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'''格尔丰德-施奈德定理'''（{{lang-en|Gelfond–Schneider theorem}}）是一个可以用于证明许多数的[[超越数|超越性]]的结果。这个定理由苏联数学家[[亚历山大·格尔丰德]]和德国数学家[[西奧多·施耐德]]在1934年分别独立证明，它解決了[[希尔伯特第七问题]]。

== 表述 ==

如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>是[[代数数]]，其中<math>\alpha \notin \{0, 1\}</math>，且<math>\beta</math>不是[[有理数]]，那么任何<math>\alpha^{\beta} = e^{\{\beta \log \alpha\}}</math>的值一定是[[超越数]]。

== 评论 ==

* <math>\alpha</math> 和 <math>\beta</math> 不限于[[实数]]，也可以是虚部不为零的[[复数 (数学)|复数]]。因此，<math>\alpha^{\beta} = \exp \{\beta \log \alpha\}</math>可以是[[多值函数|多值]]的，其中“log”表示[[复数对数]]，且该定理对每个值都是成立的。
* 该定理的一个等价的表述是：如果 <math>\alpha</math> 和 <math>\gamma</math> 是非零的代数数，那么 <math>(\log \gamma)/(\log \alpha)</math> 要么是有理数，要么是超越数。
:: 使用反證法。
:: 令 <math>\beta = (\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_{\alpha}\gamma</math>
:: 假設 <math>\beta</math> 不為超越數，也不為有理數，即為代數數
:: 根據此定理，<math>\alpha^{\beta} = \gamma</math> 為超越數
:: 但 <math>\alpha^{\beta} = \alpha^{\log_{\alpha}\gamma} = \gamma </math> 卻是代數數，矛盾。
:: 故 <math>(\log \gamma)/(\log \alpha)</math> 要么是有理数，要么是超越数。
* 如果没有 <math>\alpha</math>，<math>\beta</math> 是代数数的限制，这个定理未必成立。例如：
** 令 <math>\alpha = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> 為超越數（由本定理可得知），<math>\beta = \sqrt{2}</math> 為代數數，則
:::<math>{\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math>，是代數數。
** 令 <math>\alpha=3</math> 為代數數，<math>\beta=\log 2/\log 3</math> 為超越數，則
:::<math>\alpha^{\beta}=2</math>，是代数数。

== 定理的应用 ==

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

* <math>2^{\sqrt{2}}</math>（[[2的根号2次方|格尔丰德-施奈德常数]]）和它的平方根 <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math>。
* [[格尔丰德常数]]
<math>e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i} = 23.1406926328 \ldots</math>
* <math> i^i = \left( e^{\frac{i \pi}{2}} \right)^i = e^{-\frac{\pi}{2}} = 0.20787957635 \ldots</math>

== 参见 ==

* [[林德曼-魏尔斯特拉斯定理]]
* [[Schanuel猜想]]，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

== 参考文献 ==
* ''Irrational Numbers'', by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
* {{MathWorld|title=Gelfond-Schneider Theorem|urlname=GelfondsTheorem}}

[[Category:超越數]]
[[Category:数论定理]]