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在[[线性代数]]与[[泛函分析]]中，一个[[线性算子]] ''L'' 的'''核'''（{{lang-en|kernel}}，也称作'''零空间'''，{{lang-en|null space}}）是所有使 ''L''(''v'') = 0 的''v''的集合。这就是如果 ''L'': ''V'' &rarr;''W''，则
:<math>\ker(L) = \left\{ v\in V : L(v)=0 \right\}\text{,}</math>
这里 0 表示 ''W'' 中的[[零向量]]。''L'' 的核是定义域 ''V'' 的一个[[线性子空间]]。

一个线性算子 '''R'''<sup>''m''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup> 的核与对应的 ''n'' × ''m'' [[矩阵]]的[[零空间]]相同。

==性质==
[[File:KerIm 2015Joz L2.png|thumb|映射''L''的核与像。|346x346px]]
如果 ''L'': ''V'' &rarr; ''W''，则 ''V'' 中两个元素在 ''W'' 中有相同的[[像]]当且仅当它们的差在 ''L'' 的核中：
:<math>L(v) = L(w)\;\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\;L(v-w)=0\text{.}</math>
从而 ''L'' 的像[[同构]]于 ''V'' 被这个核的[[商空间 (线性代数)|商空间]]：
:<math>\text{im}(L) \cong V / \ker(L)\text{.}</math>
当 ''V'' 是有限维的，这蕴含着[[秩-零化度定理]]：
:<math>\dim(\ker L) + \dim(\text{im}\,L) = \dim(V)\text{.}\,</math>
当 ''V'' 是一个[[内积空间]]是，商 ''V'' / ker(''L'') 可以与 ker(''L'') 在 ''V'' 中的正交补等同。这是一个矩阵的[[行空间]]的线性算子的推广。

==例子==

# 如果 ''L'': '''R'''<sup>''m''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup>，则 ''L'' 的核是一个齐次[[线性方程组]]的解集。例如，如果 ''L'' 是算子：
:<math>L(x_1,x_2,x_3) = (2x_1 + 5x_2 - 3x_3,\; 4x_1 + 2x_2 + 7x_3)</math>
则 ''L'' 的核是方程组
:<math>\begin{alignat}{7}
 2x_1 &&\; + \;&& 5x_2 &&\; - \;&& 3x_3 &&\; = \;&& 0 \\
 4x_1 &&\; + \;&& 2x_2 &&\; + \;&& 7x_3 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}</math>
的解集。

#令 ''C''[0,1] 表示区间 [0,1] 上所有连续实值函数组成的[[向量空间]]，定义 ''L'': ''C''[0,1]&rarr; '''R''' 为
:<math>L(f) = f(0.3)\text{.}\,</math>
则 ''L'' 的核由所有使得 ''f''(0.3) =0 的函数 ''f'' &isin; ''C''[0,1]。
#令 ''C''<sup>&infin;</sup>('''R''') 是所有无穷可微函数 '''R''' &rarr; '''R''' 的向量空间，并设 ''D'': ''C''<sup>&infin;</sup>('''R''') &rarr; ''C''<sup>&infin;</sup>('''R''') 是[[微分算子]]：
:<math>D(f) = \frac{df}{dx}\text{.}</math>
则 ''D'' 的核由 ''C''<sup>&infin;</sup>('''R''') 中所有导数都是零的函数组成，即[[常值函数]]。
#令 '''R'''<sup>&infin;</sup> 是无穷个 '''R''' 的[[直和]]，并设 ''s'': '''R'''<sup>&infin;</sup> &rarr; '''R'''<sup>&infin;</sup> 为{{tsl|en|Shift operator|移位算子}}
:<math>s(x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots) = (x_2,x_3,x_4,\ldots)\text{.}</math>
则 ''s'' 的核是由所有向量 (''x''<sub>1</sub>, 0, 0, ...) 组成的一维子空间。注意 ''s'' 是[[满射|映上]]的，却有非平凡的核。
#如果 ''V'' 是一个[[内积空间]]，''W'' 是一个子空间，[[投影 (线性代数)|正交投影]] ''V'' &rarr; ''W'' 的核是 ''W'' 在 ''V'' 中的[[正交补]]。

==泛函分析中的核==
如果 ''V'' 和 ''W'' 是[[拓扑向量空间]]（且 ''W'' 是有限维的），则一个线性算子 ''L'': ''V'' &rarr; ''W'' 是[[连续线性算子|连续]]的当且仅当 ''L'' 的核是 ''V'' 的一个[[闭集|闭]]子空间。

==相关条目==
*[[核 (代数)]]
* [[零空间]]
* [[向量空间]]
* [[线性子空间]]
* [[线性算子]]
* [[函数空间]]
* [[弗雷德霍姆择一性]]

[[Category:线性代数|H]]
[[Category:泛函分析|H]]