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{{李群|Semi-simple}}
在[[數學]]中，'''根系'''是[[歐幾里得空間]]中滿足某些公理的[[向量]]配置。根系在[[李群]]、[[李代數]]與[[代數群]]理論中格外重要；而根系分類的主要工具──'''鄧肯圖'''，也見諸[[奇异性理论]]等與李群並無顯著關係的學科。

==定義==
設 <math>V</math> 為有限維實[[向量空間]]，並賦予標準的[[內積]] <math>(,)</math>。<math>V</math> 中的'''根系'''是有限個向量（稱為'''根'''）構成的集合 <math>\Phi</math>，滿足下述條件：

[[File:Integrality-of-root-system.png|thumb|250px|right|<&alpha;,  &beta;> 的整性條件使得 &beta; 必然落在所示各條垂直線上。再配合  <&beta;, &alpha;> 的整性條件，在每條線上，其間交角只有兩種可能。]]
# <math>\Phi</math> 的元素張出 <math>V</math>。
# 對任一 <math>\alpha \in \Phi</math>，其屬於 <math>\Phi</math> 的純量倍數只有 <math>\pm \alpha</math>。
# 對任意 <math>\alpha \in \Phi</math>，集合 <math>\Phi</math> 在對 <math>\alpha</math> 的反射之下不變。在此的反射是指
#: <math>\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi.</math>
#（整性）若 <math>\alpha, \beta \in \Phi</math>，則  <math>\beta</math> 在 <math>\alpha</math> 方向的投影乘以2是 <math>\alpha</math> 的整數倍，即： 
#:<math> \langle \beta, \alpha \rangle := 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}, </math>

根據性質三，整性等價於：對任意 <math>\alpha,\beta \in \Phi</math>，<math>\sigma_\alpha(\beta)</math> 與 <math>\beta</math> 僅差 <math>\alpha</math> 的整數倍。此外，注意到性質四定義的'''尖積'''
:<math> \langle \cdot, \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}</math>
並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。

根系 <math>\Phi</math> 的'''秩'''定義為 <math>V</math> 的維度。

給定兩個根系 <math>(V,\Phi), (W, \Psi)</math>，可考慮其正交直和 <math>V \oplus W</math>，則 <math>\Phi \sqcup \Psi</math> 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 <math>V, W \neq \{0\}</math>），則稱之為'''不可約'''的。

對兩個根系 <math>(E_1, \Phi_1), (E_2, \Phi_2)</math>，若存在其間的線性同構，使得 <math>\Phi_1</math> 映至 <math>\Phi_2</math>，則稱它們為同構的根系。

對於根系 <math>(V, \Phi)</math>，對根的反射生成一個群，稱為該根系的[[外爾群]]。可證明此群在 <math>\Phi</math> 上忠實地作用，因此必為有限群。

==秩一與秩二的例子==

===秩为1的例子===
在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量 <math>\{\alpha, -\alpha\}</math> 組成。此根系記作 <math>A_1</math>。

===秩为2的例子===

秩二的根系有四種可能，对应于<math>\sigma_\alpha(\beta) = \beta + n\alpha</math>，其中<math>n = 0, 1, 2, 3</math>的情况<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Proposition 8.8</ref>。注意根系并不由它生成的格所决定：<math>A_1 \times A_1</math> 和<math>B_2</math>均生成[[正方形格]]，而 <math>A_2</math>和<math>G_2</math> 生成[[六边形格]]。这仅仅是五种可能的[[格 (群论)|二维格]]中的两种。
圖解如下：
<center>
{| border=1 style="text-align: center;">
| [[File:Root-system-A1xA1.png|200px|根系 A<sub>1</sub>&times;A<sub>1</sub>]]
| [[File:Root-system-A2-v1.png|200px|根系 A<sub>2</sub>]]
|-
| 根系 A<sub>1</sub>&times;A<sub>1</sub><BR>{{Dynkin|node_n1|2|node_n2}}
| 根系 A<sub>2</sub><BR>{{Dynkin|node_n1|3|node_n2}}
|-
| [[File:Root-system-B2.png|200px|根系 B<sub>2</sub>]]
| [[File:Root-system-G2.png|200px|根系 G<sub>2</sub>]]
|-
| 根系 B<sub>2</sub><BR>{{Dynkin|node_n1|4a|node_n2}}
| 根系 G<sub>2</sub><BR>{{Dynkin|node_n1|6a|node_n2}}
|+'''秩二之根系'''
|}
</center>

當 <math>\Phi</math> 是 <math>V</math> 中的根系，而 <math>W</math> 是 <math>\Psi = \Phi \cap W</math> 在 <math>W</math> 中生成的子空間，則 <math>\Psi</math> 是 <math>W</math> 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 <math>0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150</math> 或 <math>180</math> 度。

==正根與單根==
對於根系 <math>\Phi</math>，可以取定滿足下述條件的'''正根'''子集 <math>\Phi^+</math>：
* 對每個根  <math>\alpha\in\Phi</math>，<math>\alpha, -\alpha</math> 中恰有一者屬於 <math>\Phi^+</math>。
* 對任意 <math>\alpha, \beta\in \Phi^+</math>，若 <math>\alpha+\beta \in \Phi</math>，則 <math>\alpha+\beta \in \Phi^+</math>。

正根的取法並不唯一。取定一組正根後，<math>-\Phi^+</math> 的元素被稱為'''負根'''。

正根的選取等價於'''單根'''的選取。單根集是 <math>\Phi</math> 中滿足下述條件的子集 <math>\Delta</math>：
: 任意 <math>\Phi</math> 中的元素皆可唯一地表成 <math>\Delta</math> 中元素的整係數線性組合，而且其係數或者全大於等於零，或者全小於等於零。

選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

==以鄧肯圖分類根系==

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的[[圖論|圖]]間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下：

給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 <math>\alpha, \beta</math> 若不垂直，則有 <math>\langle \alpha, \beta \rangle \cdot \langle \beta, \alpha \rangle</math> 個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度 <math>(\alpha, \alpha)</math> 長者（稱為'''長根'''）指向短者（稱為'''短根'''）的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的 。

藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。

[[File:ConnectedDynkinDiagrams2.svg|thumb|left|連通鄧肯圖一覽]]

{{clear}}

==不可約根系的性質==
{|border=1 cellpadding=4  align="right" style="margin: 1em; text-align: center; border-collapse: collapse;"
!<math>\Phi</math> || <math>|\Phi|</math> || <math>|\Phi^{<}|</math> || ''I'' || <math>|W|</math>
|-
|A<sub>''n''</sub> (''n''&ge;1) || ''n''(''n''+1) || &nbsp; || ''n''+1 || (''n''+1)!
|-
|B<sub>''n''</sub> (''n''&ge;2) || 2''n''<sup>2</sup> || 2''n'' || 2 || 2<sup>''n''</sup> ''n''!
|-
|C<sub>''n''</sub> (''n''&ge;3) || 2''n''<sup>2</sup> || 2''n''(''n''&minus;1) || 2 || 2<sup>''n''</sup> ''n''!
|-
|D<sub>''n''</sub> (''n''&ge;4) || 2''n''(''n''&minus;1) || &nbsp; || 4 || 2<sup>''n''&minus;1</sup> ''n''!
|-
|E<sub>6</sub> || 72 || &nbsp; || 3 || 51840	
|-
|E<sub>7</sub> || 126 || &nbsp; || 2 || 2903040	
|-
|E<sub>8</sub> || 240 || &nbsp; || 1 || 696729600
|-
|F<sub>4</sub> || 48 || 24 || 1 || 1152
|-
|G<sub>2</sub> || 12 || 6 || 1 || 12
|}

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系：<math>A_n, B_n, C_n, D_n</math>，其下標分別取遍 <math>n \geq 1,2,3,4</math> 的正整數，稱為'''典型根系'''；剩下五種情形稱為'''例外根系'''。下標表示根系之秩。在上表中， <math>|\Phi^{<}|</math> 表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根），<math>I</math> 表示其[[嘉當矩陣]]的[[行列式]]，而 <math>|W|</math> 表示外爾群之階。

==不可約根系的構造方法及描述==
===A<sub>''n''</sub>===
取 <math>V</math> 為 <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> 中滿足 <math>\sum_{i=1}^{n+1} x_i = 0</math> 的點 <math>(x_1, \ldots, x_{n+1})</math> 所成之子空間。令 <math>\Phi</math> 為 <math>V</math> 中長度為 <math>\sqrt{2}</math> 的格子點。取 <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> 的標準基 <math>e_1, \ldots, e_{n+1}</math>，則根具有 <math>e_i-e_j \; (i \neq j)</math> 的形式，共有 <math>n(n+1)</math> 個根。通常取單根為 <math>\alpha_i := e_i - e_{i+1}</math>。

對垂直於 <math>\alpha_i</math> 的[[超平面]]的鏡射在 <math>\Phi</math> 上的作用是交換第 <math>i, i+1</math> 個座標。因此 <math>A_n</math> 的外爾群不外就是對稱群 <math>S_{n+1}</math>。

<math>A_n</math> 是李代數 <math>\mathfrak{sl}(n+1, \mathbb{C})</math> 的根系。

===B<sub>''n''</sub>===
{| align=right style="text-align: right; border: 1px gray solid" cellspacing=0 
|+ '''B'''<sub>'''4'''</sub>
|-
| &nbsp;1||-1||0||0
|-
|0|| &nbsp;&nbsp;1||-1||0 
|-
|0||0|| &nbsp;&nbsp;1||-1 
|-
|0||0|| 0||&nbsp;&nbsp;1
|}
取 <math>V = \mathbb{R}^n</math>，並令 <math>\Phi</math> 為 <math>V</math> 中長度為 <math>1, \sqrt{2}</math> 的格子點。共有 <math>2n^2</math> 個根。通常取單根為 <math>\alpha_i = e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)</math> 及 <math>\alpha_n := e_n</math>（短根）。

對短根 <math>\alpha_n</math> 的反射即 <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (x_1, \ldots, -x_n)</math>。

<math>B_1</math> 跟 <math>A_1</math> 僅差一個縮放，因此通常僅考慮 <math>n \geq 2</math> 的情形。<math>B_n</math> 是李代數 <math>\mathfrak{so}(2n+1, \mathbb{C})</math> 的根系。

===C<sub>''n''</sub>===
{| align=right style="text-align: right; border: 1px gray solid" cellspacing=0 
|+ '''C'''<sub>'''4'''</sub>
|-
| &nbsp;1||-1||0||0
|-
|0|| &nbsp;&nbsp;1||-1||0 
|-
|0||0|| &nbsp;&nbsp;1||-1 
|-
|0||0|| 0||&nbsp;&nbsp;2
|}
取 <math>V = \mathbb{R}^n</math>，<math>\Phi</math> 為 <math>V</math> 中所有長度 <math>\sqrt{2}</math> 的格子點與形如 <math>2\lambda</math>的點，其中 <math>\lambda</math> 是長度為一的格子點。共有 <math>2n^2</math> 個根。通常取單根為 <math>\alpha_i := e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)</math>及 <math>\alpha_n := 2e_n</math>（長根）。

<math>C_2</math> 與 <math>B_2</math> 僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮 <math>n \geq 3</math> 的情形。<math>C_n</math> 是李代數 <math>\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})</math> 的根系。

===D<sub>''n''</sub>===
{| align=right style="text-align: right; border: 1px gray solid" cellspacing=0 
|+ '''D'''<sub>'''4'''</sub>
|-
| &nbsp;1||-1||0||0
|-
|0|| &nbsp;&nbsp;1||-1||0 
|-
|0||0|| &nbsp;&nbsp;1||-1 
|-
|0||0|| 1||&nbsp;&nbsp;1
|}
取 <math>V := \mathbb{R}^n</math>，<math>\Phi</math> 為 <math>V</math> 中長度 <math>\sqrt{2}</math> 的格子點。共有 <math>2n(n-1)</math> 個根。通常取單根為 <math>\alpha_i = e_i - e_{i+1}, \; (1 \leq i < n)</math> 及 <math>\alpha_n = e_n + e_{n-1}</math>。

<math>D_3</math> 同構於 <math>A_3</math>，故通常僅考慮 <math>n \geq 4</math> 的情形。<math>D_n</math> 是李代數 <math>\mathfrak{so}(2n,\mathbb{C})</math> 的根系。

===E<sub>8</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>6</sub>===
<math>E_8</math> 是較為特殊的根系。首先定義 <math>\mathbb{R}^8</math> 中滿足下述條件的點集 <math>\Gamma_8</math>：
* 各座標均為整數，或均為半整數（不容相混）。
* 八個座標的和為偶數。

定義 <math>E_8</math> 為 <math>\Gamma_8</math> 中長度為 <math>\sqrt{2}</math> 的向量，即：
: <math> \left\{ \alpha \in \mathbb{Z}^8 \sqcup \left(\mathbb{Z}+\frac{1}{2}\right)^8 : |\alpha|^2 = 2, \; \sum \alpha_i \in 2\mathbb{Z} \right\}</math>

定義 <math>E_7</math> 為 <math>E_8</math> 與超平面 <math>\{x : (x,\alpha)=0 \}</math> 之交， 其中 <math>\alpha \in E_8</math> 是任取的根。同樣步驟施於 <math>E_7</math>，得到更小的根系 <math>E_6</math>。根系 <math>E_6, E_7, E_8</math> 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 <math>D_5, A_4</math>。

{| align=right style="text-align: right; border: 1px gray solid" cellspacing=0
|+ '''E'''<sub>'''8'''</sub>：偶坐標
|-
| 1||-1||0||0||0||0||0||0
|-
|0|| 1||-1||0||0||0||0||0 
|-
|0||0|| 1||-1||0||0||0||0 
|-
|0||0||0|| 1||-1||0||0||0 
|-
| 0||0||0||0|| 1||-1||0||0 
|-
|0||0||0||0||0|| 1||-1||0 
|-
|0||0||0||0||0||1|| 1||0 
|- 
| &nbsp;½||&nbsp;½||&nbsp;½||&nbsp;½||&nbsp;½||&nbsp;½||&nbsp;½||&nbsp;½
|}

另一種等價的描述是取 <math>\Gamma'_8</math> 為：
* 各坐標均為整數，而且其和為偶數；或
* 各坐標均為半整數，而且其和為奇數。

<math>\Gamma_8</math> 與 <math>\Gamma'_8</math> 同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。<math>\Gamma_8</math> 稱為 <math>E_8</math> 的偶坐標系，<math>\Gamma'_8</math> 稱為奇坐標系。

在偶坐標下，通常取單根為
: <math> \alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 6)</math>
: <math>\alpha_7 := e_7 + e_6</math>
: <math>\alpha_8 = \beta_0 = \frac{\sum_{i=1}^8 e_i}{2} </math>

{| align=right style="text-align: right; border: 1px gray solid" cellspacing=0
|+ '''E'''<sub>'''8'''</sub>：奇坐標
|-
| 1||-1||0||0||0||0||0||0
|-
|0|| 1||-1||0||0||0||0||0 
|-
|0||0|| 1||-1||0||0||0||0 
|-
|0||0||0|| 1||-1||0||0||0 
|-
| 0||0||0||0|| 1||-1||0||0 
|-
|0||0||0||0||0|| 1||-1||0 
|-
|0||0||0||0||0||0|| 1||-1 
|- 
| -½||-½||-½||-½||-½||&nbsp;½||&nbsp;½||&nbsp;½
|}
在奇坐標下，通常取單根為
: <math>\alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 7)</math>
: <math> \alpha_8 := \beta_5</math>，其中
: <math>\beta_j := \frac{-\sum_{i=1}^j e_i + \sum_{i=j+1}^8 e_i}{2}</math>
（在上述定義中，若改取 <math>\beta_3</math>，將得到同構的結果。若改取 <math>\beta_1, \beta_7, \beta_2, \beta_6</math>，將得到 <math>A_8</math> 或 <math>D_8</math>。至於 <math>\beta_4</math>，其坐標和為零，而 <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_7</math> 亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去 <math>\alpha_1</math> 可得到 <math>E_7</math> 的一組單根；再刪去 <math>\alpha_2</math>，可得 <math>E_6</math> 的單根。

由於對 <math>\alpha_1</math> 垂直等價於前兩個坐標相等，而對 <math>\alpha_1, \alpha_2</math> 垂直等價於前三個座標相等，不難導出 <math>E_7, E_6</math> 的明確定義：

E<sub>''7''</sub> = ('''&alpha;''' ∈  '''Z'''<sup>7</sup> ∪ ('''Z'''+½)<sup>7</sup>''':''' ∑'''&alpha;'''<sub>i</sub><sup>2</sup> + '''&alpha;'''<sub>1</sub><sup>2</sup> = 2，∑'''&alpha;'''<sub>i</sub> + '''&alpha;'''<sub>1</sub> ∈ 2'''Z'''),

E<sub>''6''</sub> = ('''&alpha;''' ∈  '''Z'''<sup>6</sup> ∪ ('''Z'''+½)<sup>6</sup>''':''' ∑'''&alpha;'''<sub>i</sub><sup>2</sup> + 2'''&alpha;'''<sub>1</sub><sup>2</sup> = 2，∑'''&alpha;'''<sub>i</sub> + 2'''&alpha;'''<sub>1</sub> ∈ 2'''Z''')

===F<sub>4</sub>===
{| align=right style="text-align: right; border: 1px gray solid" cellspacing=0 
|+ '''F'''<sub>'''4'''</sub>
|-
| 1||-1||0||0
|-
|0|| 1||-1||0 
|-
|0||0|| 1||0 
|-
| -½||-½||-½||-½
|}

對於 <math>F_4</math>，取 <math>V=\mathbb{R}^4</math>，並令 <math>\Phi</math> 為滿足下述條件的向量：
* <math>|\alpha| = 1, \sqrt{2}</math>
* <math>2\alpha</math> 各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有 <math>48</math> 個根。通常取單根為 <math>B_3</math> 的單根再加上 <math>\alpha_4 = -\left(\sum_{i=1}^4 e_i\right)/2</math>。

===G<sub>2</sub>===
{| align=right style="text-align: right; border: 1px gray solid" 
|+ '''G'''<sub>'''2'''</sub>
|-
| 1||&nbsp;-1||&nbsp;&nbsp;0
|-
| -1||2||-1
|}
<math>G_2</math> 有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為
* <math>\alpha_1</math>
* <math>\beta := \alpha_2 - \alpha_1</math>
在此沿用了之前的符號： <math>\alpha_i := e_i - e_{i+1}, \; (i=1,2)</math>。

==根系與李群、李代數==
不可約根系的分類可用於研究下述對象：
* [[單李代數|單複李代數]]
* [[單李群|單複李群]]
* 模掉中心後為單李群的[[單連通]]複李群
* 緊單李群

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 来源 ===
{{refbegin}}
* Serre, J.-P., Jones, G. A., ''Complex Semisimple Lie Algebras'' (2001), Springer-Verlag,  ISBN 3540678271
* Serre, J.-P. ''Lie Algebras and Lie Groups'' (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
* Dynkin, E. B.  ''The structure of semi-simple algebras.'' (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
*{{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
{{refend}}

==參見==
*[[ADE分類]]
*[[外爾群]]
*[[考克斯特群]]
*[[考克斯特矩陣]]
*[[根資料]]
*[[考克斯特-鄧肯圖]]

[[Category:李群|G]]
[[Category:李代數|G]]