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{{Distinguish|格林定律}}
{{微积分学}}
在物理學與數學中，'''格林定理'''给出了沿封閉曲線 {{VarSerif|C}} 的[[線積分]]與以 {{VarSerif|C}} 為邊界的平面區域 {{VarSerif|D}} 上的[[雙重積分]]的联系。格林定理是[[斯托克斯定理]]的二維特例，以[[英國]]數學家[[喬治·格林]]（George Green）命名。<ref>George Green, ''An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism'' (Nottingham, England:  T. Wheelhouse, 1828).  Green did not actually derive the form of "Green's theorem" which appears in this article; rather, he derived a form of the "divergence theorem", which appears on [http://books.google.com/books?id=GwYXAAAAYAAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=false pages 10-12] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=GwYXAAAAYAAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=false|date=20140502130638}} of his ''Essay''.<br />
In 1846, the form of "Green's theorem" which appears in this article was first published, without proof, in an article by [[Augustin-Louis Cauchy|Augustin Cauchy]]:  A. Cauchy (1846) [http://archive.org/stream/ComptesRendusAcademieDesSciences0023/ComptesRendusAcadmieDesSciences-Tome023-Juillet-dcembre1846#page/n254/mode/1up "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée"]  (On integrals that extend over all of the points of a closed curve), ''Comptes rendus'', '''23''': 251-255.  (The equation appears at the bottom of page 254, where (S) denotes the line integral of a function ''k''  along the curve ''s''  that encloses the area S.)<br />
A proof of the theorem was finally provided in 1851 by [[Bernhard Riemann]] in his inaugural dissertation:  Bernhard Riemann (1851) [http://books.google.com/books?id=PpALAAAAYAAJ&pg=PP5#v=onepage&q&f=false ''Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse''] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=PpALAAAAYAAJ&pg=PP5#v=onepage&q&f=false|date=20140514205840}} (Basis for a general theory of functions of a variable complex quantity), (Göttingen, (Germany):  Adalbert Rente, 1867); see pages 8 - 9.</ref>

==定理==
设闭区域<math>D</math>由分段光滑的简单曲线 <math>L</math>围成，[[函数]] <math>P(x,y)</math>及<math>Q(x,y)</math>在<math>D</math>上有一阶连续[[偏导数]]，则有<ref>Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3</ref><ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7</ref>

:<math>\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x \mathrm{d}y =\oint_{L^{+}}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)</math>

其中<math>L^+</math>是<math>D</math>的取正向的边界曲线。

此公式叫做'''格林公式'''，它给出了沿着闭曲线<math>L</math>的[[曲线积分]]与<math>L</math>所包围的区域<math>D</math>上的二重积分之间的关系。另见[[格林恆等式]]。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

==''D'' 为一个简单区域时的证明==
[[File:Green's-theorem-simple-region.svg|thumb|300px|right|]]
以下是特殊情况下定理的一个证明，其中''D''是一种I型的区域，''C''<sub>2</sub>和''C''<sub>4</sub>是竖直的直线。对于II型的区域''D''，其中''C''<sub>1</sub>和''C''<sub>3</sub>是水平的直线。

如果我们可以证明

:<math>\int_{C} L\, \mathrm{d}x = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}A\qquad\mathrm{(1)}</math>

以及

:<math>\int_{C} M\, \mathrm{d}y = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, \mathrm{d}A\qquad\mathrm{(2)}</math>

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域''D''定义为：

:<math>D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}</math>

其中''g''<sub>1</sub>和''g''<sub>2</sub>是区间[''a'', ''b'']内的[[连续函数]]。计算(1)式中的二重积分：

:{|
|-
|<math> \iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}A</math>
|<math>=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L (x,y)}{\partial y}\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x \right] </math>
|-
|
|<math> = \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, \mathrm{d}x\qquad\mathrm{(3)}</math>
|}

现在计算(1)式中的曲线积分。''C''可以写成四条曲线''C''<sub>1</sub>、''C''<sub>2</sub>、''C''<sub>3</sub>和''C''<sub>4</sub>的并集。

对于''C''<sub>1</sub>，使用[[参数方程]]：。那么：

:<math>\int_{C_1} L(x,y)\, \mathrm{d}x = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, \mathrm{d}x</math>

对于''C''<sub>3</sub>，使用[[参数方程]]：<math>x = x,\, y = g_1(x),\,a \leq x \leq b</math>。那么：

:<math> \int_{C_3} L(x,y)\, \mathrm{d}x = -\int_{-C_3} L(x,y)\, \mathrm{d}x = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, \mathrm{d}x</math>

沿着''C''<sub>3</sub>的积分是负数，因为它是沿着反方向从''b''到''a''。在''C''<sub>2</sub>和''C''<sub>4</sub>上，''x''是常数，因此：

:<math> \int_{C_4} L(x,y)\, \mathrm{d}x = \int_{C_2} L(x,y)\, \mathrm{d}x = 0</math>

所以：

:{|
|<math> \int_{C} L\, \mathrm{d}x </math>
|<math> = \int_{C_1} L(x,y)\, \mathrm{d}x + \int_{C_2} L(x,y)\, \mathrm{d}x + \int_{C_3} L(x,y)\, \mathrm{d}x + \int_{C_4} L(x,y)\, \mathrm{d}x </math>
|-
|
|<math> = -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, \mathrm{d}x + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, \mathrm{d}x\qquad\mathrm{(4)}</math>
|}

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

==应用==
===计算区域面积===
使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积<ref name="stuart">{{cite book|last=Stewart|first=James|title=Calculus|year=2007|url=https://archive.org/details/isbn_9780495294887|publisher=Thomson, Brooks/Cole|edition=6th}}</ref>。因为区域''D''的面积等于<math>A = \iint_{D}dA</math>，所以只要我们选取适当的''L''与''M''使得<math>\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 1</math>，就可以通过<math>A = \oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y)</math>来计算面积。

一种可能的取值是<math>A=\oint_{C} x\,\mathrm{d}y = -\oint_{C} y\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \oint_{C}x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x</math><ref name="stuart" />。

==参见==
*[[高斯公式]]
*[[斯托克斯公式]]
*[[格林函數]]

==参考文献==
{{Reflist}}

[[Category:向量分析]]
[[Category:格林公式|*]]
[[Category:数学定理|G]]
[[Category:数学公式]]