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{{NoteTA
| G1 = IT
| zh-cn:控制论;   zh-tw:模控學;
| zh-hans:环;     zh-hant:迴路;
| zh-hans:反馈;   zh-hant:回授;
| zh-hans:作图;   zh-hant:繪圖;
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}}
[[File:Rlocus3.png|thumbnail|一個根軌跡圖，部份的極點在右半平面，表示當時的系統會不穩定]]

'''根軌跡圖'''（root locus）是[[控制理論]]及[[穩定性理論]]中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是[[回授]]系統的[[环路增益]]）變化時，系統極點的變化。根軌跡圖是由{{le|Walter R. Evans|Walter R. Evans}}所發展的技巧，是[[經典控制理論]]中的[[稳定性判据]]，可以判斷[[線性系統|線性]][[非時變系統|非時變]]系統是否穩定。

根軌跡圖是在複數[[S平面|s-平面]]中，系統[[閉迴路傳遞函數]]的[[极点_(复分析)|极点]]隨著增益參數的變化（參照{{le|極零點圖|Pole–zero plot}}）。

==用途==
[[File:Effect of Pole Location in a Root Locus Plot.PNG|thumbnail|極點位置及二階系統中自然頻率及阻尼比的關係]]
除了確認系統的穩定性外，根軌跡圖也可以用來設計回授系統的[[阻尼比]]（''ζ''）及[[自然頻率]]（''ω''<sub>''n''</sub>）。定阻尼比的線是從原點往外延伸的線，而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點，可以計算增益''K''並且實現其控制器。在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧，例如[[超前-滞后补偿器]]、PI、PD及[[PID控制器|PID]]控制器都可以用此技巧來近似設計。

以上使用[[阻尼比]]及[[自然頻率]]的定義，前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似，也就是說系統有一對主要的複數極點，不過多半的情形都不是如此，因此在實做時仍需要針對系統再進行模擬，確認符合需求。

==定義==
回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數[[S平面|s-平面]]上畫出在系統參數變化時，回授系統[[閉迴路極點]]的可能位置。這些點是根軌跡圖中滿足[[角度條件]]（angle condition）的點。根軌跡圖中特定點的參數數值可以用[[量值條件]]（magnitude condition）來計算。

假設有個回授系統，輸入信號<math>X(s)</math>、輸出信號<math>Y(s)</math>。其順向路徑[[传递函数]]為<math>G(s)</math>，回授路徑传递函数為<math>H(s)</math>。

[[File:Simple feedback system.svg|center]]

此系統的[[閉迴路傳遞函數]]為{{sfn|Kuo|1967|p=331}}

:<math>T(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} =  \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}</math>

因此，閉迴路傳遞函數的極點為[[特徵方程式]]<math>1 + G(s)H(s) = 0</math>的根，方程式的根可以令<math>G(s)H(s) = -1</math>來求得。

若是一個沒有純粹延遲的系統，<math>G(s)H(s)</math>的乘積為有理的多項式函數，可以表示為{{sfn|Kuo|1967|p=332}}

:<math>G(s)H(s) = K \frac{ (s + z_1) (s + z_2) \cdots (s + z_m)}{(s + p_1) (s + p_2) \cdots (s + p_n) }</math>

其中<math>-z_i</math>為<math>m</math>個零點，<math>-p_i</math>為<math>n</math>個極點，而<math>K</math>為增益。一般而言，root locus diagram會標示在不同參數<math>K</math>時，傳遞函數極點的位置。而root locus plot就會畫出針對任意<math>K</math>值下，使<math>G(s)H(s) = -1</math>的極點 ，但無法看出<math>K</math>值變化時，極點移動的趨勢。

因為只有<math>K</math>的係數以及簡單的單項，此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算，也就是將量值相乘或是相除，角度相加或是相減。向量公式的由來是因為有理多項式<math>G(s)H(s)</math>的每一個因式<math>(s-a)</math>就表示一個s-平面下由<math>a</math>到<math>s</math>的向量，因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。

根據矩陣數學，有理多項式的相角等於所有分子項的角度和，減去所有分母項的角度和。因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上，只要看開迴路的零點及極點即可，這稱為[[角度條件]]。 

有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積，再除以所有分母項量值的乘積。若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上，不需要計算有理多項式的量值，因為<math>K</math>值會變，而且可以是任意的整數。針對根軌跡圖上的每一點，都可以計算其對應的<math>K</math>值，此即為[[量值條件]]。

以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖<ref>{{Citation |first=Walter R. |last=Evans |title=Spirule Instructions |year=1965 |publisher=The Spirule Company |location=Whittier, CA }}</ref><!-- (have not been able to find a photo of a spirule yet.) -->

根軌跡圖只能提供在增益<math>K</math>變化時閉迴路極點的位置資訊。<math>K</math>的數值不影響零點的位置，閉迴路零點和開迴路的零點相同。

===角度條件===
{{main|角度條件}}

複數s平面上的點<math>s</math>若滿足下式，即符合[[角度條件]]（angle condition）

:<math>\angle (G(s)H(s)) = \pi+2k\pi</math>

其中<math>k</math>為整數。

也就是說 

:<math>\sum_{i=1}^{m}\angle(s+z_i) - \sum_{i=1}^{n}\angle(s+p_i) = \pi+2k\pi</math>

開迴路零點到<math>s</math>點角度的和，減去開迴路極點到<math>s</math>點角度的和，除<math>2\pi</math>後的餘數需等於<math>\pi</math>。

===量值條件===
{{main|量值條件}}

在根軌跡圖上的特定點<math>s</math>，數值<math>K</math>若使下式成立，就符合[[量值條件]]（magnitude condition）

:<math>|G(s)H(s)| = 1</math>

也就是說 

:<math> K\frac{ |s + z_1| |s + z_2| \cdots |s + z_m|}{|s + p_1| |s + p_2| \cdots |s + p_n| } = 1</math>.

==繪製根軌跡圖==
[[Image:RL&ZARL-(1 3)-(1 3 5 1).png|thumb|300px|RL=根軌跡圖，ZARL=zero angle root locus]]

利用一些基本的技巧，可以用根軌跡法繪製Ｋ值變化時極點的軌跡。根軌跡圖可以看出回授系統在不同 <math>K</math> 下的穩定性以及動態特性<ref>{{Citation |first=W. R. |last=Evans |authorlink=Walter R. Evans |title=Graphical Analysis of Control Systems |journal= Trans. AIEE |issn=0096-3860 |volume=67 |issue=1 |pages= 547–551 |date= January 1948 |doi= 10.1109/T-AIEE.1948.5059708}}</ref><ref>{{Citation |first=W. R. |last=Evans |authorlink=Walter R. Evans |title=Control Systems Synthesis by Root Locus Method |journal=Trans. AIEE |issn=0096-3860 |volume=69 |issue=1 |pages=66–69 |date= January 1950 |doi=10.1109/T-AIEE.1950.5060121 }}</ref>。其規則如下：

* 標示開迴路的極點及零點
* 將[[實軸]]上，在[[奇數]]個[[極點]]及[[零點]]左邊的線段標示下來（例如一個、三個極點及零點）。
* 找[[渐近线]]

令''P''為極點的個數，''Z''為零點的個數，兩者相減即為渐近线的數量：

:<math>P - Z = \text{number of asymptotes} \, </math>

漸近線和實軸的交點在<math>\alpha</math>（稱為形心），往外延伸的角度為<math>\phi</math>：

:<math>\phi_l = \frac{180^\circ + (l - 1)360^\circ}{P-Z}, l = 1, 2, \ldots, P - Z</math>

:<math>\alpha = \frac{\sum_P - \sum_Z}{P - Z}</math>

其中<math>\sum_P</math>為所有極點數值的和，<math>\sum_Z</math>為所有明確零點數值的和

* 根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度
* 計算分離點（breakaway/break-in points）

根軌跡圖上的分離點（二條根軌跡圖上的軌跡相交的點）是滿足下式的根

:<math>\frac{dG(s)H(s)}{ds} = 0\text{ or }\frac{d\overline{GH}(z)}{dz} = 0</math>

只要解開''z''，實根即為分離點，若是虛數，表示沒有分離點。

==相關條目==
*[[劳斯–赫尔维茨稳定性判据]]
*[[奈奎斯特稳定判据]]
*[[波德圖#增益裕度及相位裕度|增益裕度及相位裕度]]
*[[波德圖]]
*[[相位裕度]]

==參考資料==
{{reflist}}
*{{citation |last=Kuo |first=Benjamin C. |title=Automatic Control Systems |edition=second |publisher=Prentice-Hall |location=Englewood Cliffs, NJ |year=1967 |lccn=67016388 |asin=B000KPT04C |oclc=3805225 |isbn= |chapter=Root Locus Technique |pages=329–388}}

==延伸閱讀==
*{{Citation
 |title= Numerical Computation of Root Loci Using the Newton-Raphson Technique
 |first= R. H. 
 |last=Ash
 |first2= G. H.
 |last2= Ash
 |journal= IEEE Trans. Automatic Control
 |date= October 1968
 |volume= 13
 |issue= 5
 |doi= 10.1109/TAC.1968.1098980}}
*{{Citation
 |title= Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part I)
 |first= S. E.
 |last= Williamson
 |journal=Control Magazine
 |date= May 1968
 |volume= 12
 |issue= 119
 |pages= 404–407
 |doi=}}
*{{Citation
 |title= Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part II)
 |first= S. E.
 |last= Williamson
 |journal=Control Magazine
 |date= June 1968
 |volume= 12
 |issue= 120
 |pages= 556–559
 |doi=}}
*{{Citation
 |title= Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part III)
 |first= S. E.
 |last= Williamson
 |journal=Control Magazine
 |date= July 1968
 |volume= 12
 |issue= 121
 |pages= 645–647
 |doi=}}
*{{Citation
 |title=Computer Program to Obtain the Time Response of Sampled Data Systems
 |first= S. E.
 |last= Williamson
 |journal= IEE Electronics Letters
 |volume=5
 |issue= 10
 |pages= 209–210
 |date= May 15, 1969
 |doi= 10.1049/el:19690159}}
*{{Citation
 |title= Accurate Root Locus Plotting Including the Effects of Pure Time Delay
 |url= http://ieeexplore.ieee.org/Xplore/login.jsp?url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fiel5%2F5247218%2F5248781%2F05249527.pdf%3Ftp%3D%26arnumber%3D5249527%26punumber%3D5247218&authDecision=-203
 |first= S. E.
 |last= Williamson
 |journal= Proc. IEE
 |volume= 116
 |issue= 7
 |pages= 1269–1271 
 |date= July 1969
 |doi= 10.1049/piee.1969.0235}}

==外部連結==
* [[Wikibooks:Control Systems/Root Locus|Wikibooks: Control Systems/Root Locus]]
* [https://web.archive.org/web/20121016213151/http://www.engin.umich.edu/group/ctm/rlocus/rlocus.html Carnegie Mellon / University of Michigan Tutorial]
* [https://web.archive.org/web/20110414055639/http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/Root_Locus/RLocusExamples.html#ex5 Excellent examples. Start with example 5 and proceed backwards through 4 to 1. Also visit the main page]
* [https://web.archive.org/web/20070301215842/http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html The root-locus method: Drawing by hand techniques]
* [https://web.archive.org/web/20191021184242/http://www.coppice.myzen.co.uk/  "RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms]
* [https://web.archive.org/web/20091027092528/http://geocities.com/aseldawy/root_locus.html "Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows]
* [https://web.archive.org/web/20160303203326/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Root_Locus Root Locus at ControlTheoryPro.com]
* [https://web.archive.org/web/20160505104945/http://www.roymech.co.uk/Related/Control/root_locus.html Root Locus Analysis of Control Systems]
* [https://web.archive.org/web/20120531040802/http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/rlocus.html MATLAB function for computing root locus of a SISO open-loop model]
*{{Citation
 |last= Wechsler
 |first= E. R.
 |url= http://ipnpr.jpl.nasa.gov/progress_report/42-73/73F.PDF
 |title= Root Locus Algorithms for Programmable Pocket Calculators
 |publisher= NASA
 |date= January–March 1983
 |id= TDA Progress Report 42-73
 |pages= 60–64
 |doi= 
 |access-date= 2017-06-02
 |archive-url= https://web.archive.org/web/20161224111553/http://ipnpr.jpl.nasa.gov/progress_report/42-73/73F.PDF
 |archive-date= 2016-12-24
 |dead-url= yes
 }}
* [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/RootLocusPlot.html Mathematica function for plotting the root locus] {{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/RootLocusPlot.html |date=20131203200834 }}


[[Category:控制理论]]
[[Category:经典控制]]