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在[[数论]]中，将正整数 n 的'''根基'''（英文：'''{{lang|en|radical}}'''）定义为 n 的所有[[素因数]]（质因数）的积：

:<math display="block">\displaystyle\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prime}}p</math>

整数的根运算对简化[[abc猜想]]的表述起到重要作用。<ref name=abc>{{cite book |contribution=V.1 The ABC Conjecture |title=The Princeton Companion to Mathematics |page=681 |first=Timothy |last=Gowers |publisher=Princeton University Press |year=2008 |contribution-url=https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA681 |title-link=The Princeton Companion to Mathematics |access-date=2020-04-08 |archive-date=2021-12-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211223121649/https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA681 |dead-url=no }}</ref>

==例子==
在不与开方运算里的“[[方根|根]]（root）”的概念混淆的情况下，也常简称“根”。例如我们有

:<math 
display="block">504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7</math>

所以504的根计算如下

:<math 
display="block">
\operatorname{rad}(504) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42</math>

===根数列===

所有正整数的根组成如下数列：

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... {{OEIS|id=A007947}}.

==性質==
* <math>rad(n)</math>是[[積性函數]]。
* 對於任意整數<math>n</math>而言，<math>rad(n)</math>是其最大的[[無平方因子數]]因數，故<math>rad(n)</math>又稱<math>n</math>的無平方核心（square-free kernel）。<ref>{{cite OEIS|A007947}}</ref>截至目前為止，並無在多項式時間內計算<math>n</math>的無平方部分的算法。<ref>{{Cite book|last=Adleman|first=Leonard M.|author1-link= Leonard Adleman |last2=McCurley|first2=Kevin S.|author2-link=Kevin McCurley (cryptographer)|contribution=Open Problems in Number Theoretic Complexity, II|title=Algorithmic Number Theory: First International Symposium, ANTS-I Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=877|publisher=Springer|mr=1322733|pages=291–322|doi=10.1007/3-540-58691-1_70|citeseerx=10.1.1.48.4877}}</ref>
* <math>rad(n)</math>可推廣為<math>n</math>最大的無<math>t</math>次方因子數因數<math>\mathrm{rad}_t</math>，而<math>\mathrm{rad}_t</math>是一個有如下定義的積性函數：
*:<math display=block>\mathrm{rad}_t(p^e) = p^{\mathrm{min}(e, t - 1)}</math>
*:<math>t=3</math>及<math>t=4</math>的狀況分別由{{OEIS2C|A007948}}和{{OEIS2C|A058035}}列舉。
* 根基的表達式出現於[[abc猜想]]中，而這猜想表示說，對於任意的<math>\varepsilon > 0</math>，都有一個<math>K_\varepsilon</math>，使得對於任意滿足<math>a+b=c</math>且[[互質]]的三元數組<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言，都有以下的關係：<ref name=abc/>
*:<math display=block>c < K_\varepsilon\, \operatorname{rad}(abc)^{1 + \varepsilon}</math>
* 對於任意整數<math>n</math>而言，[[有限環]]<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>的所有[[幂零元]]都是<math>\operatorname{rad}(n)</math>的倍數。
* 根基有如下的[[狄利克雷級數]]：
*:<math>\prod_p \left(1+\frac{p^{1-s}}{1-p^{-s}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{rad}(n)}{n^s}</math>

== 扩展阅读 ==
* [[理想的根]]

== 参考资料 ==
<references />

[[Category:积性函数]]