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{{Refimprove|time=2023-01-22T23:56:53+00:00}}

'''根軸'''（{{lang-en|radical axis}}）是由兩個[[圓]]唯一確定的，與兩圓連心線垂直的直線，其定義為關於兩圓的[[圓冪定理#圓冪定義|圓冪]]相等的點的[[軌跡]]。

== 性質 ==
=== 幾何形狀及其位置的確定 === 
令向量<math>\vec x</math>、<math>\vec m_1</math>、<math>\vec m_2</math>分別為根軸上的點 <math>P</math>、兩圓[[圓心]]<math>M_1</math>、<math>M_2</math>的位置。則根軸的「曲線」方程為：<br>
:<math>(\vec x-\vec m_1)^2-r_1^2=(\vec x-\vec m_2)^2-r_2^2, </math>
即
:<math> 2\vec x\cdot(\vec m_2-\vec m_1)+\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2=0.</math>
[[File:Potenz-gerade-ber-d1d2.svg|thumb|upright=1.4|<math>d_1,d_2</math>的定義和計算]]
從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因<math>\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2</math>[[內積]]大小僅由<math>x</math>在<math>\vec m_2 -\vec m_1</math>方向的分量決定，所以根軸是一條垂直於連心線的直線。

根軸在連心線上的[[垂足 (幾何)|垂足]]<math>L</math>與圓心<math>M_1</math>、<math>M_2</math>的距離<math>d_1</math>、<math>d_2</math>分別滿足<br>
<math>d_1 = \frac{d^2+{r_1}^2-{r_2}^2}{2d}\ ,\qquad d_2 = \frac{d^2+{r_2}^2-{r_1}^2}{2d}</math>,<br>
其中 <math>d = |M_1 M_2|</math>. 

如果兩圓相交，則根軸為它們交點的連線；如果兩圓[[相切]]，則根軸為它們的[[切線|公切線]]<ref name=":0">{{Cite book|last=Chen|first=Evan|title=Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads|chapter=2.3 The Radical Axis and Radical Center|publisher=[[美國數學協會|MAA]]|year=2016|isbn=978-1-61444-411-4|location=United States of America|pages=26–30|chapter-url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ebooks/pdf/EGMO_chapter2.pdf|mr=3467691|access-date=2023-01-23|archive-date=2023-01-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20230123001227/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ebooks/pdf/EGMO_chapter2.pdf|dead-url=no}}</ref>{{rp|27}}。

== 根心 ==
===定義===
三個圓能畫出三條根軸，這三條根軸交於一點，稱為三個圓的'''根心'''，若三個圓的圓心共線，則其根心為垂直於連心線方向上的[[無窮遠點]]<ref name=":0" />{{rp|27}}。

===存在性的證明===
考慮三圓<math>Q_1</math>、<math>Q_2</math>、<math>Q_3</math>兩兩構成的三條根軸。令<math>P</math>為<math>Q_1</math>、<math>Q_2</math>根軸以及<math>Q_1</math>、<math>Q_3</math>根軸的交點。有
:<math>\operatorname{Pow}_{Q_1}(P)=\operatorname{Pow}_{Q_2}(P)</math>，<math>\operatorname{Pow}_{Q_1}(P)=\operatorname{Pow}_{Q_3}(P)</math>，<br>
其中<math>\operatorname{Pow}_{Q_i}(P)</math>表示點<math>P</math>關於圓<math>Q_i</math>的冪。

則知點<math>P</math>關於<math>Q_2</math>和<math>Q_3</math>的圓冪都相等，因此它在第三條根軸上，換言之，三條根軸共點，存在根心。

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

== 外部鏈結 ==
* {{mathworld|RadicalLine|Radical Line}}

[[Category:圆]]