查看“︁格朗沃尔不等式”︁的源代码

在[[数学]]中，'''格朗沃尔引理'''或'''格朗沃尔不等式'''说明了对于满足一定的[[微分方程]]或[[积分方程]]的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的[[不等式]]。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。

格朗沃尔不等式常常被用来估计[[常微分方程]]的解的取值范围。比如，它可以用来证明[[初值问题]]的解的[[唯一性]]（见[[柯西-利普希茨定理]]）。
 
格朗沃尔不等式的名称来自[[多玛·哈肯·格朗沃尔]]。格朗沃尔是一位[[瑞典]]的[[数学家]]，后来移居[[美国]]。

格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明<ref name="gronwall">T. H. Gronwall: Note on the derivative with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, [[Annals of Mathematics|Ann. of Math]] 20 (1919), 292–296.</ref>。而积分形式则是由[[理查德·贝尔曼]]（{{lang|en|Richard Bellman}}）在1943年证明<ref>Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, Duke Math. J. 10 (1943), 643–647.</ref>。

== 微分形式 ==

设 ''I'' 是一个[[实数]][[区间]]，记为：<nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;∞) 或 <nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;''b''<nowiki>]</nowiki> 或 <nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;''b'')，其中 ''a''&nbsp;<&nbsp;''b''。又设''β'' 和 ''u'' 为定义在 ''I'' 上的实数值的[[连续函数]]。假设 ''u'' 是一个在 ''I'' 的[[内部]]（也就是不包括端点）[[微分|可微]]的函数，并且满足如下的微分不等式：

:<math>u'(t) \le \beta(t)\,u(t),\qquad t\in I^\circ,</math>

那么对于所有的<math>t\in I^\circ</math>，函数 ''u'' 都小于等于以下[[微分方程]]<math>y'(t) = \beta(t)\,y(t)</math>的解：

:<math>u(t) \le u(a) \exp\biggl(\int_a^t \beta(s)\, \mathrm{d} s\biggr)</math>


注意：不等式对函数 ''β'' 和 ''u'' 的符号没有任何要求。 

=== 证明 ===

如果设

:<math>v(t) =  \exp\biggl(\int_a^t \beta(s)\, \mathrm{d} s\biggr)</math>

是以下微分方程 

:<math>v'(t) = \beta(t)\,v(t),</math>

其中 ''v''(''a'')&nbsp;= 1 的解，那么对所有的 ''t'' 都有 ''v''(''t'')&nbsp;> 0， 因此根据复合函数求导法则中的[[除法定则]]：

:<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v-v'u}{v^2} \le \frac{\beta u v - \beta v u}{v^2} = 0 </math>

对所有的 ''t''&nbsp;>&nbsp;''a'' 成立，因此 

:<math>\frac{u(t)}{v(t)}\le \frac{u(a)}{v(a)}=u(a)</math>

于是格朗沃尔不等式得证。

== 积分形式 ==
设 ''I'' 是一个[[实数]][[区间]]，记为：<nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;∞) 或 <nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;''b''<nowiki>]</nowiki> 或 <nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;''b'')，其中 ''a''&nbsp;<&nbsp;''b''。又设  ''α''、''β'' 和 ''u'' 为定义在 ''I'' 上的实数值的[[函数]]。假设 ''β'' 和 ''u'' 是连续的，则有：

*(a) 如果&nbsp;''β'' 是非负函数并且 ''u'' 满足如下的积分不等式：
::<math>u(t) \le \alpha(t) + \int_a^t \beta(s) u(s)\,\mathrm{d}s,\qquad t\in I</math>，
:那么
::<math> u(t) \le \alpha(t) + \int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl(\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\mathrm{d}s,\qquad t\in I</math>。
*(b) 如果在之前的条件下， ''α'' 还是一个常数，那么

::<math>u(t) \le \alpha\exp\biggl(\int_a^t\beta(s)\,\mathrm{d}s\biggr),\qquad t\in I.</math>

注意：
* 不等式的成立条件里并没有限制 ''α'' 和 ''u'' 的符号；
* 相比于微分形式，积分形式中对函数 ''u'' 的可微性没有做要求；


=== 证明 ===
(a) 定义
:<math>v(s) = \exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\int_a^s\beta(r)u(r)\,\mathrm{d}r,\qquad s\in I.</math>

则运用复合函数求导法则中的[[乘積法則]]、[[链式法则]]、[[指数函数]]的求导法则以及[[微积分基本定理]]，可以得到：

:<math>v'(s) = \biggl(\underbrace{u(s)-\int_a^s\beta(r)u(r)\,\mathrm{d}r}_{\le\,\alpha(s)}\biggr)\beta(s)\exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\mathrm{d}r\biggr),
\qquad s\in I</math>，

由于注意到括号中的部分小于 ''α''，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 ''β'' 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 ''v''(''a'')&nbsp;=&nbsp;0，因此积分式等价于：

:<math>v(t) \le\int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\mathrm{d}s.</math>

再运用第一步里 ''v''(''t'') 的定义，就得到：

:<math>\begin{align}\int_a^t\beta(s)u(s)\,\mathrm{d}s
&=\exp\biggl(\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)v(t)\\
&\le\int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl(\underbrace{\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r-\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r}_{=\,\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r}\biggr)\mathrm{d}s
\end{align}</math>。

最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。

(b) 如果函数 ''α'' 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：

:<math>\begin{align}u(t)&\le\alpha+\biggl({-}\alpha\exp\biggl(\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\biggr)\biggr|^{s=t}_{s=a}\\
&=\alpha\exp\biggl(\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr),\qquad t\in I \end{align}</math>。

==参见==
*[[全局解]]

==参考来源==
<references />
*楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
*李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
*Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, ''Averaging methods in nonlinear dynamical systems'', Springer,2007.

[[Category:不等式]]
[[Category:数学定理]]
[[Category:微分方程]]