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{{NoteTA|G1=物理学}}
在[[數學物理學]]中，'''格拉斯曼數'''（又稱'''反交換數'''）是一種用於[[狄拉克場]][[路徑積分表述|路徑積分表示]]的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者[[赫爾曼·格拉斯曼]]命名的。

==性質==

各格拉斯曼變數<math>\theta_i</math>均與代數的實數元無關，它們之間互成[[反交換律|反交換]]關係，但與一般數<math>x</math>間則為交換關係：

: <math>\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x = x \theta_i</math>。

需要注意的是，此算符的平方為零：

: 由於<math>\theta_i \theta_i = -\theta_i \theta_i</math>，所以<math>(\theta_i)^2 = 0\,</math>。

為了能讓[[費米子]]也有[[路徑積分]]，格拉斯曼數的積分需要有以下特性：

* 線性
: <math>\int\,[a f(\theta) + b g(\theta) ]\, d\theta = a \int\,f(\theta)\, d\theta + b \int\,g(\theta)\, d\theta </math>

* [[分部積分法|分部積分]]公式
: <math>\int \left[\frac{\partial}{\partial\theta}f(\theta)\right]\, d\theta = 0</math>。

因此格拉斯曼量的積分有以下的規定：
: <math>\int\, 1\, d\theta = 0</math>
: <math>\int\, \theta\, d\theta = 1</math>。

所以結論為任何格拉斯曼數的微分及積分都是相同的。

在[[量子場論]]的[[路徑積分表述]]中，在描述費米子反交換場時，需要用到以下含格拉斯曼量的[[高斯積分]]：

: <math>\int \exp\left[\theta^TA\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A</math>。

其中<math>A</math>為<math>n\times n</math>[[矩陣]]。

由格拉斯曼數集合所生成的[[代數]]叫[[外代數|格拉斯曼代數]]。由<math>n</math>個線性獨立的格拉斯曼數生成的代數，其[[維度]]為<math>2^n</math>。

格拉斯曼代數是[[超交換代數]]的原型。超交換代數還可以分成偶變量與奇變量，因此可以滿足分層的[[交換律]]（特別是奇變量為反交換）。

==外代數==

格拉斯曼代數是生成元所張成的[[向量空間]]的[[外代數]]。外代數的定義與基底的選擇無關。

==矩陣表示==

格拉斯曼數都能以矩陣形式表示。例如，已知一格拉斯曼代數，是由兩個格拉斯曼數<math>\theta_1</math>及<math>\theta_2</math>所生成。這些格拉斯曼數可用4×4矩陣表示：

:<math>\theta_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{bmatrix}
</math>。

一般來說，由n個生成元生成的格拉斯曼代數，可用<math>2^n \times 2^n</math>的正方形矩陣表示。在物理上，這些矩陣可被視為[[階梯算符|升算符]]，作用對象為佔位數基底中n個費米子的[[希爾伯特空間]]。由於每個費米子的佔位數皆為0或1，因此共有<math>2^n</math>種基底態。在數學上，這些矩陣可被視為線性算符，對應與格拉斯曼代數自身的左外乘法。

==應用==

在[[量子場論]]中，格拉斯曼數為反交換算符的“經典類比”。它們用於定義[[狄拉克場|費米子場]]的[[路徑積分表述|路徑積分]]，因此需要為格拉斯曼數的積分下定義，這種積分又叫[[別列津積分]]。

格拉斯曼數在為[[超流形]]（或[[超空間]]）下定義時有重要用途，此時它們被用作“反交換座標”。

==另見==
* [[格拉斯曼流形]]
* [[格拉斯曼定律]] ([[音韻學]])
* [[格拉斯曼定律 (色彩)]]
* [[外代數]]

==參考資料==
* {{cite book
|author = Michael Peskin
|coauthors = Daniel Schroeder
|title = An Introduction to Quantum Field Theory 
|url = https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk
|series = Frontiers in Physics
|year = 1995 
|publisher = Westview Press
|location = Reading, Massachusetts
|isbn =0201503972 
|pages=pp298-302
}}

[[Category:超複數]]
[[Category:超對稱]]
[[Category:量子場論]]