015.11.050 |doi-access= free |arxiv=1301.0300 }}

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[[Category:代数几何]]
[[Category:范畴论]]