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'''格罗斯–皮塔耶夫斯基方程'''（Gross–Pitaevskii 方程，以{{le|尤金·格罗斯|Eugene P. Gross}}命名<ref>{{cite journal|title=Structure of a quantized vortex in boson systems|journal=Il Nuovo Cimento |volume=20|issue=3|date=May 1961|author=Gross, E.P.|pages=454–457|doi=10.1007/BF02731494}}</ref>与{{le|列夫·皮塔耶夫斯基|Lev Pitaevskii}}<ref>{{cite journal|url=http://www.citeulike.org/user/ssjjll/article/7001053|journal=[[Soviet Physics JETP]]|title=Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas|accessdate=2011-03-31|year=1961|volume=13|issue=2|pages=451–454|author=|archive-url=https://web.archive.org/web/20120320142716/http://www.citeulike.org/user/ssjjll/article/7001053|archive-date=2012-03-20|dead-url=yes}}</ref>) 描述了全同[[玻色子]]量子体系的基态，其中使用了[[哈特里－福克方程|哈特里－福克近似]]与[[赝势]]相互作用模型。

在哈特里－福克近似中，<math>N</math>个玻色子体系的总[[波函数]]<math>\Psi</math>为单粒子波函数<math>\psi</math>之积
:<math>
\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N)=\psi(\mathbf{r}_1)\psi(\mathbf{r}_2)\dots\psi(\mathbf{r}_N)
</math>
其中<math>\mathbf{r}_i</math>为第<math>i</math>个玻色子的坐标。

赝势模型下的哈密顿量为
:<math>
H=\sum_{i=1}^N \left(-{\hbar^2\over 2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}_i^2}+V(\mathbf{r}_i)\right)
+\sum_{i<j}{4\pi\hbar^2a_s\over m}\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j),
</math>
其中<math>m</math>为玻色子质量，<math>V</math>为外势场，<math>a_s</math>为玻色子-玻色子散射长度，<math>\delta(\mathbf{r})</math>为狄拉克δ函数。

如果单粒子波函数满足格罗斯–皮塔耶夫斯基方程，
:<math>
\left(-\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}^2} + V(\mathbf{r})  + {4\pi\hbar^2a_s\over m}\vert\psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\psi(\mathbf{r})=\mu\psi(\mathbf{r}),
</math>
则总波函数在归一化条件<math>\int dV |\psi|^2=N</math>下可以使赝势模型哈密顿量的总能量最小。

格罗斯–皮塔耶夫斯基方程是描述[[玻色-爱因斯坦凝聚]]单粒子波函数的模型方程。它有类似[[金兹堡－朗道方程]]的形式，也会被称为[[非线性薛定谔方程]].

[[玻色-爱因斯坦凝聚]](BEC) 是处于同一量子态的玻色气体可以由同一个波函数进行描述。单个粒子可有单粒子波函数描述。真实气体中粒子相互作用包含在相应的多体薛定谔方程当中。当气体中粒子间距大于[[散射长度]]（即所谓的稀薄极限）时，真实的相互作用势就可以被替换为赝势。格罗斯–皮塔耶夫斯基方程的[[非线性]]来源于粒子间的相互作用。当把方程中相互作用的耦合常数设为零时，非线性消失，方程以描述单粒子在势阱中的单粒子薛定谔方程的形式出现。

==方程形式==
皮塔耶夫斯基方程的形式类似于一般薛定谔方程，但是多出一个相互作用项。耦合常数<math>g</math>正比于两个相互作用玻色子间的散射长度<math>a_s</math>

:<math>g=\frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m}</math>,

其中<math>\hbar</math>为约化[[普朗克常数]]。
[[能量密度]]为

:<math>\mathcal{E}=\frac{\hbar^2}{2m}\vert\nabla\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + V(\mathbf{r})\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + \frac{1}{2}g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^4, </math>

其中<math>\Psi</math>为波函数，<math>V</math>为外部势场。
对于体系内粒子数守恒的不含时格罗斯–皮塔耶夫斯基方程

:<math>\mu\Psi(\mathbf{r}) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})  + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r}) </math>

其中<math>\mu</math> 为[[化学势]]。化学势是从粒子数与波函数间的关系中得到的

:<math>N = \int\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 \, d^3r. </math>

从不含时格罗斯–皮塔耶夫斯基方程中，我们可以求得各种外势场中玻色爱因斯坦凝聚的内部结构（例如，[[谐振子势]]阱）。

含时格罗斯–皮塔耶夫斯基方程为

:<math>i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r},t)\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r},t). </math>

利用含时格罗斯–皮塔耶夫斯基方程人们可以研究玻色爱因斯坦凝聚的动力学问题。

==方程解==

鉴于格罗斯–皮塔耶夫斯基方程为[[非线性偏微分方程]]，一般很难求得解析解，大多数求解应用近似方法。

===精确解===
====自由粒子====
最简单的情况是描述[[自由粒子]]，外势场<math>V(\mathbf{r}) =0</math>，

: <math>\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{\frac{N}{V}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}. </math>

该解常被称为哈特里解。尽管它满足格罗斯–皮塔耶夫斯基方程，由于相互作用，其[[能谱]]中含有间隙

: <math>E(\mathbf{k}) = N \left[ \frac{\hbar^2k^2}{2m}+ g \frac{N}{2 V}\right].</math>

根据[[Hugenholtz–Pines定理]]<ref>{{cite journal|author= Hugenholtz, N. M.|coauthor=Pines, D.|title=Ground-state energy and excitation spectrum of a system of interacting bosons|year=1959|journal=[[Physical Review]]|volume=116|issue=3|pages=489–506|doi= 10.1103/PhysRev.116.489|bibcode = 1959PhRv..116..489H }}</ref>，含斥力相互作用的玻色气体并无能量间隙。

====孤子====
一维[[孤子]]可以构成玻色爱因斯坦凝聚，取决于相互作用是[[引力]]还是[[斥力]]，形成亮孤子或暗孤子。两种孤子都是均匀密度背景下的定域扰动。如若相互作用是斥力形式的， <math>g>0</math>，格罗斯–皮塔耶夫斯基方程的可能解为，

:<math>\psi(x) = \psi_0\tanh\left(\frac{x}{\sqrt{2}\xi}\right)</math>,

其中<math>\psi_0</math>为凝聚态波函数在无穷远处的值，<math>\xi = \hbar/\sqrt{2mn_0g}</math>为[[相干长度]]。此解代表暗孤子，它描述在空间上原本均匀分布的密度出现了缺失。暗孤子是一种[[拓扑缺陷]]，因为<math>\psi </math>在经过原点处符号发生翻转。这对应了数学上<math>\pi</math>的[[相移]]。

对于<math>g<0</math>

:<math>\psi(x,t) = \psi(0)e^{-i\mu t/\hbar}\frac{1}{\cosh\left[\sqrt{2m\vert\mu\vert/\hbar^2}x\right]},</math>

其中化学势为<math>\mu = g\vert\psi(0)\vert^2/2</math>。此解为亮孤子, 代表了空间上的凝聚。

====一维方势阱====
===变分解===
对于难以得到精确解析解的体系，人们可以使用[[变分法]]。代入含某可调参数的已知波函数，求解体系自由能，找到使体系能量降为最低的参数。

===托马斯-费米近似===

如果气体中粒子数量很多，原子间相互作用极大，以至于原子自身动能可以从格罗斯–皮塔耶夫斯基方程中忽略，此时近似为[[托马斯-费米近似]]。

:<math>\psi(x,t) = \sqrt{\frac{\mu - V(x)}{NU_0}}</math>

===玻戈留玻夫近似===

对格罗斯–皮塔耶夫斯基方程的[[玻戈留玻夫]]处理可以找到玻色爱因斯坦凝聚的元[[激子]]。凝聚态波函数可以近似为[[平衡态]]波函数<math>\psi_0=\sqrt{n}e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}</math>与一个小的扰动<math>\delta\psi</math>之和

:<math>\psi = \psi_0 + \delta\psi </math>

此波函数与其复共轭代入到含时格罗斯–皮塔耶夫斯基方程中，对<math>\delta\psi</math>作展开近似到第一项（线性化）

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi+V\delta\psi+g(2|\psi_0|^2\delta\psi+\psi^2\delta\psi^*) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi}{\partial t}</math>

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi^*+V\delta\psi^*+g(2|\psi_0|^2\delta\psi^*+\psi^2\delta\psi) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi^*}{\partial t}</math>

假定<math>\delta\psi</math>有如下形式

:<math> \delta\psi = e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}(u(\boldsymbol{r})e^{-i\omega t} - v^*(\boldsymbol{r})e^{i\omega t})</math>

可以得到如下<math>u</math>和<math>v</math>的耦合微分方程

:<math> (-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu-\hbar\omega)u-gnv = 0 </math>
:<math> (-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu+\hbar\omega)v-gnu = 0 </math>

对于[[各向同性]]体系，即<math>V(\boldsymbol{r})=0</math>，可以假设<math>u</math>和<math>v</math>是动量为<math>\boldsymbol{q}</math>的[[平面波]]，可得能谱

:<math> \hbar\omega = \epsilon_\boldsymbol{q} = \sqrt{\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}(\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}+2gn)} </math>

当<math>\boldsymbol{q}</math>很大时，[[色散关系]]呈现为<math>\boldsymbol{q}</math>的平方，正如所料类似于非相互作用的激子。当<math>\boldsymbol{q}</math>很小，色散关系为线性， 

:<math>\epsilon_\boldsymbol{q} = s\hbar q</math>

其中<math>s=\sqrt{ng/m}</math>为凝聚态中的声速。 <math>\epsilon_\boldsymbol{q}/(\hbar q)>s</math>表明，根据[[Landau]]的判则，该凝聚态为[[超流体]]，意味着如果一个物体在凝聚态中以小于<math>s</math>的速度运动，它不会形成激子，运动无[[耗散]]，此为超流体的特征。实验上，采用高度聚焦激光，激光频率较共振频率小，已经证明了凝聚态的超流性<ref>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v83/i13/p2502_1 ''Evidence for a Critical Velocity in a Bose–Einstein Condensed Gas'' C. Raman, M. Köhl, R. Onofrio, D. S. Durfee, C. E. Kuklewicz, Z. Hadzibabic, and W. Ketterle ]</ref>。采用[[二次量子化]]公式，微观方法可以描述凝聚态同样的色散关系。

==参考文献==
{{Reflist}}
Theory of Bose_Einstein condensation in trapped gases   Franco Dalfovo and Stafano Giorgini   Reviews Modern Physics

==更多阅读==
*{{Cite book |first=C. J. |last=Pethick |lastauthoramp=yes |first2=H. |last2=Smith |title=Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases |url=https://archive.org/details/boseeinsteincond0000peth |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |year=2002 |isbn=0521665809 |postscript=<!--None--> }}.
*{{Cite book |first=L. P. |last=Pitaevskii |lastauthoramp=yes |first2=S. |last2=Stringari |title=Bose–Einstein Condensation |publisher=Clarendon Press |location=Oxford |year=2003 |isbn=0198507194 |postscript=<!--None--> }}.

[[Category:量子力学]]